Свойства площадей многоугольников Равные многоугольники имеют равные площади. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

B CA C1C1 A1A1 B1B1 Докажите, что площади треугольников равны.

Будет ли площадь данной фигуры равна сумме площадей треугольников АВС и KLM? A B C K L M N

Повторим формулы площадей! а а S квадрата = а·а = а² а а a b S = а·b

Повторим формулы площадей! S квадрата = а·а = а² a b S прямоугольника = а·b h S параллелограмма = а·h а S ромба = а·h d2d2 d1d1 а

Повторим формулы площадей! S параллелограмма = а·h h a A BC DH а aa а b

Что изображено? Вопросы Чему равна сумма острых углов в прямоугольном треугольнике? А + В = 90° Чему равна площадь этого треугольника? Как называются стороны АС и ВС? C A Ba b с

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. с b а c²=a²+b² Теорема, обратная теореме Пифагора: Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

«Ослиный мост» Доказательство теоремы Пифагора считалось в кругах учащихся средних веков очень трудным и называлось иногда Pons Asinorum «ослиный мост» или elefuga - «бегство убогих», так как некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучивавшие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста.

Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее так же ветряной мельницей, составляли стихи вроде Пифагоровы штаны на все стороны равны, рисовали карикатуры. Шаржи из учебника XVI века Ученический шарж XIX века

Дано: ABC, C=90°, B=60°, AB=12 см AC=10 см Найти: SАВС Решите устно CA B Дано: ABC, C=90°, AB=18 см, ВC=9 см Найти: B, А Ответ: А=30º, B=60º Ответ:30 см²

с² = а 2 + b 2 а b с С А В с = а 2 + b cbа В прямоугольном треугольнике а и b – катеты, с – гипотенуза. Заполните таблицу. b =c²-a² а =c²-b² b 2 =c²-a² а 2 =c²-b²

Решение 3. ACD прямоугольный, D=45° DAC=45°ACD - равнобедренный CD = AC = 4 SADC = 8. Значит площадь всей фигуры S АВСВ = SABC + SADC = Дано: AB=2 3, BC=2, B=90 АCD=90 BAC=3 0, D=45 Найти: S АВСВ. Задача 30º D С B A Площадь всей фигуры S АВСВ = SABC + SADC 2. ABC прямоугольный, SABC =2 3; BAC=30° AC = 2BC = 4.

AD СВ 493 Найдите сторону и площадь ромба, если его диагонали равны 10 см и 24 см. Решение. S=½·10·24=120 (cм²) ABO – прямоугольный, найдем АВ по теореме Пифагора: АВ²=ВО²+АО² O АВ=5²+12² АВ=13 (см) Ответ: 13 см и 120 см².

497 Одна из диагоналей параллелограмма является его высотой. Найдите эту диагональ, если периметр параллелограмма равен 50 см, а разность смежных сторон равна 1 см. AD СВ Дано: ABCD - параллелограмм, BD AD, Р АВСD =50 см, AB-АD=1 см. Найти: BD. Решение. Пусть АD=х см, тогда АВ=(х+1) см. Т.к. Р АВСD =2·(АВ+AD), то 50=2·(х+1+х) 25=2х+1 х=12, значит АD=12 см, АВ=13 см. 1. АD=12 см, АВ=13 см. 2. Найдем ВD с помощью теоремы Пифагора: АВ²=ВD²+АD² BD=5 (cм) 12 см 13 см

Задача Площадь прямоугольной трапеции равна 120 см², а ее высота 8 см. Найдите все стороны трапеции, если одно из ее оснований на 6 см больше другого. D ВС А Н Дано: ABCD - трапеция, АВ AD, S АВСD =120 см², АВ=8 см, AD>BC на 6 см. Найти: BС, СD, АD. Решение. Пусть ВС=х см, тогда АD=(х+6) см Т.к. S ABCD = ·8·(x+6+x)=120, 4(2х+6)=120 2х+6 = 30 х = 12, значит ВС 12 см, АD=18 см АВ=8 см, ВС=12 см, АD=18 см Дополнительное построение: СН АD, тогда АВСН – прямоугольник. СН=АВ=8 см, AH=BC=12 cм, тогда HD=AD-AH=6 cм 12 см 18 см 6 см Найдем CD по теореме Пифагора: СD²=CH²+HD² СD=8²+6²СD=10 (cм) Ответ: АВ=8 см, ВС=12 см, СD=10 см, AD=18 см.

Домашнее задание: Повторить §§ 1-3 Подготовиться к контрольной работе

АВ С М N Дано: ABC, BС=7,5 см, АC=3,2 см, АM BC, BN AC, AM=2,4 cм Найти: BN Решение: SABC =½АМ·СВ=½·2,4·7,5=9 см² S ABC =½BN·AС BN=2·S ABC :АС=2·9:3,2=5,625 см Ответ: 5,625 см. Две стороны треугольника равны 7,5 см и 4 см. Высота, проведенная к большей стороне, равна 2,4 см. Найдите высоту, проведенную к меньшей из данных сторон. 470

Площадь прямоугольного треугольника равна 168 см². Найдите его катеты, если отношение их длин равно 7:12. А С В Дано: ABC, С=90º, АC:ВС=7:12, S ABC =168 см² Найти: АС, BС. Решение: SABC =½АС·ВС 168=½7х·12х 168=42х² х=2 АС=14 см, ВС=24 см Ответ: 14 см и 24 см. 472