Замечательные линии и точки треугольника Замечательные линии и точки треугольника (Теоремы Чевы, Менелая и Морлея)

Современный человек –это образованный профессионал. И чтобы в жизни добиться успехов и стать профессионалом в той или иной области нужны прочные знания. Знания естественно выходящие за пределы школьной программы. Знания которые мы получаем из научно-популярной литературы. Я рассмотрела несколько интересных и значимых теорем вне программы. Современный человек –это образованный профессионал. И чтобы в жизни добиться успехов и стать профессионалом в той или иной области нужны прочные знания. Знания естественно выходящие за пределы школьной программы. Знания которые мы получаем из научно-популярной литературы. Я рассмотрела несколько интересных и значимых теорем вне программы.

О Г Л А В Л Е Н И Е 1.Введение. 2.Элементы треугольника. 3.Теорема Чевы. 4.Теорема Минелая. 5.Теорема Морлея. 6.Заключение

Из истории замечательных точек и линий треугольника. Простейший из многоугольников - треугольник - играет в геометрии особую роль. Без преувеличения можно сказать, что вся геометрия со времен «Начал» Евклида покоится на трех китах - трех признаках равенства треугольников Простейший из многоугольников - треугольник - играет в геометрии особую роль. Без преувеличения можно сказать, что вся геометрия со времен «Начал» Евклида покоится на трех китах - трех признаках равенства треугольников

Крылатую фразу Козьмы Пруткова « Никто не обнимет необъятного» в полной мере можно отнести и к геометрии треугольника. В самом деле, треугольник, как кладезь прекрасных и поразительных геометрических конструкций, поистине неисчерпаем. Их пестрота и изобилие, с трудом поддающиеся какой – либо систематизации, не могут не восхищать. Впрочем, иной раз эти благородные чувства перерастают в изумленное раздражение, едва ли не в протест: если уж с виду такая « игрушечная» область геометрии настолько сложна, то в чем же вообще тогда можно разобраться? Крылатую фразу Козьмы Пруткова « Никто не обнимет необъятного» в полной мере можно отнести и к геометрии треугольника. В самом деле, треугольник, как кладезь прекрасных и поразительных геометрических конструкций, поистине неисчерпаем. Их пестрота и изобилие, с трудом поддающиеся какой – либо систематизации, не могут не восхищать. Впрочем, иной раз эти благородные чувства перерастают в изумленное раздражение, едва ли не в протест: если уж с виду такая « игрушечная» область геометрии настолько сложна, то в чем же вообще тогда можно разобраться? Интересно попробовать понять, а почему тот или иной результат геометрии треугольника оказывает на нас большее или меньшее воздействие. В грубом приближении ответ на этот вопрос следующий: красивая теорема в геометрии Интересно попробовать понять, а почему тот или иной результат геометрии треугольника оказывает на нас большее или меньшее воздействие. В грубом приближении ответ на этот вопрос следующий: красивая теорема в геометрии

треугольника связана, как правило, с замечательными точками, прямыми или окружностями. Но прямая или окружность замечательна, еcли содержит какие-нибудь замечательные точки треугольника. В точки эти, стало быть, все и упирается. Однако как сравнить степень их «замечательности» между собой? Очевидно, точка тем более замечательна, чем с более естественными и содержательными конфигурациями треугольника она взаимодействует. Поэтому в первый ряд следует поставить кончено, таких заслуженных ветеранов, как точку пересечения медиан ( центр тяжести), центр вписанной окружности, точку пересечения высот(ортоцентр). треугольника связана, как правило, с замечательными точками, прямыми или окружностями. Но прямая или окружность замечательна, еcли содержит какие-нибудь замечательные точки треугольника. В точки эти, стало быть, все и упирается. Однако как сравнить степень их «замечательности» между собой? Очевидно, точка тем более замечательна, чем с более естественными и содержательными конфигурациями треугольника она взаимодействует. Поэтому в первый ряд следует поставить кончено, таких заслуженных ветеранов, как точку пересечения медиан ( центр тяжести), центр вписанной окружности, точку пересечения высот(ортоцентр).

Основные точки и линии треугольника Медианы треугольника- отрезок, соединяющий одну из вершин треугольника с серединой противоположной стороны Медианы треугольника- отрезок, соединяющий одну из вершин треугольника с серединой противоположной стороны Биссектрисы треугольника- отрезок биссектрисы одного из углов этого треугольника, заключённый между его вершиной и противоположной стороной. Биссектрисы треугольника- отрезок биссектрисы одного из углов этого треугольника, заключённый между его вершиной и противоположной стороной. Высоты треугольника- отрезок, соединяющий одну из вершин треугольника с серединой противоположной стороны. Высоты треугольника- отрезок, соединяющий одну из вершин треугольника с серединой противоположной стороны.

Центр тяжести треугольника(центроид)- точка пересечения медиан треугольника. Центр тяжести треугольника(центроид)- точка пересечения медиан треугольника. Центр вписанной окружности- пересечение биссектрис трёх углов треугольника. Центр вписанной окружности- пересечение биссектрис трёх углов треугольника. Ортоцентр треугольника- точка пересечения трёх высот треугольника. Ортоцентр треугольника- точка пересечения трёх высот треугольника. А В С М КD O Центроид

A B C Е D F O Ортоцентр A B C O F D Центр вписанной окружности.

Теорема Чевы. AB C B1B1 A1A1 C1 O Теорема. Если три чевианы АA1, ВB1, CC1 (по одной из каждой вершины) треугольника АВС конкурентны, то Обратно, если это уравнение выполняется для треугольника АВС то три чевианы АA1, ВB1, CC1 (по одной из каждой вершины) конкурентны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в точке О ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в точке О Через вершину С треугольника АВС проведем прямую, параллельную АВ, и ее точки пересечения с прямыми АА1, ВВ1 обозначим соответственно А 2, В 2. Из подобия треугольников СВ 2 В 1 и АВВ 1, имеем равенство 1 Аналогично, из подобия треугольников ВАА 1 и СА 2 А 1 имеем равенство 2 Далее, из подобия треугольников ВС 1 О и В 2 СО, АС 1 О и А 2 СО имеем Следовательно, имеет место равенство 3 перемножая равенство 1, 2 и 3 получим требуемое равенство Докажем обратное. Пусть для точек А 1, В 1, С 1, взятых на соответствующих сторонах треугольника АВС, выполняется равенство Обозначим точку пересечения прямых АА 1 и ВВ 1 через О и точку пересечения прямых СО и АВ через С'. Тогда, на основании доказанного, имеет место равенство Учитывая равенство получим равенство получим равенство из которого следует совпадение точек С' и С1, значит, прямые АА 1, ВВ 1, СС 1 пересекаются в одной точке. A В C В1В1 A1A1 C1C1 A2A2 В2В2 Теорема Чевы, опубликована в 1678 году итальянским математиком и инженером Джованни Чевой. О

Задача 1 Пусть AX – чевиана длины p, причем и. Тогда Дано: Доказать: Доказательство: Рассмотрим дополнительные углы: и, их сумма равна 180 °. Следовательно Из : Из : (по теореме косинусов) Сложим выражения для косинусов, рассмотренных углов: + =, Следовательно: + = =0 Что и требовалось доказать. Практическое применение A B C X m n p b c

Задача 2 Чевианы, перпендикулярные противоположным сторонам, конкурентны Дано: Доказать Доказательство: Из прямоугольного : Аналогично: Рассмотрим произведения отношений: Очевидно: По теореме обратной теореме Чевы отрезки АА 1, ВВ 1,СС 1 – конкурентны, следовательно: Что и требовалось доказать. A B CA1A1 B1B1 C1C1 O

Теорема Менелая. Теорема. Если точки A 1, B 1, C 1, лежащие на сторонах AB, BC, продолжении стороны AC треугольника ABC коллинеарны, то.Теорема. Если точки A 1, B 1, C 1, лежащие на сторонах AB, BC, продолжении стороны AC треугольника ABC коллинеарны, то. Обратно, если это уравнение выполняется для точек A 1, B 1, C 1, лежащих на трех сторонах треугольника, то эти точки коллинеарны.Обратно, если это уравнение выполняется для точек A 1, B 1, C 1, лежащих на трех сторонах треугольника, то эти точки коллинеарны. A B C B1B1 C1C1 A1A1

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что точки А1,В1, С1 принадлежат одной прямой а.Через вершину С треугольника АВС проведем прямую, параллельную а, и обозначим D точку ее пересечения с АВ. Из подобия треугольников АDС и АС1В1 следует выполнимость равенства Аналогично, из подобия треугольников ВDС и ВС1А1 следует выполнимость равенства Перемножая эти равенства, получим равенство из которого следует требуемое равенство Докажем обратное. пусть на сторонах АВ, ВС и продолжении стороны АС треугольника АВС взяты соответственно точки С1, А1 и В1 для которых выполняется равенство Предположим, что прямая А1 В1 пересекает прямую АВ в некоторой точке С'. Тогда выполняется равенство Учитывая равенство получаем равенство, из которого следует совпадение точек С΄ и С 1, значит, точки А1, В1, С1 принадлежат одной прямой. A В C В1В1 DC1C1 A1A1 Теорема Менелая, доказана древнегреческим математиком и астрономом Манелаем Александрийским, жившим в 1 веке до нашей эры. Александрийским, жившим в 1 веке до нашей эры.

Задача 3. Дано:, С 1 Є АВ, В 1 Є АС, С 1 Є АВ, В 1 Є АС, Найти: Найти: Решение: Решение: По условию, По теореме Менелая имеем Ответ: A C A1A1 C1C1 В1В1 В

Теорема Морлея. В 1904г. Франком Морлеем была сформулирована и доказана теорема, которую впоследствии окрестили « последним великим открытием в планиметрии». Можно по-разному относиться к тому, что это «последнее открытие», но то, что это великое открытие, не вызывает сомнения. Теорема. Точки пересечения смежных трисектрис углов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего треугольника. A C B KL M

Некоторые пояснения. Трисектрисами( по аналогии с биссектрисой) называются прямые, делящие угол треугольника на три равные части. Смежными будем называть трисектрисы, ближайшие к одной стороне. Некоторые пояснения. Трисектрисами( по аналогии с биссектрисой) называются прямые, делящие угол треугольника на три равные части. Смежными будем называть трисектрисы, ближайшие к одной стороне. Почему Франк Морлей выбрал именно эти трисектрисы и как он обнаружил этот равносторонний треугольник ( который позже назвали его именем),остается загадкой, но впоследствии при компоновке трисектрис внутренних и внешних углов треугольника было обнаружено еще несколько равносторонних треугольников. Всего их получилось 18. Возможно Морлей был первым, кто преодолел страх перед задачей о трисекции угла и решил исследовать такой загадочный объект, как трисектриса. Однако трисектриса до сих пор остается малоизученной прямой. Удивительным является и то, что эта теорема, носящая такой общий характер, стоит в планиметрии как-то особняком, то есть она мало связана с другими теоремами и фактами. Проведем рассуждение «обратным ходом» Почему Франк Морлей выбрал именно эти трисектрисы и как он обнаружил этот равносторонний треугольник ( который позже назвали его именем),остается загадкой, но впоследствии при компоновке трисектрис внутренних и внешних углов треугольника было обнаружено еще несколько равносторонних треугольников. Всего их получилось 18. Возможно Морлей был первым, кто преодолел страх перед задачей о трисекции угла и решил исследовать такой загадочный объект, как трисектриса. Однако трисектриса до сих пор остается малоизученной прямой. Удивительным является и то, что эта теорема, носящая такой общий характер, стоит в планиметрии как-то особняком, то есть она мало связана с другими теоремами и фактами. Проведем рассуждение «обратным ходом»

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть РQR-равносторонний треугольник. Зададим положительные числа так, чтобы. Определим, Аналогично для и,, Отметим точку A так чтобы и. Тогда Аналогично построим точки В и С. Для доказательства, достаточно показать, что. По теореме синусов, применённой к треугольнику AQC, а затем к треугольникам CQR и AQP, в силу того, что QR=QP, заключаем С учётом того, что, получаем, что,. A C B

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ЗАКЛЮЧЕНИЕ Казалось бы, на этом можно и завершить разговор о теоремах Морлея, Менелая и Чевы. Однако хочется, чтобы весь изложенный материал стал началом для изучения свойств треугольника, ведь для пытливого ума любая фундаментальная теорема порождает больше вопросов, чем ответов. Желаю всем фантазировать, задавать себе вопросы, выдвигать идеи. Казалось бы, на этом можно и завершить разговор о теоремах Морлея, Менелая и Чевы. Однако хочется, чтобы весь изложенный материал стал началом для изучения свойств треугольника, ведь для пытливого ума любая фундаментальная теорема порождает больше вопросов, чем ответов. Желаю всем фантазировать, задавать себе вопросы, выдвигать идеи. Ведь каждый любитель геометрии треугольника имеет шанс открыть нечто новое и пополнить ее сокровищницу собственной драгоценной находкой, ибо геометрия поистине неисчерпаема! Ведь каждый любитель геометрии треугольника имеет шанс открыть нечто новое и пополнить ее сокровищницу собственной драгоценной находкой, ибо геометрия поистине неисчерпаема!

ЛИТЕРАТУРА М.Балк, В.Болтянский. Геометрия масс.-М.:Наука, 1987 М.Балк, В.Болтянский. Геометрия масс.-М.:Наука, 1987 А.Мякишев. О некоторых преобразованиях, связанных с треугольником. Математическое образование 1,1999 А.Мякишев. О некоторых преобразованиях, связанных с треугольником. Математическое образование 1,1999 Журналы « Математика в школе « 6,9,17, Журналы « Математика в школе « 6,9,17, 2004.