Теоремы сложения и умножения вероятностей План лекции 1.Теорема сложения вероятностей. Сумма вероятностей противоположных событий. 2.Условная вероятность. 3.Теорема произведения вероятностей. 4. Решение задач на вычисление вероятностей.

Теорема сложения вероятностей Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В) Док-во: Пусть из серии N опытов событие А появилось М 1 раз, а событие В –М 2 раз. Р(А)=М1/N, Р(В)=М2/N, Р(А+В)=(М 1+ М 2 )/N =Р(А)+Р(В) Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Пример 1. На складе имеется 50 деталей, изготовленных тремя бригадами. Из них 25 изготовлено первой бригадой, 15- второй и 10 третьей. Найти вероятность того, что на сборку поступила деталь, изготовленная второй или третьей бригадой.

Указания к решению а)Определите, о каких событиях идёт речь? б)Совместны ли данные события? в)Обозначьте вероятность каждого события г)Вычислите вероятность наступления каждого события по классической вероятности д) примените теорему сложения вероятностей

Проверка Р(А)-вероятность поступления детали, изготовленной первой бригадой. Р(В)-вероятность поступления детали, изготовленной второй бригадой. Р(С)-вероятность поступления детали, изготовленной третьей бригадой. Р(А)=25/50=1/2, Р(В)=15/50=3/10, Р(С)=10/50=1/5 Р(В+С)= 3/10 +1/5=1/2

Условная вероятность Вероятность наступления одного события А при условии наступления другого события В называется условной вероятностью. Р(АıВ) Если в результате серии N опытов событие А появилось М1 раз, а событие В – М2 раз, причём к раз из них (КМ2) события А и В появились вместе, то Р(А) = М1/N, Р(В) = М2/N, Р(АıВ)=К/М2, Р(ВıА)=К/М1

Теорема произведения вероятностей Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого: Р(АВ)=Р(А)Р(ВıА)= Р(В)Р(АıВ) Док-во: пусть в результате серии из N опытов событие А появилось М 1 раз и событие В – М 2 раз, К-раз события А и В появились вместе. Р(А)=М1/N, Р(В)=М2/N, Р(АВ)=К/N, Р(АıВ)=К/М2, Р(ВıА)= К/М1 Р(АВ)= К/N = М1/N* К/М1= М2/N* К/М2 Р(АВ)=Р(А)Р(ВıА)=Р(В)Р(АıВ) Если события несовместные, то Р(ВıА)=Р(АıВ)=0

Следствия Событие А не зависит от события В, то справедливо равенство Р(АıВ)=Р(А) Р(АВ)=Р(А)Р(В)

Пример 2. На предприятии 96% изделий признаются пригодными к использованию, а остальные – бракованными. Из каждой сотни пригодных изделий в среднем 75 являются изделиями первого сорта. Найти вероятность того, что наугад взятое изделие окажется первого сорта.

Указания к решению Обозначьте события которые являются годными, первого сорта. Определите искомую величину Вычислите вероятность того, что изделие пригодно к использованию Вычислите условную вероятность Воспользуйтесь теоремой о произведении вероятностей(либо следствием)

Проверка А – событие, что изделие годно к использованию, В – изделие первого сорта Найти Р (АВ) Р(А)=0,96, Р(ВıА)=0,75 Р(АВ) = 0,96*0,75=0,72