Алгебра логики

Логика Логика – это наука о формах и законах человеческой мысли, о законах доказательных рассуждений, изучающая методы доказательств и опровержений, т.е. методы установления истинности или ложности одних высказываний (утверждений) на основе истинности или ложности других высказываний.

Основные формы мышления Понятие Высказывание Умозаключение

Понятие - это форма мышления, фиксирующая основные существенные признаки объекта Содержание (совокупность существенных признаков объекта) Объем (совокупность предметов, на которые оно распространяется)

Высказывание – форма мышления, в которой либо утверждается или отрицается о свойствах реальных предметов и отношениях между ними. Оно может быть либо истинно либо ложно. ПростыеСоставные

Умозаключение - это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений(посылок) может быть получено новое суждение (заключение).

Алгебра логики Алгебра логики это математический аппарат, с помощью которого записывают, вычисляют, упрощают и преобразовывают логические высказывания. Создателем алгебры логики является живший в ХIХ веке английский математик Джордж Буль, в честь которого эта алгебра названа булевой алгеброй высказываний.

Основные логические связки

Таблица истинности Таблица истинности логической формулы выражает соответствие между всевозможными наборами значений переменных и значениями формулы.

Таблица истинности Для формулы, которая содержит две переменные, таких наборов значений переменных всего четыре: (0,0), (0,1), (1,0), (1,1). Если формула содержит три переменные, то возможных наборов значений переменных восемь: (0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1). Количество наборов для формулы с четырьмя переменными равно шестнадцати и т.д.

Основные логические операции КОНЪЮНКЦИЯ Соответствует союзу И; Обозначение & или ^ ; В языках программирования and; Название: Логическое умножение. Истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него простые высказывания.

Таблица истинности для И АB

Основные логические операции ДИЗЪЮНКЦИЯ Соответствует союзу ИЛИ; Обозначение V; В языках программирования or; Название: Логическое сложение. Истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него простых высказываний.

АB Таблица истинности для ИЛИ

Основные логические операции ИНВЕРСИЯ Соответствует союзу НЕ; Обозначение А; В языках программирования not; Название: Отрицание. Истинное высказывание делает ложным, и наоборот, ложное – истинным.

А Таблица истинности для НЕ

Таблица истинности для импликации Ложно тогда и только тогда, когда из истинной посылки следует ложный вывод.

Таблица истинности для эквивалентности Истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно ложны или истинны.

Порядок выполнения логических операций Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками. Но для уменьшения числа скобок договорились считать, что сначала выполняется операция отрицания (не), затем конъюнкция (и), после конъюнкции дизъюнкция (или) и в последнюю очередь импликация.

Логическая формула Определение логической формулы: Всякая логическая переменная и символы истина (1) и ложь (0) формулы. Если А и В переменные, то, (А В), (А v В), (А B), (А В) формулы.

Тавтология Некоторые формулы принимают значение истина при любых значениях истинности входящих в них переменных. Например, формула А v Такие формулы называются тождественно истинными формулами или тавтологиями. Высказывания, которые формализуются тавтологиями, называются логически истинными высказываниями.

Тождественная истина При всех наборах значений переменных x и y формула принимает значение 1, то есть является тождественно истинной.

Тождественная ложь В качестве другого примера рассмотрим формулу А, которой соответствует, например, высказывание Катя самая высокая девочка в классе, и в классе есть девочки выше Кати. Очевидно, что эта формула ложна, так как либо А, либо обязательно ложно. Такие формулы называются тождественно ложными формулами или противоречиями. Высказывания, которые формализуются противоречиями, называются логически ложными высказываниями.

Тождественная ложь При всех наборах значений переменных x и y формула принимает значение 0, то есть является тождественно ложной.

Выполнимая формула Формула в некоторых случаях принимает значение 1, а в некоторых 0, то есть является выполнимой.

Основные законы алгебры логики Позволяют производить тождественные преобразования логических выражений: ЗаконДля «или»Для «и» Закон тождества А=А Закон непротиворечия Закон двойного отрицания Законы де Моргана Закон коммутативности ЗаконДля «или»Для «и» Закон тождества А=А Закон непротиворечия Закон двойного отрицания Законы де Моргана Закон коммутативности Закон ассоциативности Закон дистрибутивности Операции с константами Склеивания Идемпотенции Поглощения

Основные законы алгебры логики Позволяют производить тождественные преобразования логических выражений: