Лекция 4. Системы массового обслуживания Содержание лекции: 1. Проблема управления потоками товаров и услуг Проблема управления потоками товаров и услуг Проблема управления потоками товаров и услуг 2. Теория массового обслуживания: предмет и основные понятия Теория массового обслуживания: предмет и основные понятия Теория массового обслуживания: предмет и основные понятия 3. Характеристики и необходимое условие работоспособности систем массового обслуживания Характеристики и необходимое условие работоспособности систем массового обслуживания Характеристики и необходимое условие работоспособности систем массового обслуживания 4. Обоснование инвестиционных решений с использованием теории массового обслуживания Обоснование инвестиционных решений с использованием теории массового обслуживания Обоснование инвестиционных решений с использованием теории массового обслуживания

Литература Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов / Под ред. В.В. Федосеева. 2-е изд. М.: ЮНИТИ-ДАНА, раздел 8.3. Фомин Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности: Учебник. 2 е изд. М.: Финансы и статистика, глава 6. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математические методы и модели для магистрантов экономики: Учеб. пособие. СПб.: Питер, глава 13. Управление фирмой / Под ред. Л.Л. Разумновой. М.: МАКС Пресс, Часть 2, с Лабскер Л.Г., Бабешко Л.О. Теория массового обслуживания в экономической сфере. М.: ЮНИТИ, Имитационное моделирование экономических процессов / Под ред. А.В. Емельянова. М.: Финансы и статистика, Системы массового обслуживания (с) Н.М. Светлов, / 19

4.1. Проблема управления потоками товаров и услуг Сфера услуг обслуживание клиентов в банкеобслуживание клиентов в банке регистрация пассажиров в аэропортурегистрация пассажиров в аэропорту предоставление мест в гостиницепредоставление мест в гостинице Менеджмент и администрирование Рассмотрение предложений о купле- продаже товаров и услуг и принятие решенийРассмотрение предложений о купле- продаже товаров и услуг и принятие решенийЛогистика организация товароприёмных и товароотпускных работорганизация товароприёмных и товароотпускных работ Маркетинг планирование мощностей каналов сбытапланирование мощностей каналов сбыта Информационные услуги обеспечение доступа клиентов к сайту фирмыобеспечение доступа клиентов к сайту фирмы Системы массового обслуживания (с) Н.М. Светлов, 2007 Очередь к пункту обслуживания Очередь к администра- тору Очередь к складскому терминалу «Очередь» клиентов, ожидающих, когда товар будет произведён «Очередь» запросов к сайту 3/ 19

4.1. Проблема управления потоками товаров и услуг Сфера услуг обслуживание клиентов в банкеобслуживание клиентов в банке регистрация пассажиров в аэропортурегистрация пассажиров в аэропорту предоставление мест в гостиницепредоставление мест в гостинице Менеджмент и администрирование Рассмотрение предложений о купле- продаже товаров и услуг и принятие решенийРассмотрение предложений о купле- продаже товаров и услуг и принятие решенийЛогистика организация товароприёмных и товароотпускных работорганизация товароприёмных и товароотпускных работ Маркетинг планирование мощностей каналов сбытапланирование мощностей каналов сбыта Информационные услуги обеспечение доступа клиентов к сайту фирмыобеспечение доступа клиентов к сайту фирмы Системы массового обслуживания (с) Н.М. Светлов, / 19

4.1.ЗАДАЧИ Овладеть терминологией ТМО в степени, достаточной для понимания специальной литературы Научиться распознавать типичные ситуации в бизнесе, связанные с запросами на обслуживание, сводимые к типовым моделям ТМО Научиться соизмерять ущерб, связанный с возникновением очереди, с затратами на его предотвращение Научиться находить в литературе и применять на практике модели управления потоками товаров и услуг, подходящие к ситуациям, связанным с бизнесом, в котором вы участвуете Системы массового обслуживания (с) Н.М. Светлов, / 19

4.2. ТМО: предмет и основные понятия Предмет теории массового обслуживания Статистические характеристики систем, представимых в форме двух или более взаимодействующих потоков событий с заданными распределениями вероятностейСтатистические характеристики систем, представимых в форме двух или более взаимодействующих потоков событий с заданными распределениями вероятностей Запрос на обслуживание (требование, транзакт) Событие, создающее потенциальную возможность благоприятного (желаемого) эффекта для порождающей его системыСобытие, создающее потенциальную возможность благоприятного (желаемого) эффекта для порождающей его системы Обслуживающая система (узел) Система, порождающая события, комплементарные запросам на обслуживание определённого типа и реализующие связанный с ними полезный эффектСистема, порождающая события, комплементарные запросам на обслуживание определённого типа и реализующие связанный с ними полезный эффект Системы массового обслуживания (с) Н.М. Светлов, / 19

4.2. Поток заявок последовательность транзактов, упорядоченная по времени их возникновенияпоследовательность транзактов, упорядоченная по времени их возникновенияОбслуживание Процесс взаимодействия транзакта с узломПроцесс взаимодействия транзакта с узлом Характеризуется затратами времени на обслуживаниеХарактеризуется затратами времени на обслуживание Очередь множество транзактов, ожидающих обслуживаниямножество транзактов, ожидающих обслуживания Ожидание Состояние транзакта между моментом возникновения и моментом начала обслуживанияСостояние транзакта между моментом возникновения и моментом начала обслуживания Состояние узла в период, когда отсутствуют транзакты, претендующие на обслуживаниеСостояние узла в период, когда отсутствуют транзакты, претендующие на обслуживание Системы массового обслуживания (с) Н.М. Светлов, / 19

Простейший (пуассоновский) поток 4.2. Поток заявок Регулярный Транзакты возникают через одинаковые промежутки времени Ординарный Можно указать достаточно малый интервал t, для которого возникновение транзакта окажется редким событием Стационарный Вероятность возникновения транзакта в течение интервала t остаётся постоянной с течением времени Без последействия Вероятность возникновения транзакта не зависит от того, давно ли возникали другие транзакты Системы массового обслуживания (с) Н.М. Светлов, 2007 Никогда не может быть процессом без последействия 8/ 19

4.2. Поток Пуассона (простейший) Характеризуется: экспоненциальным (показательным) распределением продолжительности промежутков между возникновением транзактов экспоненциальным (показательным) распределением продолжительности промежутков между возникновением транзактовэкспоненциальным (показательным) экспоненциальным (показательным) пуассоновским распределением вероятности возникновения n транзактов за период t пуассоновским распределением вероятности возникновения n транзактов за период tпуассоновским распределениемпуассоновским распределением Поток Эрланга порядка k Продолжительность промежутковПродолжительность промежутков между возникновением транзактов представляет собой сумму k независимых случайных величин, каждая из которых распределена по экспоненциальному закону экспоненциальному закону Продолжительность промежутковэкспоненциальному закону Поток Пальма Стационарный ординарный поток, в котором длительность промежутков времени между возникновением транзактов является независимой случайной величиной Системы массового обслуживания (с) Н.М. Светлов, 2007 Для моделирования систем массового обслуживания важно знать характер потока заявок. Для моделирования систем массового обслуживания важно знать характер потока заявок. Для многих потоков в справочниках можно найти формулы для расчёта характеристик СМО. Для многих потоков в справочниках можно найти формулы для расчёта характеристик СМО. Ошибка в определении характера потока заявок приводит к ошибке в оценке параметров СМО и, как следствие, либо к избыточным вложениям в их создание, либо к неработоспособности СМО. Ошибка в определении характера потока заявок приводит к ошибке в оценке параметров СМО и, как следствие, либо к избыточным вложениям в их создание, либо к неработоспособности СМО. 9/ 19

Системы массового обслуживания (с) Н.М. Светлов, 2007 Плотность распределения интервала времени между возникновением двух транзактов в потоке Эрланга 10/ 19

Системы массового обслуживания (с) Н.М. Светлов, 2007 Дискретное распределение Пуассона 11/ 19

Системы массового обслуживания (с) Н.М. Светлов, 2007 Экспоненциальное распределение 12/ 19

4.2. Системы массового обслуживания (с) Н.М. Светлов, 2007 Некоторые важные закономерности Некоторые важные закономерности СМО заданной мощности обработает: СМО заданной мощности обработает: больше всего заявок, если поток регулярный больше всего заявок, если поток регулярный меньше заявок, если нерегулярный поток не является потоком без последействия; меньше заявок, если нерегулярный поток не является потоком без последействия; меньше всего заявок, если поток является потоком без последействия меньше всего заявок, если поток является потоком без последействия Поток заявок, порождаемый рабочим, выпускающим однотипные детали на станке, не является потоком без последействия Поток заявок, порождаемый рабочим, выпускающим однотипные детали на станке, не является потоком без последействия поэтому для его моделирования нельзя применять формулы Эрланга для простейшего потока поэтому для его моделирования нельзя применять формулы Эрланга для простейшего потока если время производства одной детали (почти) постоянно, такой поток будет (почти) регулярным если время производства одной детали (почти) постоянно, такой поток будет (почти) регулярным Поток покупателей в крупном магазине близок к простейшему Поток покупателей в крупном магазине близок к простейшему несмотря на то, что каждый покупатель ходит в магазин через более- менее определённые периоды времени несмотря на то, что каждый покупатель ходит в магазин через более- менее определённые периоды времени дело в том, что покупателей очень много дело в том, что покупателей очень много Поток заселяющихся в гостиницу близок к простейшему Поток заселяющихся в гостиницу близок к простейшему это не так, если заселяются организованные группы туристов или вблизи гостиницы проводится коллективное мероприятие это не так, если заселяются организованные группы туристов или вблизи гостиницы проводится коллективное мероприятие зато время обслуживания в этом случае, как правило, не распределено экспоненциально, и формулы для простейшей СМО всё равно не применимы зато время обслуживания в этом случае, как правило, не распределено экспоненциально, и формулы для простейшей СМО всё равно не применимы 13/ 19

4.2. Системы массового обслуживания (с) Н.М. Светлов, 2007 С ожиданием одноканальнаяодноканальная многоканальнаямногоканальная замкнутаязамкнутая разомкнутаяразомкнутая С отказами одноканальнаяодноканальная многоканальнаямногоканальная С ожиданием и ограничением на длину очереди одноканальнаяодноканальная многоканальнаямногоканальная замкнутаязамкнутая разомкнутаяразомкнутая Классификация систем массового обслуживания 14/ 19

4.3. Характеристики и необходимое условие работоспособности СМО – среднее число транзактов, поступающих за единицу времени – среднее число транзактов, поступающих за единицу времени t – среднее время обслуживания транзакта = 1/t – среднее число транзактов, обслуживаемых за единицу времени = 1/t – среднее число транзактов, обслуживаемых за единицу времени = / –среднее число занятых каналов = / –среднее число занятых каналов n – число каналов Вероятность того, что все n каналов свободны Системы массового обслуживания (с) Н.М. Светлов, 2007 (на примере многоканальной СМО с неограниченной очередью) 15/ 19

4.3 – среднее число транзактов, поступающих за единицу времени – среднее число транзактов, поступающих за единицу времени t – среднее время обслуживания транзакта = 1/t – среднее число транзактов, обслуживаемых за единицу времени = 1/t – среднее число транзактов, обслуживаемых за единицу времени = / –среднее число занятых каналов = / –среднее число занятых каналов n – число каналов Вероятность того, что свободно n–k каналов Системы массового обслуживания (с) Н.М. Светлов, 2007 Вероятность наличия очереди из k – n заявок Вероятность наличия очереди из k – n заявок 16/ 19

4.3 – среднее число транзактов, поступающих за единицу времени – среднее число транзактов, поступающих за единицу времени t – среднее время обслуживания транзакта = 1/t – среднее число транзактов, обслуживаемых за единицу времени = 1/t – среднее число транзактов, обслуживаемых за единицу времени = / –среднее число занятых каналов = / –среднее число занятых каналов n – число каналов Вероятность наличия очереди Системы массового обслуживания (с) Н.М. Светлов, 2007 Средняя длина очереди Средняя длина очереди 17/ 19

4.3 – среднее число транзактов, поступающих за единицу времени – среднее число транзактов, поступающих за единицу времени t – среднее время обслуживания транзакта = 1/t – среднее число транзактов, обслуживаемых за единицу времени = 1/t – среднее число транзактов, обслуживаемых за единицу времени = / –среднее число занятых каналов = / –среднее число занятых каналов n – число каналов Среднее время ожидания в очереди Системы массового обслуживания (с) Н.М. Светлов, 2007 Коэффициент простоя каналов Коэффициент простоя каналов Необходимое условие работоспособности СМО Необходимое условие работоспособности СМО 18/ 19

4.4. Обоснование инвестиционных решений с использованием ТМО Потери от ожидания в очереди в расчёте на одну заявку: c W ·t Q (руб.) Потери от ожидания в очереди в расчёте на одну заявку: c W ·t Q (руб.) Инвестиции в создание дополнительного канала: i (руб.) Текущие затраты на функционирование канала: c T (руб./год) Системы массового обслуживания (с) Н.М. Светлов, 2007 Число дополни- тельных каналов Дополнительные эксплуата- ционные затраты Экономия на ожидании в очереди Число существующих каналов Альтернативная стоимость капитала Единица измерения – заявок в год 19/ 19