Решение задач В13. Выполнила: учитель математики МБОУ «Свияжская СОШ ЗМР РТ» Вавилова Наталия Александровна

Типы задач. Движение навстречу друг другу. Движение вдогонку. Движение по окружности. Движение по воде. Средняя скорость. Движение протяжённых тел. Задачи на работу. Задачи на бассейны и трубы. Задачи на проценты и доли. Задачи на концентрацию, смеси, сплавы. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия.

1.Движение навстречу друг другу. Задача 1. Расстояние между городами А и В равно 435км. Из города А в город В со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 65 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города А автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах.

Решение:

Через час после выезда первого автомобиля расстояние между автомобилями стало равно 435 – 60 = 375 (км) Поэтому автомобили встретятся через время Таким образом, до момента встречи первый автомобиль будет находиться в пути 1+3 = 4 (ч) и проедет 60 · 4 = 240 (км) Ответ: 240.

Задача 2. Из городов А и В, расстояние между которыми равно 480км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля: из города А со скоростью 55км/ч, а из города В – со скоростью 65км/ч. На каком расстоянии от города автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах. Ответ: 220.

2.Движение вдогонку. Задача3. Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам?

Решение: Проверим единицы измерения 300м =0,3км.

Находим по формуле Ответ: 12.

Задача 4 Два пешехода отправляются из одного и того же места в одном направлении на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 200 метрам? Ответ: 12

3.Движение по окружности (замкнутой трассе). Задача5. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение: Пусть скорость второго автомобиля – х (км/ч). это время, за которое первый автомобиль будет опережать второй на один круг, составим по условию задачи уравнение откуда х = 42, т.е. х = 59 (км/ч) Ответ: 59.

Задача 6 Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 6 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 114 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч. Ответ: 105

4. Движение по воде. Задача7 Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 25 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длиться 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 30 часов после отплытия из него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс?

Решение: S(км)V(км/ч)t (ч) По течению x25+3=28 Против течения х25-3=22 По условию задачи стоянка длилась t = 5ч., а общее время движения t =30ч. Составим уравнение

откуда т.к. искомая величина по условию задачи равна 2х, то расстояние равно 616км. Ответ: 616.

Задача 8. Баржа прошла против течения 24км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 3 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость баржи в неподвижной воде, если скорость течения равна 2км/ч. Ответ дайте в км/ч. Ответ: 6.

5. Средняя скорость. Задача9. Первую треть трассы велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, вторую треть- со скоростью 16 км/ч, а последнюю треть- со скоростью 24 км/ч. Найдите среднюю скорость велосипедиста на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение: значит, время, потраченное им на весь, равно t = t 1 + t 2 + t 3, т.е. искомую среднюю скорость находим по формуле: Ответ: 16.

Задача 10. Первый час автомобиль ехал со скоростью 100 км/ч, следующие три часа со скоростью 80 км/ч, а затем один час со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч. Ответ: 80.

6.Движение протяжённых тел. Задача11. По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120 метров, второй - длиной 80 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго сухогруза составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруза отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?

Решение: L 0 = =1200 (м) 100м/мин = 6км/ч Ответ: 6.

Задача 12. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 54км/ч, проезжает мимо идущего параллельно путям со скоростью 6км/ч навстречу ему пешехода за 30 секунд. Найдите длину поезда в метрах. Ответ: 500.

7. Задачи на работу. Задача13. Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?

Решение: За 1 часВремя (ч) Первый рабочий3+х Второй рабочийх За 3 часа первый рабочий сделал 3 · = всей работы. Оставшиеся 1 - = работы они делали уже вместе и потратили на это Значит, время, затраченное на выполнение всего заказа, составляет 3 +6 =9 (ч) Ответ: 9.

Задача 14. Гоша и Лёша вскапывают грядку за 8 минут, а один Гоша – за 24 минуты. За сколько минут вскопает грядку один Лёша? Ответ: 12.

8. Задачи на бассейны и трубы. Задача15. Первая труба пропускает на 6 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если бак объемом 360 литров она заполняет на 10 минут медленнее, чем вторая труба.

Решение: За 1 час(л/мин)Время (мин.)Объём (л) Первая труба Х (Х ˃ 0) 360 Вторая трубаХ Зная, что первая труба заполняет бак на 10 мин медленнее, чем первая составим и решим уравнение.

разделим обе части уравнения на 10, получим откуда х(х+6) = 36 · 6, х 2 +6х – 216 = 0. Корнями полученного квадратного уравнения являются числа -18 и 12, из которых только последнее удовлетворяет условию Х ˃ 0. Ответ: 12.

Задача 16. Первая труба пропускает на 4 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 425 литров она заполняет на 8 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 525 литров? Ответ: 25

9. Задачи на проценты и доли. Задача17. Пять рубашек дешевле куртки на 25%. На сколько процентов семь рубашек дороже куртки?

Решение: Пусть рубашка стоит- Х, а куртка – у. из условия следует, что 5Х = 0,75у, Х = 0,15у. Следовательно 7Х=7·0,15у = 1,05у. Значит, семь рубашек дороже куртки на 5% Ответ: 5.

Задача 18. В 2008 году в городском квартале проживало человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 2%, а в 2010 году на 10% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году? Ответ: 56100

10. Задачи на концентрацию, смеси, сплавы. Задача19. Виноград содержит 91% влаги, а изюм- 7%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 21 килограмма изюма?

Решение: ВодаСухого вещества Масса(кг) Виноград91%=0,910,09 Х Изюм7%=0,070, ,09Х = 0,93·21, 9Х = 93·21, Х = 217 (кг). Ответ: 217.

Задача 20. Смешали 4 литра 30-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 5-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Ответ: 15

11. Арифметическая прогрессия. Задача21. Том Сойер и Гекльберри Финн красят забор длиной 100 метров. Каждый следующий день они красят больше, чем в предыдущий, на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме они покрасили 20 метров забора. За сколько дней был покрашен весь забор?

Решение. Пусть ребята в первый день покрасили а 1 метров забора, во второй – а 2 метров и т.д., в последний а n метров забора. Тогда а 1 + а n = 20 (м), а за n дней было покрашено т.к. всего было покрашено 100 метров забора, то Ответ: 10.

Задача 22 Рабочие прокладывают тоннель длиной 69 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 4 метра туннеля. Определите, сколько метров туннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 6 дней. Ответ: 19

12. Геометрическая прогрессия. Задача23. У гражданина Петрова 1 августа 2000 года родился сын. По этому случаю он открывал в некотором банке вклад в 1000 рублей. Каждый следующий год 1 августа он пополнял вклад на 1000 рублей. По условиям договора банк ежегодно 31 июля начислял 20% на сумму вклада. Через 6 лет у гражданина Петрова родилась дочь, и он открыл в другом банке еще один вклад, уже на 2200 рублей, и каждый следующий год пополнял этот вклад на 2200 рублей, а банк ежегодно начислял 44% на сумму вклада. Через сколько лет после рождения сына суммы на вкладах сравняются, если деньги из вкладов не изымаются?

Решение. Ответ: 11.

Задача 24 Бизнесмен Печенов получил в 2000 году прибыль в размере рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 7% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Печенов за 2002 год? Ответ: