Некоторые приложения пределов, производных и интегралов в экономике

Применение пределов в экономических расчетах Сложные проценты

Рассмотрим формулу сложных процентов: S = P(1 + i) n Здесь P - первоначальная сумма, i - ставка процентов (в виде десятичной дроби), S - сумма, образовавшаяся к концу срока ссуды в конце n -го года. Обобщим формулу сложных процентов для случая, когда проценты начисляются m раз в году: S =P (1 + i/m) mn Наращенная сумма при дискретных процессах находится по этой формуле, здесь m - число периодов начисления в году, i - годовая или номинальная ставка. Чем больше m, тем меньше промежутки времени между моментами начисления процентов. В пределе при m имеем: S = P (1 + i/m) mn = P ((1 + i/m) m ) n. Поскольку (1 + i/m) m = e i, то S = P e in

Предельный анализ (производные) в экономике. Эластичность функции В экономических исследованиях для обозначения производных часто пользуются специфической терминологией. Например, если f(x) есть производственная функция, выражающая зависимость выпуска какой-либо продукции от затрат фактора x, то f '(x) называют предельным продуктом ; если g(x) есть функция издержек, т. е. функция g(x) выражает зависимость общих затрат от объема продукции x, то g'(x) называют предельными издержками. Предельный анализ в экономике - совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменении объемов производства, потребления и т.п. на основе анализа их предельных значений.

Если зависимость между двумя показателями v и x задана аналитически: v = f(x) - то средняя величина представляет собой отношение v/x, а предельная – производную

Нахождение производительности труда. Пусть известна функция u = u(t), выражающая количество произведенной продукции u за время работы t. Вычислим количество произведенной продукции за время t = t 1 - t 0 : u = u(t 1 ) - u(t 0 ) = u(t 0 + t) - u(t 0 ). Средней производительностью труда называется отношение количества произведенной продукции к затраченному времени, т.е. z ср.= u/ t. Производительностью труда рабочего z(t 0 ) в момент t0 называется предел, к которому стремится z ср. при t 0:. Вычисление производительности труда, таким образом, сводится к вычислению производной: z(t 0 ) = u'(t 0 ).

Издержки производства K однородной продукции есть функция количества продукции x. Поэтому можно записать K = K(x). Предположим, что количество продукции увеличивается на х. Количеству продукции x+ х соответствуют издержки производства K(x + х). Следовательно, приращению количества продукции х соответствует приращение издержек производства продукции K = K(x + х) - K(x). Среднее приращение издержек производства есть K/ х. Это приращение издержек производства на единицу приращения количества продукции. Предел называется предельными издержками производства.

Если обозначить через u(x) выручку от продажи x единиц товара, то и называется предельной выручкой.

Эластичность функции Эластичностью функции y = f(x) относительно переменной x называют предел Его обозначают E x (y) = x/y f (x) =. Эластичность относительно x есть приближенный процентный прирост функции (повышение или понижение), соответствующий приращению независимой переменной на 1%.

Экономическое толкование Экономисты измеряют степень чуткости, или чувствительности, потребителей к изменению цены продукции, используя концепцию ценовой эластичности. Для спроса на некоторые продукты характерна относительная чуткость потребителей к изменениям цен, небольшие изменения в цене приводят к значительным изменениям в количестве покупаемой продукции. Спрос на такие продукты принято называть относительно эластичным или просто эластичным.

Что касается других продуктов, потребители относительно нечутки к изменению цен на них, то есть существенное изменение в цене ведет лишь к небольшому изменению в количестве покупок. В таких случаях спрос относительно неэластичен или просто неэластичен. Термин совершенно неэластичный спрос означает крайний случай, когда изменение цены не приводит ни к какому изменению количества спрашиваемой продукции. Примером может служить спрос больных острой формой диабета на инсулин или спрос наркоманов на героин. И наоборот, когда при самом малом снижении цены покупатели увеличивают покупки до предела своих возможностей - тогда мы говорим, что спрос является совершенно эластичным.

Примеры экономических задач: Пример 1. Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется a погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?

Пример 2 Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью V=16 50 м 3. Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

Использование интегралов в экономических расчетах Пример. Определить объем продукции, произведенной рабочим за третий час рабочего дня, если производительность труда характеризуется функцией f(t) = 3/(3t +1) + 4. Решение. Если непрерывная функция f(t) характеризует производительность труда рабочего в зависимости от времени t, то объем продукции, произведенной рабочим за промежуток времени от t 1 до t 2 будет выражаться формулой V =.

В нашем случае V = = ln ln = ln 10/7 + 4

Пример. Определить запас товаров в магазине, образуемый за три дня, если поступление товаров характеризуется функцией f(t) = 2t + 5. Решение. Имеем: V =.