Способы быстрых вычислений Выполнила ученица 10 класса МОУ «Новошимкусская СОШ Яльчикского района Чувашской республики» Кириллова Александра Руководитель учитель математики Кириллова С.М.

Сумма цифр Имеет смысл сосчитать, сколько раз среди слагаемых встречаются в отдельности числа 1, 2, 3, …, 9. Если количества этих чисел скажутся соответственно равными, то искомая сумма будет равными 1 и подсчет этой суммы можно будет произвести более экономно, а значит, с меньшей вероятностью ошибки.

Сложение большого количества двузначных чисел Если чисел достаточно много, то среди них с большей вероятностью найдутся пары или тройки чисел, дающие в сумме целое число десятков. Заменим такие группы чисел их суммами, а затем среди новых слагаемых выделим аналогично группы чисел, дающие в сумме целое число сотен. Действуя таким образом, мы сильно упростим работу по сложению исходных чисел. Например, складывая числа 17, 96,72, 29, 93, 32, 87, 68, 84, 37, 13, 92, 55, 61, 45, 34, 73, 29, 20, 64, получаем (17+93)+(96+84)+(72+68)+(29+61)+(87+13)+(37+73)+(55+45)+20+ +( )+(92+29)= = =(110+90)+(180+20)+( )+( )+1= =1101 Попробуйте подсчитать сумму исходных чисел в том порядке, в котором они были записаны вначале, и вы убедитесь, насколько это трудоемкое и нудное занятие.

Таблица умножения на пальцах Если вы хорошо знаете таблицу умножения чисел, меньших пяти, но почему-то неуверенно себя чувствуете при умножении однозначных чисел, больших пяти, то вы можете контролировать себя с помощью пальцев следующим образом. Пусть надо перемножить числа 6 и 7, загнем на одной руке столько пальцев, на сколько первый сомножитель превышает 5 (в нашем случае 6-5=1 пальцев), а на другой руке столько пальцев, на сколько второй сомножитель превышает 5 (в нашем случае 7-5=2 пальца). Если сложить количества загнутых пальцев и перемножить количества незагнутых пальцев, то получиться соответственно число десятков 1+2=3 и число единиц 4·3=12, а сумма 30+12=42 как раз и будет равна произведению 6·7.

Умножение на 9 с помощью пальцев Этот способ на столько прост, что его можно освоить любой ребенок, знакомый лишь с элементарным счетом. Пусть нужно умножить 6 на 9. Положив обе руки на стол, приподнимаем шестой палец, считая слева направо. Тогда количество пальцев слева от поднятого укажет цифру десятков (в нашем случае 5), а количество пальцев справа от поднятого укажет цифру единиц (равную 4), т. е. искомое произведение будет равно 54.

Вычитание вместо умножения Умножение некоторого числа на 9 можно свести к вычитанию двух чисел. Аналогично можно умножить чисел на 99, и на 999, на числа, близкие к числам 10, 100, 1000 и т. д. Примеры: 437*9 = 4370 – 437 = *997 = 437(1000 – 3) = – 1311 =

Быстрое деление Деление числа на 999 было произведено следующим образом: = 63* = 63* = 63* , откуда частное равно 63, а остаток 538. Используя аналогичные преобразования, разделите число с остатком на 99, на 98 и на ) = 634* = 634* = 634*99 + 6* = 634*99 + 6* = 640* = 641* ) = 634* * = 634*98 + 6*98*2 + 6*2*2 + 34* = 646* = 647* ) = 634*102 – 634* = 634*102 – 6*102*2 + 6*2*2 – 34* = 622* – = 622*

Способ удвоения При умножение чисел на степень двойки иногда используется способ, суть которого можно продемонстрировать на следующем примере: 139*32 = 278*16 = 556*8 = 1112*4 = 2224*2 = *14 = 139*16– 139*2= 2224 – 278 = *35 = 139* *2+ 139*1= = 4865.

Квадраты близких чисел Квадраты двух соседних чисел различаются на сумму этих чисел 31² = 30² + ( ) = = 961, если числа различаются на 2, то разность их квадратов 32² = 30² + 2 ( ) = = 1024, 33² = 35² – 2 ( ) = 1225 – 136 = 1089, 34² = 35² – ( ) = 1225 – 69 = 1156.

Квадрат числа, близкого к «круглому» Быстрому возведению в квадрат может способствовать умение перемножать в уме любые числа с некоторыми числами специального вида, например 192² = 200* ² = 36864, 412² = 400* ² =

Умножение и деление на 5 Трудно согласится тем, что разделить произвольное число на 2 в уме легче, чем умножить его на 5. Вместо умножения числа а на 5 можно, и это действительно проще, разделить его на 2 и умножить на 10. Аналогично вместо деления числа а на 5 можно, наоборот, умножить его на 2 и разделить на 10. Примеры: 1275*5 = 637,5*10 = 6375, 1275:5 = 2550:10 = 255.

Умножение чисел, близких к 1000 При перемножении чисел 987 и 996 были проделаны вычисления: 987*996 = (987 – 4) *13 = При решении таких примеров применим формулу (1000 – а) (1000 – в) = (1000 – а) 1000 – 1000в + ав = 1000 ((1000 – а) – в) + ав, где а=13, в=4.

Квадраты близких чисел Квадраты двух соседних чисел различаются на сумму этих чисел, поскольку имеют место равенство Аналогично, если числа различаются на 2, то разность их квадратов равна удвоенной сумме этих чисел. Так как любое целое число отличается от ближайшего числа, кратного 5, не более чем на 2, то, пользуясь указанными здесь соображениями, можно восстановить его квадрат, например, 31² = 30² + ( ) = = 961, 32² = 30² + 2 ( ) = = 1024, 33² = 35² – 2 ( ) = 1225 – 136 = 1089, 34² = 35² – ( ) = 1225 – 69 = 1156.

Следующий куб Кубы двух соседних чисел и различаются на число (а + 1)– а= 3а² + 3а + 1 = 3а (а + 1) + 1, равное утроенному произведению этих чисел, увеличенному на 1. Поэтому, зная куб, скажем, числа 30, мы быстро находим куб следующего числа: 31³ = 30³ + 3*30* = =

Квадрат числа, близкого к «круглому» Быстрому возведению в квадрат может способствовать умение перемножать в уме любые числа с некоторыми числами специального вида, например 192² = 200* ² = 36864, 412² = 400* ² = Вычисление квадратов в разобранных примерах основано на формуле а² = (а + в) (а – в) + в², в которой удачный подбор числа в сильно облегчает выкладки: во-первых, один из сомножителей должен оказаться «круглым» числом (желательно, чтобы ненулевой его цифрой была только первая), во-вторых, само число в должно легко возводиться в квадрат, т. е. должно быть небольшим. Эти условия реализуются как раз на числах а, близких к «круглым».

Следующие 25 квадратов Если мы знаем квадраты всех чисел от 1 до 25, то вам нет никакой необходимости заучивать квадраты следующих 25 чисел. Для возведения в квадрат любого числа, заключенного между 25 и 50, достаточно отнять от него 25 и, увеличив результат в 100 раз, прибавить к нему квадрат дополнения этого числа до 50. а² = (а + (50 – а)) (а – (50 – а)) + (50 – а)² = 50 (2а – 50) + (50 – а)² = (а – 25) (50 – а)², где а-число от 25 до 50. Например, 37² = (37 – 25) (50 – 37)² = = 1369.

Извлечение квадратного корня Десятичную запись числа разобьем на группы по две цифры с конца Десятичную запись числа разобьем на группы по две цифры с конца Для старшей группы цифр подберем такую цифру, чтобы квадрат был наибольшим Для старшей группы цифр подберем такую цифру, чтобы квадрат был наибольшим Из старшей группы цифр вычтем найденный в предыдущем пункте квадрат первой цифры ответа и к полученной разности припишем справа (снесем) следующую группу цифр Из старшей группы цифр вычтем найденный в предыдущем пункте квадрат первой цифры ответа и к полученной разности припишем справа (снесем) следующую группу цифр Удвоив записанное в ответе число, припишем справа такую цифру, чтобы произведение полученного в результате числа на эту цифру было наибольшим, но не превосходило этого числа, ее и запишем в качестве второй цифры ответа Удвоив записанное в ответе число, припишем справа такую цифру, чтобы произведение полученного в результате числа на эту цифру было наибольшим, но не превосходило этого числа, ее и запишем в качестве второй цифры ответа Разность между снесенным числом и полученным предыдущем в пункте произведением равна нулю, поэтому корень квадратный из числа извлекается нацело и равен записанному в ответе числу Разность между снесенным числом и полученным предыдущем в пункте произведением равна нулю, поэтому корень квадратный из числа извлекается нацело и равен записанному в ответе числуПример: 25__ ___

Использованная литература: 1. Бантова М.А. Система формирования вычислительных навыков // Начальная школа С Гельфан Е.М. Арифметические игры и упражнения. М.: Просвещение, с. 3. Демидова Т.Е., Тонких А.П. Приемы рациональных вычислений в начальном курсе математики // Начальная школа С Зимовец Н.А., Пащенко В.П. Интересные приемы устных вычислений // Начальная школа С Фаддейчева Т.И. Обучение устным вычислениям // Начальная школа С Чекмарев Я.Ф. Методика устных вычислений. М.: Просвещение, с.