Системы счисления Всё есть число – говорили пифагорейцы, подчеркивая важную роль чисел в практической деятельности. Для обмена информацией с другими людьми человек использует естественные языки (русский, английский, китайский и др.). В основе языка лежит алфавит, то есть набор символов (знаков), которые человек различает по их начертанию. Так в основе русского языка 33 знака, в английском –26 знаков, в китайском- десятки тысяч знаков – иероглифов и т.д.Всё есть число – говорили пифагорейцы, подчеркивая важную роль чисел в практической деятельности. Для обмена информацией с другими людьми человек использует естественные языки (русский, английский, китайский и др.). В основе языка лежит алфавит, то есть набор символов (знаков), которые человек различает по их начертанию. Так в основе русского языка 33 знака, в английском –26 знаков, в китайском- десятки тысяч знаков – иероглифов и т.д. Для представления чисел используют особые знаковые системы. Которые называют системами счисления. Для представления чисел используют особые знаковые системы. Которые называют системами счисления. Системы счисления – это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр)
Позиционные и непозиционные системы счисления Все системы счисления делятся на две группы: позиционные и непозиционные. Все системы счисления делятся на две группы: позиционные и непозиционные. В непозиционных системах значение цифры не зависит от ее положения в числе, например, в числе III (3) записанном в Римской системе счисления значение цифры I не изменяется, на каком бы месте в числе она не стояла. В непозиционных системах значение цифры не зависит от ее положения в числе, например, в числе III (3) записанном в Римской системе счисления значение цифры I не изменяется, на каком бы месте в числе она не стояла. I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1000). I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1000). А в позиционных – зависит. Тогда как цифра 1, записанная в десятичной системе в виде числа 123 или 231 – в первом числе означает одну сотню, а во втором числе означает одну единицу. А в позиционных – зависит. Тогда как цифра 1, записанная в десятичной системе в виде числа 123 или 231 – в первом числе означает одну сотню, а во втором числе означает одну единицу.
Позиционные системы счисления Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием Основание позиционной системы счисления – это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе счисления. Основание позиционной системы счисления – это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе счисления. За основание системы счисления можно принять любое натуральное число – два, три, четыре и т. д. За основание системы счисления можно принять любое натуральное число – два, три, четыре и т. д. В разные исторические периоды многие народы пользовались системами счисления отличными от десяти. Так, например, довольно широкое распространение имела двенадцатеричная система. В устной речи остатки этой системы сохранились, когда мы вместо 12 употребляем дюжина. У англичан оно осталось – 1 фут=12 дюймам, 1 шиллинг=12 пенсам.
Десятичная система счисления Приняв за основание число 10, получаем знакомую нам десятичную систему счисления: Приняв за основание число 10, получаем знакомую нам десятичную систему счисления: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Всего 10 разных знаков составляют алфавит десятичной системы счисления. Можно записать любое число включая все эти знаки: 237, 12840, 987, Основание системы счисления обозначают буквой q. Основание системы счисления обозначают буквой q. Для десятичной системы счисления q=10 Для десятичной системы счисления q=
Двоичная система счисления Приняв за основание число 2, получаем двоичную систему счисления: Приняв за основание число 2, получаем двоичную систему счисления: 0, 1 0, 1 Всего 2 разных знака составляют алфавит двоичной системы счисления. Можно записать любое число включая эти знаки: 1, 11, 101, 110, … - обратите внимание: используем только цифры от 0 до 1. Для двоичной системы счисления q=2
Восьмеричная система счисления Приняв за основание число 8, получаем восьмеричную систему счисления: Приняв за основание число 8, получаем восьмеричную систему счисления: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Всего 8 разных знаков составляют алфавит восьмеричной системы счисления Всего 8 разных знаков составляют алфавит восьмеричной системы счисления Можно записать любое число включая все эти знаки:237, 145, 32, 12765… - обратите внимание: используем цифры от 0 до 7 Для восьмеричной системы счисления q=8 Для восьмеричной системы счисления q=8
Шестнадцатеричная система счисления Приняв за основание число 16, получаем шестнадцатеричную систему счисления. Здесь мы можем воспользоваться 10 знаками десятичной системы, добавив еще 6 знаков – буквы латинского алфавита (A, B, C, D, E, F): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Приняв за основание число 16, получаем шестнадцатеричную систему счисления. Здесь мы можем воспользоваться 10 знаками десятичной системы, добавив еще 6 знаков – буквы латинского алфавита (A, B, C, D, E, F): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Всего 16 разных знаков составляют алфавит шестнадцатеричной системы счисления. Можно записать любое число включая все эти знаки: А37, 1В45, F302, 1A3C5… - обратите внимание: используем знаки от 0 до F. Для шестнадцатеричной системы счисления q=16 Для шестнадцатеричной системы счисления q=16
Арифметические операции выполняются в любой системе счисления по одним и тем же правилам. Арифметические операции выполняются в любой системе счисления по одним и тем же правилам. СЛОЖЕНИЕ. ДВОИЧНЫХ ЧИСЕЛ СЛОЖЕНИЕ. ДВОИЧНЫХ ЧИСЕЛ Сложение много разрядных чисел в двоичной системе счисления происходит согласно данной таблице с учетом переноса в старший разряд. Сложение много разрядных чисел в двоичной системе счисления происходит согласно данной таблице с учетом переноса в старший разряд. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ = = = = = = = = 10
СЛОЖЕНИЕ ДВОИЧНЫХ ЧИСЕЛ = = = = = = = = 10 АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ
Х 11 2 Х УМНОЖЕНИЕ ДВОИЧНЫХ ЧИСЕЛ 0 Х 0 = 0 0 Х 0 = 0 0 Х 1 = 0 0 Х 1 = 0 1 Х 0 = 0 1 Х 0 = 0 1 Х 1 = 1 1 Х 1 = 1 АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ
Разложение чисел по степеням основания Рассмотрим в качестве примера десятичное число 555. Цифра 5 встречается трижды, причем самая правая обозначает пять единиц – наименьшее значение – пять единиц, вторая справа – пять десятков, третья справа – пять сотен. Позиция цифры в числе называется разрядом. В записи правый разряд – разряд единиц, затем смещаясь влево - десятки, сотни, тысячи и так далее. Число 555 записано в привычной для нас свернутой форме. Мы настолько привыкли к такой записи, что уже не замечаем, как в уме умножаем цифры числа на разные степени числа 10. Это число в развернутой форме будет выглядеть так : = 5 · · · 10 0, откуда видно, что число в позиционной системе записывается в виде суммы числового ряда степеней основания ( в нашем случае это 10), в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.
Разложение чисел по степеням основания Теперь запишем двоичное число, которое может состоять только из нулей и единиц, например, в развернутом виде: Теперь запишем двоичное число, которое может состоять только из нулей и единиц, например, в развернутом виде: = 1 · · · · = 1 · · · · 2 0. Теперь запишем восьмеричное число, которое может состоять из цифр от 0 до 7, например, в развернутом виде: Теперь запишем восьмеричное число, которое может состоять из цифр от 0 до 7, например, в развернутом виде: = 2 · · · · = 2 · · · · 8 0 Рассмотрим развернутую запись числа представленного в шестнадцатеричной системы счисления: Рассмотрим развернутую запись числа представленного в шестнадцатеричной системы счисления: А23С 16 = А · · · С · 16 0 А23С 16 = А · · · С · 16 0 Где цифра А = 10, С=12. Где цифра А = 10, С=12.
Перевод чисел из одной системы счисления в другую При переводе из одной системы счисления в другую можно пользоваться таблицей соответствия. При переводе из одной системы счисления в другую можно пользоваться таблицей соответствия.q=10 q=2 q=8 q= A B C D E F
Перевод числа из десятичной системы в д систему счисления c другим основанием: Перевод числа из десятичной системы в д систему счисления c другим основанием: 1) Последовательно выполнять деление исходного целого числа на основание той системы, в которую переводим, пока не получится частное меньшее делителя. 2) Записать полученные остатки в обратном порядке, начиная с последнего частного. Просмотрим исполнение данного алгоритма на практике: Просмотрим исполнение данного алгоритма на практике: ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ из десятичной системы
Возьмем десятичное число, например, и Возьмем десятичное число, например, и переведем его в двоичное, выполняя деление на основание: 2 переведем его в двоичное, выполняя деление на основание: Ответ читаем по остаткам - наоборот! Получили что = Проверка: = 1 · · · · 2 0 = = Итак, перевод из десятичной системы в любую другую происходит путем деления исходного числа на основание той системы, в которую переводим.
Теперь возьмем десятичное число, например, и переведем его в восьмеричное, выполняя деление на основание: 8 Теперь возьмем десятичное число, например, и переведем его в восьмеричное, выполняя деление на основание: Ответ читаем по остаткам - наоборот! Получили: = Проверка: = 1 · · · 8 0 = = 69 10
Возьмем то же десятичное число и переведем его в шестнадцатеричное, только теперь выполняя деление на основание: 16 Возьмем то же десятичное число и переведем его в шестнадцатеричное, только теперь выполняя деление на основание: Ответ читаем по остаткам - наоборот! Получили = Проверка: = 4 · · 16 0 = = 69 10
Рассмотрим еще перевод десятичного числа в шестнадцатеричное, выполняя деление на основание: 16 - Рассмотрим еще перевод десятичного числа в шестнадцатеричное, выполняя деление на основание: Последнее частное не делится на 16, и мы заменяем его согласно алфавиту 16- ричной системы на символ А : Получили = А9 16 Выполнив проверку убеждаемся в правильности перевода: 1 0 А9 16 = А · · 16 0 = 10 · = Перевод из десятичной системы в любую другую происходит путем деления исходного числа на основание той системы, в которую переводим.
ПЕРЕВОД чисел в десятичную систему счисления выполнить довольно легко. Для этого необходимо записать число в развернутой форме и вычислить его значение в десятичном виде. ПЕРЕВОД чисел в десятичную систему счисления выполнить довольно легко. Для этого необходимо записать число в развернутой форме и вычислить его значение в десятичном виде. Перевод числа из двоичной системы в десятичную: Перевод числа из двоичной системы в десятичную: ) =1 · · · · · 2 0 1) =1 · · · · · 2 0 = = 26. = = ) = 1 · · · · · 2 0 = 2) = 1 · · · · · 2 0 = = = 19 = = ) = 1 · · · 2 0 = = 7 3) = 1 · · · 2 0 = = 7 ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ в десятичную систему
Перевод числа из восьмеричной системы в десятичную: Перевод числа из восьмеричной системы в десятичную: ) = 1 · · · · 8 0 = = = 696 1) = 1 · · · · 8 0 = = = ) = 3 · · · 8 0 = 2) = 3 · · · 8 0 = = = 230 = = ) 57 8 = 5 · · 8 0 = = 47 3) 57 8 = 5 · · 8 0 = = 47
Перевод числа из шестнадцатеричной системы в десятичную: Перевод числа из шестнадцатеричной системы в десятичную: ) 1В5 16 = 1 · В · · 16 0 = 1) 1В5 16 = 1 · В · · 16 0 = = = 437 = = ) 18Е 16 = 1 · · Е · 16 0 = 2) 18Е 16 = 1 · · Е · 16 0 = = · 1 = 206 = · 1 = ) 1А5D 16 = 1 · A · · D · 16 0 = 3) 1А5D 16 = 1 · A · · D · 16 0 = = · · 1 = 6749 = · · 1 = 6749
Конец