Решение треугольников Автор: Семёнова Елена Юрьевна С А В с b a h γ С А В с b a β α γ МОУ СОШ 5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный

Содержание Т Т ееее оооо рррр ееее мммм аааа о о о о п п п п лллл оооо щщщщ аааа дддд ииии т т т т рррр ееее уууу гггг оооо лллл ьььь нннн ииии кккк аааа Т ТТ ееее оооо рррр ееее мммм аааа с с с с ииии нннн уууу сссс оооо вввв Т ТТ ееее оооо рррр ееее мммм аааа к к к к оооо сссс ииии нннн уууу сссс оооо вввв З ЗЗ аааа дддд аааа чччч аааа З ЗЗ аааа дддд аааа чччч аааа З ЗЗ аааа дддд аааа чччч аааа З ЗЗ аааа дддд аааа чччч аааа о о о о ф ф ф ф уууу тттт бббб оооо лллл ииии сссс тттт ееее

Теорема о площади треугольника Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними С А В с b a h Дано: АВС Доказать: S ABC = ab sin C 1 2 Доказательство: Н

Теорема о площади треугольника Доказательство: Рассмотрим САН – п/у, в котором высота AH = h = b sinC; CB = a. С А В с b a h Н 1 2 S ABC = AH CB = ab sin C 1 2 S ABC = ab sinC

Теорема синусов С А В сb a β α Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов γ Дано: АВС Доказать: а sinα b sinβ c sinγ == Доказательство:

Теорема косинусов Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. С АВ с b a Дано: АВС Доказать: a 2 = b 2 + с 2 – 2bc cos α Доказательство: α

Доказательство теоремы о площади треугольника: С А В с b a h γ S ABC = ah = = ab sin γ В п/у АНС h = b sin γ Н S ABC = ab sin γ

Доказательство теоремы синусов: S ABC = ab sin γ 1 2 S ABC = bс sin α 1 2 ab sin γ = bc sin α ab sin γ = ac sin β a sin γ = c sin α b sin γ = c sin β a sin α c sin γ = а а sinα b b sin β c c sinγ = = = = S ABC = aс sin β 1 2 b sin β c sin γ =

Доказательство теоремы косинусов: АВ(c; 0) С(b cosα; b sin α) α x y b a BС 2 = a 2 = (b cosα c) 2 + (b sin α 0) 2 = = b 2 cos 2 α – 2bc cos α + c 2 + b 2 sin 2 α = = b 2 (cos 2 α + sin 2 α) + c 2 – 2bc cos α = = b 2 + c 2 – 2bc cos α Найдем расстояние между точками В и С:

Задача 1 Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними Дано: АВС, a, b, γ. Найти: с, α, β. Решение: 1. По теореме косинусов с 2 = a 2 + b 2 – 2ab cos γ. Откуда с = a 2 + b 2 – 2ab cos γ. 2. По теореме косинусов cos α = 3. β = 180 о α γ. b 2 + c 2 – a 2 2bc А В С с а b γ α β

Задача 2 Решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам Дано: АВС, a, β, γ. Найти: b, с, α. Решение: 1. α = 180 о β γ. 2. По теореме синусов: b = a ; c = a А В С с а b γ α β sin γ sin α sin β sin α а b sinβ c sinγ ==

Задача 3 Решение треугольника по трем сторонам Дано: АВС, a, b, с. Найти: α, β, γ. Решение: 1.По теореме косинусов: a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos α. 2.Откуда cos α = 3.Аналогично, cos β = 4. γ = 180 o α β А В С с а b γ α β b 2 + c 2 – a 2 2bc a 2 + c 2 – b 2 2ac

Задача о футболисте 24 м α 23 м 7 м α 16°57'