МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ – ПЛОТНИКОВСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА 111 Выполнила: Кузнецова Алла, 9 класс Научный руководитель: Никулина Наталья Александровна, Учитель математики первой квалификационной категории ПЛОТНИКОВО 2011г

Содержание работы: Введение История возникновения процента Расчет сложного процента Вычисление сложных процентов по схеме Решение задач на проценты Заключение Список источников

В вариантах ЕГЭ и ГИА встречаются задачи на проценты, и эти задачи часто вызывают затруднения у школьников. Причина в том, что тема "Проценты" изучается в младших 5-6 классах, причем непродолжительно, закрепляется в 7 классе при решении задач на повторение, а в старших классах к этой теме совсем не возвращаются. А тема эта очень нужная. В наше время почти во всех областях человеческой деятельности встречаются проценты. Без понятия «процент» нельзя обойтись ни в бухгалтерском учёте, ни в финансовом анализе, ни в статистике. Чтобы начислить зарплату работнику, нужно знать процент налоговых отчислений; чтобы открыть депозитный счёт в Сбербанке, наши родители интересуются размером процентных начислений на сумму вклада; чтобы знать приблизительный рост цен в будущем году, мы интересуемся процентом инфляции. Введение.

Очень большое количество людей берут деньги или товары в кредит под определенный процент. В торговле понятие «процент» используется наиболее часто: скидки, наценки, уценки, прибыль, сезонные изменения цен на товары, налог на прибыль и т.д. - всё это проценты. И каждый человек должен уметь вычислять эти проценты. Поэтому выбранная мной тема особенно актуальна.

Цель данной работы - показать широту применения такого простого и известного математического аппарата, как процентные вычисления. Задачи: проанализировать литературу по теме «Проценты и процентные вычисления»; познакомится с формулой сложных процентов; научиться применять полученные знания на примерах, с практическим содержанием. Гипотеза: Процентне абстрактное понятие, а постоянный спутник нашей жизни.

Слово «процент» имеет латинское происхождение: «рго centum» - это «на сто». Часто вместо слова «процент» используют это словосочетание. То есть процентом называется сотая часть числа. Проценты были известны индийцам ещё в Vв. и это очевидно, так как именно в Индии с давних пор счет велся в десятичной системе счисления. Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. История возникновения процента.

«Римляне брали с должника лихву (т. е. деньги сверх того, что дали в долг). При этом говорили: «На каждые 100 сестерциев долга заплатить 16 сестерциев лихвы». От римлян проценты перешли к другим народам Европы. В Европе десятичные дроби появились на 1000 лет позже, их ввел бельгийский ученый Симон Стевин. В 1584г. Он впервые опубликовал таблицу процентов. Введение процентов было удобным для определения содержания одного вещества в другом; в процентах стали измерять количественное изменение производства товара, рост и спад цен, рост денежного дохода и т.д.

Символ % появился не сразу. Сначала писали слово «сто» так: ctо В 1685г. в Париже была напечатана книга «Руководство по коммерческой арифметике», где по ошибке вместо ctо было набрано %. После этого знак % получил всеобщее признание и до сих пор мы пользуемся этим значком процента.

Расчет сложного процента Основные задачи, которые мы решаем на уроках математики, связаны с этими алгоритмами: 1. Чтобы найти а% от числа b, надо b умножить на 0,01а, т.е. х= b ·0,01а. 2. Если а% числа х равны b, то х = 3. Чтобы найти процентное отношение чисел а и b, надо отношение этих чисел умножить на 100%

Сложные проценты - это проценты, полученные на начисленные проценты. Формула сложного процента - это формула, по которой рассчитывается итоговая сумма с учётом начисления процентов. Расчет сложных процентов производится по следующей формуле: К = а(1 ±0,p) где а - начальное значение некоторой величины; К- значение, которое получилось в результате нескольких изменений начальной величины; n - количество изменений начальной величины; р - процент изменения. Знак «плюс» применяется в задачах при подсчете увеличения цены товара, а знак «минус» применяется при подсчете снижения цены.

Рассмотрим решение задач, применяя формулу сложного процента: 1)Пачка чая стоила 100 рублей. Сначала цену повысили на 10%, а затем снизили на 10% (от новой цены). Сколько теперь стоит пачка чая? Решение: Так как повысили на 10%, значит нужно умножить первоначальную цену на 1,1 и при понижении на 10% нужно умножить на 0,9, 100·(1+0,1) ·(1-0,1) =99 руб. Ответ: 99 рублей стоит пачка чая.

2)В книжном магазине энциклопедию по физике стоимостью 380 рублей уценивали дважды на одно и то же число процентов. Найдите это число, если известно, что после двойного снижения цен энциклопедия стоит 307 рублей 80 копеек. Решение: 380(1-0,01р)2=307,8 (1-0,01 р)2=0,81 1-0,01 р =0,9 0,01 р =0,1 р=10 Ответ: энциклопедию уценивали на 10%.

3) (Задача из ЕГЭ) Цену на автомобиль «Волга» снизили сначала на 20%, а затем еще на 15%. При этом он стал стоить рублей. Какова была первоначальная цена автомобиля? Решение: Пусть х рублей будет первоначальная стоимость автомобиля. х(1-0,2)·(1-0,15)= х·0,8·0,85= х·0,68= х= :0,68 х= Ответ: рублей первоначальная стоимость автомобиля.

Одна из видов записей для вычисления сложных процентов - схема. В финансовой практике для вычисления процентов чаще всего применяют такую форму записей, как схемы. Такой вид записи принято называть стандартной формой. Она имеет одно из преимуществ, что из неё сразу видно число процентов, на которое уменьшена или увеличена начальная сумма. Предлагаю рассмотреть наиболее типичные ситуации:

Если первоначальная цена некоторого товара составляла S о денежных единиц, то после ее повышения на р% она составит S о + S о ·р· 0,01 = S о (1 +р · 0,01) (ден. ед.). Аналогично, если первоначальная цена S о понизилась на р%, то она составит So (1 -р· 0,01) (ден. ед.). Легко понять и запомнить эти формулы, если представить их в виде наглядных схем. Так, на рис. 1 повышение цены изображается стрелкой, идущей от S о вверх, а понижение стрелкой, направленной вниз от S о. p% S о (1 + p ·0.01) S о p% S о (1 – p ·0.01) рис.1

II. В результате повышения первоначальной цены S о на р% и последующего понижения на q% окончательная цена равна S о (1+р·0,01)(1- q· 0,01) (ден. ед.). Аналогично, если первоначальная цена S о сначала понизилась на р%, а потом повысилась на q%, то окончательная цена равна, S о (1 -р ·0,01)(1 + q · 0,01) (ден. ед.). S о (1 +р ·0,01) p% q% S о (1+р·0,01)(1- q· 0,01) S о S о (1-р·0,01)(1+q·0,01) q% p% S о (1 -р ·0,01) рис.2

Задачи на проценты До снижения цен книга в киоске стоила 120 рублей. Вычислите цену книги после двух последовательных снижений, если первое снижение было на 10%, а второе на 5%. Решение: Пользуясь схемами, получаем: 120(1-0,1 )·(1-0,05) = 120·0,9·0,95= 102,6 (рубля) - цена книги после двух последовательных снижений. Ответ: 102,6 рубля. Задача1.

После снижения цен в магазине на 30% свитер стал стоить 2100 рублей. Сколько стоил свитер до снижения цен? Решение: Воспользуемся схемами, получаем, что S о ·(1-30·0,01)=2100 S о ·0,7=2100; S о = (рублей) - стоил свитер до снижения цен. Ответ: 3000 рублей. Задача2.

Вкладчик положил некоторую сумму на вклад «Доверительный» в Сбербанк России. Через два года вклад достиг рубля. Каков был первоначальный вклад при 6% годовых? Решение: Пусть х рублей первоначальный вклад = х ( 1 + 6·0,01)(1 + 6·0,01) = х ·1,06·1,06 х = Ответ: первоначальный вклад составлял рублей. Задача 3.

Срочный вклад «ВТБ24 Растущий доход» Предлагаем вам срочный вклад «ВТБ24 Растущий доход» с процентной ставкой, которая увеличивается в течение срока вклада: по окончании каждого года размещения средств во вкладе и по мере накопления средств. Валюта вкладаРубли, доллары США, евро Срок вклада1100 дней (3 года) Валюта вкладамин. первонач. Взнос годовая процентная ставка 1-й год2-й год3-й год Рубли от ,50% 9,00% 9,50% Вкладчик положил в банк на срочный вклад «ВТБ24 Растущий доход» рублей. Какую сумму он получит по истечению срока? Решение: Обозначим искомую сумму через х. Х = ( 1+ 8,50·0,01)(1 + 9,00·0,01)(1 + 9,50·0,01) Х = 38850,0525 Ответ: 38850,0525 рублей. Задача 4.

Срочный вклад «ВТБ24 Комфортный» Вклад «ВТБ24 Комфортный» предусматривает возможность расходования денежных средств до размера неснижаемого остатка, а также возможность пополнения суммы вклада. Доходность зависит от суммы неснижаемого остатка: чем выше сумма неснижаемого остатка, тем выше ваш процент по вкладу. Валюта вкладаРубли, доллары США, евро Срок вклада181 день (6 месяцев), 395 дней (1 год и 1 месяц), 732 дня (2 года) Валюта мин. взнос Срок привлечения денежных средств 181 день 395 дней 732 дня годовая процентная ставка Рубли от ,5% 4,0% 4,5% Вкладчик положил на срочный вклад «ВТБ24 Комфортный» рублей, сроком на 181 день. Какую сумму он получит по истечению срока? Решение: Обозначим искомую сумму через х. Х = ( 1 + 3,50·0,01) Х = ( ):2=875 (за полгода) =50875 Ответ: 50875рублей Задача 5.

Срочный вклад «МДМ Доходный» Валюта вкладаРубли, доллары США, евро Сумма вклада в рублях РФ руб Вкладчик положил на срочный вклад «МДМ Доходный» рублей, сроком на 365 дней. Какую сумму он получит по истечению срока? Решение: Обозначим искомую сумму через х. Х = ( 1 + 6,05·0,01) Х = Ответ: 53025рублей Задача 6. Срок вклада (дней) Процент ная ставка, годовых 4.35% 6.05%6.60%6.80%7.60%

Вы устраиваетесь на работу. Ваш оклад составит 6500 рублей плюс районный и сельский коэффициенты (25%). После исчисления подоходного налога какую сумму вы будете получать? Решение: Обозначим искомую сумму через х. Х =6500(1+25·0,01)( 1+25·0,01)(1-13·0,01) Х = Ответ: 8835рублей 94 коп. Задача 7.

Как мы видим, прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, экономическую и другие сферы нашей жизни. Изучение процента продиктовано самой жизнью. Умение выполнять процентные вычисления и расчеты необходимо каждому человеку, так как с процентами мы сталкиваемся в повседневной жизни постоянно. Причем, сталкиваются даже домохозяйки… Сколько граммов воды нужно добавить к столовой ложке (25 грамм) 70% уксусной кислоты, чтобы получить 9% уксусную кислоту?

Трудно найти область нашей жизни, где бы не применялись проценты. Как известно, выводы опираются на анализ. А самый удобный и быстрый способ анализировать – процентный. Процентный способ наиболее точен и прост в применении. Его суть понятна даже ребенку. Результат:

В заключение хочется сказать, что умение выполнять процентные вычисления и расчеты необходимо каждому человеку, так как с процентами мы сталкиваемся в повседневной жизни постоянно. Ценность полученных результатов в том, что они продемонстрировали широкий спектр применения расчёта процентов в экономических сферах, т.е. тесную взаимосвязь математики с экономикой. Поэтому считаю, что моя работа найдет практическое применение на уроках алгебры, как пример решения задач разных видов с практическим содержанием, так и поможет увидеть широту возможных приложений математики, понять её роль в современной жизни. Заключение

Всё что вокруг меняется, В процентах измеряется. Рост цен или инфляции Увеличения доходов нации. Статистика на дорогах, Запас мест в вагонах, Доля качества в товарах, Даже люди в погонах. И рождаемость, и смертность, И богатство, и бедность. И красота, и лепость, Даже неоправданная смелость. И счастливые браки, И производственные браки, И крепость в вине, Даже яркость на луне. Можно ещё перечислять, И в проценты вычислять. Вывод один и тот же Без процентов, жизнь на земле быть не может!

Захарова А.Е. Несколько задач «про цены ». //журнал «Математика в школе» Савицкая Е.В., Серегина С.Ф. Уроки экономики в школе. - М.: Вита-Пресс, Энциклопедия для детей.Т. 11. Математика/ Главный ред. М.Д. Аксенова. - М. Аванта+, Список источников: