Мультимедийное сопровождение Составители: Шубенкова Валентина Владимировна, учитель математики, Шабановская школа, Ленинск-Кузнецкий район; Заподойникова Наталья Владимировна, учитель математики, Урюпинская школа, Тисульский район.
Добро пожаловать!!!
Введение Уважаемые коллеги! Уважаемые коллеги! Предлагаемый Вашему вниманию проект представляет собой презентацию по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии». Алгебра 9 класс. Предлагаемый Вашему вниманию проект представляет собой презентацию по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии». Алгебра 9 класс. Перед нами стояла задача максимально облегчить подготовку учителя к уроку. Перед нами стояла задача максимально облегчить подготовку учителя к уроку. В данном проекте учитель может найти всё, что необходимо ему для подготовки к урокам и их проведению: справочный и исторический материал, нестандартные, исследовательские задачи и задачи, содержащие жизненную ситуацию, различные формы контроля. В данном проекте учитель может найти всё, что необходимо ему для подготовки к урокам и их проведению: справочный и исторический материал, нестандартные, исследовательские задачи и задачи, содержащие жизненную ситуацию, различные формы контроля. Педагог может заимствовать предлагаемые слайды полностью, либо использовать их частично, встраивая в план своего учебного занятия. Эта презентация поможет оживить урок и разнообразить формы контроля. Педагог может заимствовать предлагаемые слайды полностью, либо использовать их частично, встраивая в план своего учебного занятия. Эта презентация поможет оживить урок и разнообразить формы контроля. Желаем успехов в развитии Вашего творчества!!! Желаем успехов в развитии Вашего творчества!!!
Цель проекта : 1.Обобщить и систематизировать материал по данной теме. 2.Содействовать рациональной организации труда; введением игровой ситуации снять нервно-психическое напряжение, развивать познавательные процессы, память, воображение, мышление, внимание, наблюдательность, сообразительность, выработать самооценку в выборе пути. 3.Повысить интерес к нестандартным задачам, сформировать положительный мотив учения.
ПРОГРЕССИЯ Арифметическая 1. a n+1 = a n +d 2. a n = a 1 + d(n-1) 3. a n = a n- 1 + a n S n = (a 1 + a n )n 2 5. S n = (2a 1 + d(n-1))n 2Геометрическая 1. b n+1 = b n q 2. b n = b 1 q n-1 3. b n = b n-1 · b n+1 4. S n = b 1 (q n -1) q-1 q-1 5. S n = b n q –b 1 q-1 q-1 6. S = b 1 _ 1-q 1-q
Закончился двадцатый век. Куда стремится человек? Изучены космос и море, строение звёзд и вся Земля. Но математиков зовёт известный лозунг: «Прогрессивно – движение вперёд». Закончился двадцатый век. Куда стремится человек? Изучены космос и море, строение звёзд и вся Земля. Но математиков зовёт известный лозунг: «Прогрессивно – движение вперёд». Слово «прогрессия»- латинское (progressio - движение вперед (как слово «прогресс»). Слово «прогрессия»- латинское (progressio - движение вперед (как слово «прогресс»). Термин «прогрессия» был введён римским автором Боэцием (VI в.) и понимался в более широком смысле как бесконечная числовая последовательность. Названия «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены на прогрессии из теории непрерывных пропорций, изучением которых занимались древние греки. Задачи на геометрические и арифметические прогрессии встречаются у вавилонян, в египетских папирусах, в древнекитайском трактате «Математика в 9 книгах». Так, в одной из клинописных табличек вавилонян предлагается найти сумму первых девяти членов геометрической прогрессии 1; 2; 22;...; 2n Термин «прогрессия» был введён римским автором Боэцием (VI в.) и понимался в более широком смысле как бесконечная числовая последовательность. Названия «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены на прогрессии из теории непрерывных пропорций, изучением которых занимались древние греки. Задачи на геометрические и арифметические прогрессии встречаются у вавилонян, в египетских папирусах, в древнекитайском трактате «Математика в 9 книгах». Так, в одной из клинописных табличек вавилонян предлагается найти сумму первых девяти членов геометрической прогрессии 1; 2; 22;...; 2n Отметим также, что Архимед знал, что такое геометрическая прогрессия, и умел вычислять сумму любого числа ее членов. Правило нахождения суммы членов арифметической прогрессии впервые встречается в «Книге абака» (1202) Леонардо Пизанского. Формула для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии была известна П. Ферма (XVII в.). Отметим также, что Архимед знал, что такое геометрическая прогрессия, и умел вычислять сумму любого числа ее членов. Правило нахождения суммы членов арифметической прогрессии впервые встречается в «Книге абака» (1202) Леонардо Пизанского. Формула для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии была известна П. Ферма (XVII в.).
Архимед (III в. до н. э.) для нахождения площадей и объёмов фигур применял «атомистический метод», для чего ему потребовалось находить суммы членов некоторых последовательностей. Он вывел формулу суммы квадратов натуральных чисел …+ n 2 =1/6n(n+1)(2n+1), показал, как найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии 1 + 1/4 + 1/4 2 +… Архимед (III в. до н. э.) для нахождения площадей и объёмов фигур применял «атомистический метод», для чего ему потребовалось находить суммы членов некоторых последовательностей. Он вывел формулу суммы квадратов натуральных чисел …+ n 2 =1/6n(n+1)(2n+1), показал, как найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии 1 + 1/4 + 1/4 2 +… Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим учёным Диофантом (III в.). Общее правило для суммирования любой бесконечно убывающей геометрической прогрессии даёт Н.Шюке в книге «Наука о числах» (1484). Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим учёным Диофантом (III в.). Общее правило для суммирования любой бесконечно убывающей геометрической прогрессии даёт Н.Шюке в книге «Наука о числах» (1484). В старорусском юридическом сборнике «Русская правда» (X-XI вв.) содержатся выкладки количества зерна, собранного с определенного участка земли; некоторые из них содержат вычисление суммы геометрической прогрессии со знаменателем 2. В старорусском юридическом сборнике «Русская правда» (X-XI вв.) содержатся выкладки количества зерна, собранного с определенного участка земли; некоторые из них содержат вычисление суммы геометрической прогрессии со знаменателем 2.
Задача Пифагора (580 – 500 г.г. до н.э.) Найти сумму n первых нечетных натуральных чисел: …+(2n-1) Найти сумму n первых нечетных натуральных чисел: …+(2n-1)
Задача Ахмеса 1) О том, как давно была известна геометрическая прогрессия, свидетельствуют папирусы Ахмеса. Некоторые задачи имеют отвлеченный характер. Например: В доме было 7 кошек. Каждая кошка съела 7 мышей. Каждая мышь съедает 7 колосьев. Каждый колос дает 7 растений. На каждом растении вырастает 7 мер зерна. Сколько всех вместе? 2) И на Руси решались похожие задачи. Еще в XIX веке в деревнях загадывали: « Шли 7 старцев. У каждого по 7 костылей. На каждом костыле по 7 сучьев. На каждом сучке по 7 кошелей. В каждом кошеле по 7 пирогов. Сколько всего?» А ведь эта та же самая задача Ахмеса, прожившая тысячелетия она сохранилась почти неизмененной. 2) И на Руси решались похожие задачи. Еще в XIX веке в деревнях загадывали: « Шли 7 старцев. У каждого по 7 костылей. На каждом костыле по 7 сучьев. На каждом сучке по 7 кошелей. В каждом кошеле по 7 пирогов. Сколько всего?» А ведь эта та же самая задача Ахмеса, прожившая тысячелетия она сохранилась почти неизмененной.
«Арифметика» Магницкого Некто продал лошадь за 156 рублей. Но покупатель, приобретая лошадь, тут же раздумал и возвратил ее продавцу, говоря: «Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит!». Тогда продавец предложил другие условия: «Если по-твоему, цена лошади высока, то купи только ее подковные гвозди, лошадь же получишь тогда бесплатно, в придачу. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего полушку (0,25 копейки), за второй – две полушки (0,5 копейки), за третий – 4 полушки (1 копейка) и т.д.». Покупатель, соблазненный низкой ценой и желая даром приобрести лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей. Проторговался ли покупатель, и если да, то на сколько? сколько?
Задача - легенда С начала нашей эры известна следующая задача-легенда: «индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подданного Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сета, издеваясь над царем, потребовал за первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, за вторую - 2 зерна, за третью - 4 зерна и т. д. Оказалось, что царь не был в состоянии выполнить это «скромное» желание Сеты». В задаче надо найти сумму 64 членов геометрической прогрессии 1; 2; 22 ; 2 3;...; 263 с первым членом 1 и знаменателем 2. Эта сумма равна = В задаче надо найти сумму 64 членов геометрической прогрессии 1; 2; 22 ; 2 3;...; 263 с первым членом 1 и знаменателем 2. Эта сумма равна = Такое количество зерен можно собрать Такое количество зерен можно собрать лишь с урожая планеты, поверхность которой примерно в 2000 раз больше поверхности Земли. поверхности Земли.
Эпизод из биографии Гаусса Однажды на уроке, чтобы занять Однажды на уроке, чтобы занять первоклассников, пока он будет занят с учениками другого класса, учитель велел сложить числа от 1 до 100, надеясь, что сложить числа от 1 до 100, надеясь, что это займет много времени, но маленький Гаусс сразу сообразил, что =101, = 101 и т.д =101, = 101 и т.д. И таких чисел будет 50. Осталось умножить101 на 50. Это он сделал в уме. Едва закончил учитель чтение условия, он предъявил ответ, записанный на грифельной доске. Изумленный учитель понял, что это самый способный ученик в его практике. В дальнейшем Гаусс сделал много замечательных открытий. Его даже называли « царем математики». И таких чисел будет 50. Осталось умножить101 на 50. Это он сделал в уме. Едва закончил учитель чтение условия, он предъявил ответ, записанный на грифельной доске. Изумленный учитель понял, что это самый способный ученик в его практике. В дальнейшем Гаусс сделал много замечательных открытий. Его даже называли « царем математики».
Знаете ли вы, что арифметическая и геометрическая прогрессии встречаются не только в математике, но и в других отраслях знаний и даже в литературе. Вспомним строки А.С. Пушкина из романа «Евгений Онегин», сказанные о его герое: « …..не мог он ямба от хорея, как мы ни бились, отличить». Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха. Ямб – стихотворный метр с ударениями на четных слогах стиха. ( Мой дядя самых честных правил….), то есть ударными являются 2 – й, 4 – й, 6 – й, 8 – й, и так далее слоги. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и с разностью, равной 2: первым членом 2 и с разностью, равной 2: 2; 4; 6; 8;… Хорей – стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха.( Буря мглою небо кроет.) Номера ударных слогов также образуют арифметическую прогрессию, но её первый член равен 1, а разность по – прежнему равна 2: 1; 3; 5; 7;… 1; 3; 5; 7;…
1.Отдыхающий, следуя совету врача, загорал в первый день 5 минут, а в каждый последующий день увеличивал время пребывания на солнце на 5 минут. В какой день недели время его загорания будет равно 40 минут, если он начал загорать в среду? Ответ: а) среда; б) четверг; в) пятница; г) вторник. 2.В течение года ожидается инфляция около 10% в месяц от уровня января. В январе работник получал 8 у.е. Превысит ли его годовая зарплата 140 у.е.? Превысит ли его годовая зарплата 140 у.е.? 3.У нас образовалась прибыль в размере 100 у.е. Есть три банка, в которые можно вложить деньги: 1-й банк – простые проценты из расчета 3% в месяц, 1-й банк – простые проценты из расчета 3% в месяц, 2-й банк-под простые проценты из расчета 40% в год, 3-й банк-под сложные проценты из расчета 30% в год. 3-й банк-под сложные проценты из расчета 30% в год. Мы хотим положить деньги на три года. В каком банке это наиболее выгодно?
4.Представьте, что вы – учетчик на стройке. Привезли и вывезли большое количество бревен строевого леса. Нужно быстро определить, сколько бревен привезли, чтобы закрыть наряд шоферу. 4.Представьте, что вы – учетчик на стройке. Привезли и вывезли большое количество бревен строевого леса. Нужно быстро определить, сколько бревен привезли, чтобы закрыть наряд шоферу. В данном случае, чтобы подсчет бревен осуществлялся по простым формулам, один из способов – использовать естественное расположение бревен так, чтобы в каждом верхнем ряду их оказалось на единицу меньше, чем в нижнем. В данном случае, чтобы подсчет бревен осуществлялся по простым формулам, один из способов – использовать естественное расположение бревен так, чтобы в каждом верхнем ряду их оказалось на единицу меньше, чем в нижнем. Тогда число бревен ряда образует арифметическую прогрессию и общее количество легко подчитывается по формуле суммы арифметической прогрессии с разностью, равной единице. 5.Сколько ударов сделают настенные часы за 12 часов, если они бьют только один раз в час, отбивая число часов?
1. Тест. 2. Кросснамбер. 3. Таблица. 4. Проверочная работа.
Тест 1. 1.Выберите верные предложения: а) Если каждый член последовательности, начиная со второго меньше предыдущего на одно и то же число, то последовательность является арифметической прогрессией. б) Если последовательность является геометрической прогрессией, то каждый её член, начиная со второго, равен квадратному корню из произведения соседних с ним членов. в) Если последовательность а1, а2, …аn… является арифметической прогрессией и известен её седьмой член и девятый члены, то 2а8 = а 7+ а9. 1. только а; 2.только б; 3.только в; 4.а, в; 1. только а; 2.только б; 3.только в; 4.а, в; 5. б, в 6. а, б, в. 5. б, в 6. а, б, в. 2.Дана арифметическая прогрессия 2, 1,5; 1; … Формула n-го члена имеет вид: 1. 0,5 +2(n-1) 2. 1,5 + 0,5 n 3. 2,5 – 0,5n. 4. 2n. 3. Дана геометрическая прогрессия 3, 1, 1/3, … Формула n – го члена имеет вид: Среди прогрессий а) –г) выберите те, которые являются геометрическими: а) 1, 0,2 0,04,… б) -2, 2, 6,… в) 2,2, 4,4, 8,8, 17,6,… г) х, 2х, 3х, … 1. а,б 2. б,в 3. а,в 4. б,г 5. а,б,в. 1. а,б 2. б,в 3. а,в 4. б,г 5. а,б,в. 1.Выберите верные предложения: а) Если последовательность является арифметической прогрессией, то каждый ее член, начиная со второго равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. б) Если последовательность а1, а2, …аn… является геометрической прогрессией и известны ее восьмой и десятый члены, то а9 =а8*а10. в) Если каждый член последовательности, начиная со второго, больше предыдущего на одно и то число, то последовательность является арифметической прогрессией. 1. только а; 2.только б; 3.только в; 4.а, в; 1. только а; 2.только б; 3.только в; 4.а, в; 5. б, в 6. а, б, в. 5. б, в 6. а, б, в. 2.Дана арифметическая прогрессия 3, 2.6, 2,2 … Формула n-го члена имеет вид: 1. 2,6 +0,4n. 2. 3,4 +0,4n. 3. 3,4- 0,4n. 1. 2,6 +0,4n. 2. 3,4 +0,4n. 3. 3,4- 0,4n. 4.3n. 4.3n. 3.Дана геометрическая прогрессия 4, 1, 1/4,… Формула n –го члена имеет вид: Среди прогрессий а) –г) выберите те, которые являются геометрическими: а) 1, 0,25, 0,0625,… б) -2, 1, 4… а) 1, 0,25, 0,0625,… б) -2, 1, 4… в) 2у, 3у, 4у,… г) 1,2, 2,4, 4,8 ….. в) 2у, 3у, 4у,… г) 1,2, 2,4, 4,8 ….. 1. а,б 2. б,г. 3. а,г 4. а, в. 5. а, в, г. n-n2-nn-2
Тест 2. Вариант – 1 Вариант – 1 1. Найдите восьмой член арифметической прогрессии (a n ) если a 1 =15 и d=3. 2. Записать первые четыре члена геометрической прогрессии, если b1=200, q=0,4 3. Вычислите сумму шести первых членов геометрической прогрессии, если b1=5, q=2 4. Найдите разность арифметической прогрессии a 1 ; a 2 ; 11; a 4 ; 21; a 6 ;… Вариант – 2 Вариант – 2 1. Найдите четвертый член геометрической прогрессии (b n ), если b 1 =1, а q= Записать первые пять членов арифметической прогрессии если a 1 =3, d= Найти сумму шестнадцати первых членов арифметической прогрессии: 8; 4; 0; … 4. b 1; 1; b 3 ; 4; b 5 ; … - геометрическая прогрессия, все члены которой положительны. Найдите b 3.
По горизонтали: а)количество нечётных чисел натурального ряда, начиная с 13, сумма которых равна 3213; в)сумма пяти первых членов геометрической прогрессии, четвёртый член которой равен 3, а седьмой равен 1/9; д)сумма первых шести положительных членов арифметической прогрессии -127, -119, …; е)третий член геометрической прогрессии (bn), у которой первый член равен 5, а знаменатель q=10; ж)сумма -13+(-9)+(-5)+…+63, если её слагаемые – последовательные члены арифметической прогрессии. По вертикали: а)сумма всех двузначных чисел, кратных девяти; б)удвоенный двадцать первый член арифметической прогрессии, у которой первый член равен -5, а разность равна 3; в) шестой член последовательности, которая задана формулой n-го члена аn+1 =3n·(2n+1); г)разность арифметической прогрессии (аn), если а5=4, а14=121. абвг д еж
Заполни таблицу: а1а1а1а1dn anananan snsnsnsn b1b1b1b1qn bnbnbnbn SnSnSnSn1310 0, ,
Проверочная работа Дана последовательность 2, 7, 12, 22, 27… Является ли эта последовательность арифметической прогрессией? Дана последовательность 2, 7, 12, 22, 27… Является ли эта последовательность арифметической прогрессией? Дана последовательность 2, 4, 8, 16… Является ли эта последовательность геометрической прогрессией? Дана последовательность 2, 4, 8, 16… Является ли эта последовательность геометрической прогрессией? Выписали двадцать членов арифметической прогрессии 6,5; 8… Встретится ли среди них число22,5? Выписали двадцать членов арифметической прогрессии 6,5; 8… Встретится ли среди них число22,5? В арифметической прогрессии известно: а 1 = 12, d=3.Сколько в этой прогрессии положительных членов? В арифметической прогрессии известно: а 1 = 12, d=3.Сколько в этой прогрессии положительных членов?
1.Могут ли числа а, в и с быть одновременно последовательными членами арифметической и геометрической прогрессий? 1.Могут ли числа а, в и с быть одновременно последовательными членами арифметической и геометрической прогрессий? 2.Имеет ли решение уравнение 2.Имеет ли решение уравнение (х+6) + (х+9) + (х+12) + (х+15) + (х+18) + (х+21) + (х+24) =182? 3.Известно, что стороны треугольника образуют геометрическую прогрессию. Образуют ли высоты этого треугольника геометрическую прогрессию? 3.Известно, что стороны треугольника образуют геометрическую прогрессию. Образуют ли высоты этого треугольника геометрическую прогрессию? 4.Известно, что y=f(x) – линейная функция и х1, х2, х3, … - арифметическая прогрессия. Является ли последовательность f(х1), f(х2), f(х3), … арифметической прогрессией? 4.Известно, что y=f(x) – линейная функция и х1, х2, х3, … - арифметическая прогрессия. Является ли последовательность f(х1), f(х2), f(х3), … арифметической прогрессией?
Вычислить: 1. ответ: 75 1/ – – …+ 2 2 – 1 2 ответ: ( … ) – ( … ) ответ: Решить уравнения: ·5 4 ·5 6 …5 2х = 0, ответ: х + х 2 +…+ х 109 =0 ответ: х +1 + х 2 + х 3 + х 4 + х 5 +…=13/6, lхl
Список литературы 1.Голубева, Л.В. Арифметическая и геометрическая прогрессиии/ Л.В.Голубева//Математика С Ковалёва, С.П. Алгебра. 9 класс: поурочные планы по учебнику Ю.Н.Макарычева и др./С.П.Ковалёва.- Волгоград: Учитель, с. 3.Кошина, Т.П. Прогрессии/ Т.П.Кошина// Математика С Ляшова, Н.М. Математика: открытые уроки 5, 6, 7, 9, 11 классы/ Н.М.Ляшова,Е.Н.Куменова.-Волгоград: Учитель, С Худадатова, С.С. Математика в ребусах, кроссвордах, чайнвордах, криптограммах, 9 класс / С.С.Худадатова.-М.: школьная Пресса, с.
До новых встреч!!!