Проект по теме: Теорема Чевы Проект по теме: Теорема Чевы Автор: Автор: ученица 9 Б ученица 9 Б МОУ СОШ 7 МОУ СОШ 7 Струпан Ольга. Струпан Ольга. - презентация

1 Проект по теме: Теорема Чевы Проект по теме: Теорема Чевы Автор: Автор: ученица 9 Б ученица 9 Б МОУ СОШ 7 МОУ СОШ 7 Струпан Ольга. Струпан Ольга.

2 Содержание : Содержание : Биография ученого Биография ученого Биография ученого Биография ученого Формулировка теоремы Формулировка теоремы Формулировка теоремы Формулировка теоремы Доказательство теоремы Доказательство теоремы Доказательство теоремы Доказательство теоремы Решение задач Решение задач Решение задач Решение задач Применение теоремы к решение задач Применение теоремы к решение задач Применение теоремы к решение задач Применение теоремы к решение задач

3 Биография ученого Биография ученого Чева (Джованни) итальянский Чева (Джованни) итальянский математик. Умер в 1734 г. Главными предметами его занятий были геометрия и механика. Он написал много сочинений. Самым замечательным из них было первое "De lineis rectis se invicem secantibus statica constructio" (Милан, 1678);. В первой его части автор доказывает теорему Менелая и ряд сходных с нею теорем при помощи статического метода, основанного на свойствах центра тяжести системы точек. математик. Умер в 1734 г. Главными предметами его занятий были геометрия и механика. Он написал много сочинений. Самым замечательным из них было первое "De lineis rectis se invicem secantibus statica constructio" (Милан, 1678);. В первой его части автор доказывает теорему Менелая и ряд сходных с нею теорем при помощи статического метода, основанного на свойствах центра тяжести системы точек. Биография подробно. Биография подробно. Биография подробно. Биография подробно.

4 Формулировка теоремы Если на сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС взяты соответственно точки С1, А1 и В1, то отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда ОООО бббб оооо бббб щщщщ ееее нннн нннн аааа яяяя т т т т ееее оооо рррр ееее мммм аааа Ч Ч Ч Ч ееее вввв ыыыы С1 С1 А1А1 В1В1

5 Доказательство теоремы Доказательство теоремы Предположим, что прямые АА 1, ВВ 1, СС 1 пересекаются в точке О. Через вершину С треугольника ABC проведем прямую, параллельную АВ, и ее точки пересечения с прямыми AA 1, BB 1 обозначим соответственно А 2, В 2. Из подобия треугольников СВ 2 В 1 и АВВ 1 имеем равенство (1) (1) Аналогично, из подобия треугольников ВАА 1 и СА 2 А 1 имеем равенство (2)

6 Доказательство теоремы Доказательство теоремы Далее, из подобия треугольников BC 1 Oи В 2 СО, AC 1 O и А 2 СО имеем Следовательно, имеет место равенство (3) (3) Перемножая равенства (1), (2) и (3), получим требуемое равенство

7 У ТВЕРЖДЕНИЕ ОБРАТНОЕ ТЕОРЕМЕ У ТВЕРЖДЕНИЕ ОБРАТНОЕ ТЕОРЕМЕ Пусть для точек А, В, С, взятых на соответствующих сторонах треугольника ABC, выполняется равенство (*). Обозначим точку пересечения прямых АА1 и ВВ1 через О и точку пересечения прямых СО и АВ через С". Тогда, на основании доказанного, имеет место равенство Учитывая равенство (*), получим равенство, из которого следует совпадение точек С" и С, значит, прямые АА1, BB1, СС1 пересекаются в одной точке. С1 С1 А1А1 В1В1

8 Решение задач Решение задач Задача 1 Задача 1 Задача 1 Задача 1 Задача 2 Задача 2 Задача 2 Задача 2 * Задача для самостоятельного решения. Задача 4 Задача 4 Задача 3* Задача 3*Задача 3*Задача 3*

9 Задача 1 Задача 1 Дано: АВС - треугольник, Вписанная (или вневписанная) окружность касается прямых ВС, АС и АВ в точках А1,В1 и С1. Доказать: что, прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Посмотреть решение

10 Решение: Решение: Ясно, что АВ 1 =АС 1, ВС 1 =ВА 1, и СА 1 = СВ 1, причем в случае и СА 1 = СВ 1, причем в случае вписанной окружности на сторонах треугольника АВС лежат три точки, а в случае вневписанной – одна точка. Воспользовавшись теоремой Чевы, получим что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.

11 Задача2 Задача2 Дано: АВС – треугольник, прямые АА 1, ВВ 1, СС 1. Доказать: Доказать: Биссектрисы треугольника Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. С В А Посмотреть решение

12 Доказательство: Доказательство: пусть АА1,ВВ1, СС1 – биссектрисы пусть АА1,ВВ1, СС1 – биссектрисы треугольника АВС. Тогда Следовательно значит, АА1,ВВ1, СС1 пересекаются в одной точке. В АС

13 Задача3 Задача3Дано: АВС – треугольник, АВС – треугольник, точки С1 и А1 делят стороны АВ и ВС в отношении 1:2. АВ и ВС в отношении 1:2. Прямые СС1 и АА1 Прямые СС1 и АА1 пересекаются в точке О. Найти: Найти: отношение, в котором прямая ВО отношение, в котором прямая ВО делит сторону АС. делит сторону АС. Посмотреть решение

14 Решение: По условию По условию Используя теорему Чевы, имеем:.

15 Задача 4 Задача 4 Дано: в треугольнике АВС проведены биссектрисы АА 1, ВВ 1 и СС 1. Биссектрисы АА 1 и СС 1 пересекают отрезки С 1 В 1 и В 1 А 1 в точках M и N. Доказать: что угол MBB 1 = углу NBB 1. что угол MBB 1 = углу NBB 1. Посмотреть решение

16 Решение задачи 4 Решение задачи 4 Пусть отрезки ВМ и ВН пересекают сторону АС в точках Р и Q. тогда(1) если О- точка пересечения биссектрис треугольника АВС, то (2),а значит,(3).,а значит,(3). Заметив, что ВС1:С1А=ВС:СА, и проведя аналогичные вычисления для sin QBB1:sin QBC,получим sinPBB1:sinPBA=sinQBB1:sin QBC. sinPBB1:sinPBA=sinQBB1:sin QBC. так как угол авв1=угол свв1, так как угол авв1=угол свв1, то угол рвв1=угол qbb1. то угол рвв1=угол qbb1.

17 Применение теоремы к решению задач Полезна она вот почему: те задачи, которые Полезна она вот почему: те задачи, которые традиционно решаются довольно сложно с помощью аппарата векторной алгебры, решаются буквально в одну строчку с помощью теоремы Чевы. Это касается и обратной теоремы. Доказательство того, что три прямые пересекаются в одной точке, так же легко решается с помощью теоремы, обратной теореме Чевы. Я считаю, что это одно из наиболее важных событий в истории геометрии (открытие этой теоремы), оказавшее влияние как на процесс развития математики, так и на развитие техники и смежных областей науки!