. Задачи В8

На рисунке изображен график функции, определенной на интервале (6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна. Задание

Решение. Производная функции положительна на тех интервалах, на которых функция возрастает, т. е. на интервалах (3; 0) и (4,6; 7). В них содержатся целые точки 2, 1, 5 и 6, всего их 4. Ответ: 4

Задание На рисунке изображен график функции, определенной на интервале (5; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Решение. Производная функции отрицательна на тех интервалах, на которых функция убывает, т. е. на интервалах (3,8; 1,2) и (2,8; 4,4). В них содержатся целые точки 3, 2, 1, 0, 1, 3, 4. Их 7 штук. ответ: 7

Задание На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (5; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней.

Решение Поскольку касательная параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны 0. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания. Производная равна нулю в точках экстремума функции. На заданном интервале функция имеет 2 максимума и 2 минимума, итого 4 экстремума. Таким образом, касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней в 4 точках. Ответ: 4.

Задание На рисунке изображен график производной функции, определенной на интервале. В какой точке отрезка принимает наименьшее значение.

Решение На заданном отрезке производная функции положительна, поэтому функция на этом отрезке возрастает. Поэтому наименьшее значение функции достигается на левой границе отрезка, т. е. в точке. Ответ: 7.

Задание На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = 2x11 или совпадает с ней.

Решение Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой y = 2x11 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны –2. Найдем количество точек, в которых y'(x0) = 2, геометрически это соответствует количеству точек пересечения графика производной с прямой y = 2. На данном интервале таких точек 5. Ответ: 5.

Задание На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (11; 11). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [10; 10].

Решение Точки экстремума соответствуют точкам смены знака производной изображенным на графике нулем производной. Производная обращается в нуль в точках 6, 2, 2, 6, 9. На отрезке [10; 10] функция имеет 5 точек экстремума. Ответ: 5.

Задание На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (7; 4). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение Промежутки возрастания данной функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых ее производная положительна, то есть интервалам (7; 5,5), (2,5; 4). Данные интервалы содержат целые точки –6, –2, –1, 0, 1, 2, 3. Их сумма равна –3. Ответ: –3.

Задание На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (4; 8). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [2; 6].

Решение Если производная в некоторой точке равна нулю, а в ее окрестности меняет знак, то это точка экстремума. На отрезке [–2; 6] график производной пересекает ось абсцисс, производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, точка 4 является точкой экстремума. Ответ: 4.

Задание На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (2; 12). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение Промежутки убывания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна, то есть интервалам (1; 5) длиной 6 и (7; 11) длиной 4. Длина наибольшего из них 6. Ответ: 6.

Задание На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [6; 9].

Решение. Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с положительного на отрицательный. На отрезке [6; 9] функция имеет одну точку максимума x = 7. Ответ: 1.

Задание На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (11; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение Промежутки возрастания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции положительна, то есть интервалам (11; 10), (7; 1), (2; 3). Наибольший из них интервал (7; 1), длина которого 6. Ответ: 6.

Задание На рисунке изображен график функции f(x), определенной на интервале (5; 5). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

Решение Производная изображенной на рисунке функции f(x) равна нулю в точках экстремумов: 4,7; 1,4; 2,6 и 4,2. Производная равна нулю в 4 точках. Ответ: 4.