Удивительный мир многогранников выполнил: Ученик 10 класса В Красиков Александр Учитель Калужина Т.Н.

Введение. С многогранниками мы постоянно встречаемся в жизни – это древние египетские пирамиды и кубики, которыми играют дети, объекты архитектуры и дизайна, природные кристаллы, вирусы, которые можно рассмотреть только в электронный микроскоп и т.д. Более подробно мы остановимся на правильных, полуправильных и звездчатых многогранниках, которые с древних привлекали к себе внимание ученых, архитекторов, художников, их поражала красота, гармония и совершенство этих многогранников.

Правильные многогранники. Тела Платона Правильные многогранники. Тела Платона. Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук. Л. Кэролл. Название «правильные» идет от античных времен, когда стремились найти гармонию, правильность, совершенство в природе и человеке. Подробно описал свойства правильных многогранников древнегреческий ученый Платон. Многогранник называется правильным, если он является выпуклым и все его грани равные правильные многоугольники Существует всего пять действительно правильных многогранников.

Тетраэдр. Наиболее простым правильным многогранником является треугольная пирамида, гранями которой являются правильные треугольники. У тетраэдра 6 ребер, 4 грани и 4 вершины. Платон связывает тетраэдр со стихией огня. Платон связывает тетраэдр со стихией огня.

Октаэдр. Октаэдр – многогранник, гранями которого являются правильные треугольники. Его поверхность состоит из 8 правильных треугольников. У октаэдра 12 ребер, 8 граней и 6 вершин. Платон связывает октаэдр со стихией воздуха. Платон связывает октаэдр со стихией воздуха.

Икосаэдр. Икосаэдр – многогранник, гранями которого являются правильные треугольники. Его поверхность состоит из 20 правильных треугольников. У икосаэдра 30 ребер, 20 граней, 12 вершин. Платон связывает икосаэдр со стихией воды. Платон связывает икосаэдр со стихией воды.

Гексаэдр. Гексаэдр – многогранник гранями которого являются правильные четырехугольники (квадраты). Его поверхность состоит из 12 ребер, 6 граней и 8 вершин. Платон связывает гексаэдр (куб) со стихией земли. Платон связывает гексаэдр (куб) со стихией земли.

Додекаэдр. Додекаэдр – многогранник, гранями которого являются правильные пятиугольники. Его поверхность состоит из 30 ребер, 12 граней и 20 вершин. Платон в своей идеалистической картине мира считает додекаэдр моделью всей Вселенной. Платон в своей идеалистической картине мира считает додекаэдр моделью всей Вселенной.

Теорема Эйлера. Для всех выпуклых многогранников, в том числе и для правильных выполняется теорема Эйлера: В – Р + Г = 2, где В – число вершин, Р – число ребер, Г – число граней. Следующая таблица поможет нам не запутаться в правильных многогранниках. Тип многогранника Число ребергранейвершин Тетраэдр Октаэдр Икосаэдр Куб (гексаэдр) Додекаэдр

Полуправильные многогранники (Тела Архимеда). Если гранями правильного многогранника или Платоновых тел являются однотипные правильные многоугольники (треугольники, квадраты и пентагоны), то гранями полуправильных многогранников, являются правильные многоугольники разных типов. К полуправильным многогранникам относят n- угольные призмы, все ребра которых равны, а также антипризмы. Кроме этих двух бесконечных серий полуправильных многогранников имеется 13 полуправильных многогранников, которые впервые открыл и описал Архимед, - это тела Архимеда.

Усеченный тетраэдр. Если срезать углы тетраэдра плоскостями, каждая из которых отсекает третью часть его ребер, выходящих из одной вершины, то получим усеченный тетраэдр, имеющий 8 граней. Из них 4 – правильные шестиугольники и 4 – правильные треугольники.

Усеченный октаэдр. Если указанным способом срезать вершины октаэдра, то получится усеченный октаэдр, имеющий 14 граней. 6 квадратов и 8 гексагонов.

Усеченный куб. Усеченный куб имеет 14 граней. Из них 8 – правильные треугольники и 6 – правильные восьмиугольники (октагоны).

Усеченный икосаэдр. Усеченный икосаэдр имеет 32 грани. Из них 12 – правильные пятиугольники (пентагоны) и 20 – правильные шестиугольники (гексагоны). Поверхность футбольного мяча изготавливают в форме поверхности усеченного икосаэдра

Усеченный додекаэдр Усеченный додекаэдр. Усеченный додекаэдр имеет 32 грани. Из них 20 – правильные треугольники и 12 - правильные десятиугольники (декадоны).

Икосододекаэдр. Если в додекаэдре отсекающие плоскости провести через середины ребер, выходящих из одной вершины, то получим икосододекаэдр. У него 20 граней – правильные треугольники и 12 – правильные пятиугольники (пентагоны), то есть все грани икосаэдра и додекаэдра.

Ромбокубооктаэдр. Его поверхность состоит из граней куба и октаэдра, к которым добавлено еще 12 квадратов. Итого ромбокубооктаэдр имеет 8 треугольников и 18 квадратов.

Кубооктаэдр. Кубооктаэдр имеет 14 граней. Из них 8 треугольников и 6 квадратов.

Ромбоикосододекаэдр. Поверхность ромбоикосододекаэдра состоит из граней икосаэдра, додекаэдра и еще 30 квадратов. Итого он имеет 62 грани. Из них 20 треугольников, 30 квадратов и 12 пентагонов.

«Курносый» куб. Поверхность курносого куба состоит из граней куба окруженных правильными треугольниками. У него 38 граней. Из них 32 треугольника и 6 квадратов.

«Курносый» додекаэдр. Поверхность курносого додекаэдра из граней додекаэдра окруженных правильными треугольниками. 85 треугольников и 12 пентагонов.

Усеченный кубооктаэдр. Поверхность усеченного кубооктаэдра состоит из 12 квадратов, 8 правильных шестиугольников (гексагонов) и 6 правильных восьмиугольников (октагонов).

Усеченный икосододекаэдр Поверхность усеченного икосододекаэдра состоит из 30 квадратов, 20 правильных шестиугольников (гексагонов) и 12 правильных десятиугольников (декагонов).

Звездчатые многогранники. Тела Кеплера – Пуансо. Кроме правильных и полуправильных многогранников красивые формы имеют так называемые правильные звездчатые многогранники. Они получаются из правильных многогранников продолжением граней или ребер. Первые два правильных звездчатых многогранника были открыты И. Кеплером, а два других почти 200 лет спустя Пуансо (французский математик). Именно поэтому правильные звездчатые многогранники называют Телами Кеплера – Пуансо. Первые два правильных звездчатых многогранника были открыты И. Кеплером, а два других почти 200 лет спустя Пуансо (французский математик). Именно поэтому правильные звездчатые многогранники называют Телами Кеплера – Пуансо.

Малый звездчатый додекаэдр. Возьмем додекаэдр. Продолжение его ребер приводит к замене каждой грани звездчатым правильным пятиугольником, и в результате возникает многогранник, который называется малым звездчатым додекаэдром.

Большой додекаэдр. При продолжении граней додекаэдра возникает 2 возможности. Если в качестве граней рассматривать правильные пятиугольники, то получится большой додекаэдр.

Большой звездчатый додекаэдр. Если в качестве граней рассматривать звездчатые пятиугольники, то получится большой звездчатый додекаэдр.

Большой икосаэдр. Икосаэдр имеет одну звездчатую форму. При продолжении граней правильного икосаэдра получается большой икосаэдр.

Звездчатые многогранники. Кроме правильных звездчатых многогранников существуют звездчатые многогранники, полученные из полуправильных многогранников, которые не менее красивы, оригинальны и гармоничны. В настоящее время известны 51 вид таких многогранников. Вот некоторые из них. Вот некоторые из них.

Звезда.

Квазиусеченный звездчатый додекаэдр.

Квазиусеченный гексаэдр.

Битригональный додекаэдр.

Кристаллы – природные многогранники. Многие формы многогранников изобрел не человек, а создала природа в виде кристаллов. Например, кристаллы поваренной соли имеют форму куба, кристаллы льда и горного хрусталя (кварца) напоминают отточенный с двух сторон карандаш, то есть форму шестиугольной призмы, на основании которой поставлены шестиугольные пирамиды. Алмаз чаще всего встречается в виде октаэдра, иногда куба и даже кубооктаэдра. Исландский шпат, который раздваивает изображение, имеет форму косого параллелепипеда; гранат – ромбододекаэдр (двенадцатигранника), у которого все грани ромбы.

Исторические сведения. Правильные многогранники с древних времен привлекали к себе внимание ученых, архитекторов, художников. Их поражала красота, совершенство, гармония этих многогранников. Леонардо да Винчи увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Он проиллюстрировал книгу монаха Луки Пачоли «О божественной пропорции». Другим знаменитым художником, также увлекавшимся геометрией был Альбрехт Дюрер. В своей гравюре «Меланхолия» он дал перспективное изображение додекаэдра. Немецкий астроном и математик Иоганн Кеплер в своей работе, используя правильные многогранники, вывел принцип которому подчиняются формы и размеры планет Солнечной системы. Такая модель получила модель «Космического кубка» Кеплера. Знаменитая картина Сальвадора Дали «Тайная вечеря» содержит перспективное изображение правильного додекаэдра.