Задачи для школьников : 1. Знать: а) определение внешнего угла треугольника; б) свойство внешнего угла треугольника. 2. Уметь применять эти знания при решении задач.

Повторение. 1) Теорема. Сумма углов треугольника равна 180 о. 2) o B A C Определение. Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными. Смежные углы. Сумма смежных углов равна 180 о

A C B D 13 2 Определение. Угол, смежный с каким–нибудь углом треугольника, называется внешним углом треугольника – внешний угол треугольника. 4 – внешний угол треугольника.

Задача. Треугольник АВС – равнобедренный с основанием АС. Внешний угол при вершине В равен 100 о. Чему равен угол А и угол С в треугольнике АВС? В A D C 100 О Дано: ABC – равнобедренный; АC - основание. < DBC – внешний; < DBC = 100 О Найти: < А; < С Решение. 1). < DBC – внешний для АВС, < DBC = < А + < С ( по свойству внешнего угла) 100 о = < А + < С 2). АВС – равнобедренный ( по условию) < А = < С = х о 100 = х + х 100 = 2 х х = 100 : 2 х = 50 3) < А = 50 о ; < С = 50 о Ответ: < А = 50 о ; < С = 50 о

Задачи для школьников : 1. Знать: а) определение параллельных прямых; б) углы, образованные при пересечении двух прямых третьей. 2. Уметь применять эти знания при решении задач.

Повторение. А А А В В В АВ – отрезок. АВ – луч. АВ – прямая C А B D а) АВ СD. б) А D B C АВ СD. = 3.3. а) o B A C

а O b b a А a D B a b = O a b = Определение. Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. c b b a c a c b = а b C Определение. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.. a)a) б) AB CD = А a h В b А В h a b = = = a b = 2.2. b a = Определение. Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются b a a b = Определение. Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

a c b Определение. Прямая с называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает их в двух точках Накрест лежащие углы: 3 и 5; 4 и 6. Односторонние углы: 3 и 6; 4 и 5. Соответственные углы: 1и 5; 4 и 8. 2 и 6; 3 и 7. a c b

Задачи. 1. Какие углы выделены? а). б). в). a c b 1 2 Угол 1 и угол 2 – накрест лежащие. a b 1 2 a b 1 2 c c Угол 1 и угол 2 – односторонние. Угол 1 и угол 2 – соответственные. 2. Назвать: накрест лежащие углы; соответственные углы; односторонние углы. a b c Накрест лежащие углы: 2 и 8; 3 и 5. Соответственные углы: 1 и 5; 2 и 6; 4 и 8; 3 и 7. Односторонние углы: 2 и 5; 3 и 8.

Задачи для школьников : 1. Знать виды треугольников по углам. 2. Уметь применять эти знания при решении задач.

Повторение. Теорема. Сумма углов треугольника равна 180 о. Виды углов. Острый угол Разверну- тый угол Тупой угол Прямой угол А < 90 о B D C А 90 о < B < 180 о С = 90 о D = 180 о А В С < А + < В + < С = 180 о

А C C C A B B А B С = 90 о А + В = ? А + В = 90 о А + В = ? А и В - острые С - тупой А + В ? А + В < 90 о А + В А и В - острые А = В = С = ? А = В = С = 60 о А, В, С - острые

А C B CB А C A B Треугольник, у которого все три угла острые. называется остроугольным. Треугольник, у которого один угол тупой, называется тупоугольным. Треугольник, у которого один угол прямой, называется прямоугольным. Гипотенуза лежит против прямого угла. Катеты образуют прямой угол. Гипотенуза Катет

Задачи. 1. Отрезки АВ и CD пересекаются под прямым углом в точке О. Назовите гипотенузы и катеты прямоугольного треугольника АОС и прямоугольного треугольника BOD. 2. В треугольнике MNK проведена высота KD. Назовите получившиеся прямоугольные треугольники, их гипотенузы и катеты. O D C В А D N K M

По углам По углам. C B A C B A C B A 1. Остроугольный треугольник. Все три угла острые. 2. Тупоугольный треугольник. Один угол тупой, остальные - острые. 3. Прямоугольный треугольник. а) Один угол прямой, остальные – острые. б) Гипотенуза лежит против прямого угла. в) Катеты образуют прямой угол.

По сторонам По сторонам. A С B C B A 60 o C B A 1.Равнобедренный треугольник. а) Треугольник, у которого 2 стороны равны, называется равнобедренным. б) Углы при основании равны. в) Биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. 2.Равносторонний треугольник. а) Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним. б) Все углы по 60 о. в) Выполняется свойство биссектрисы равнобедренного треугольника. 3. Разносторонний треугольник. Все стороны разной длины.

Задачи для школьников : 1. Знать: а) понятие теоремы, обратной данной; б) алгоритм доказательства методом от противного; в) теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей. 2. Уметь применять эти знания при решении задач.

Теорема – это утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждений. Такие рассуждения – доказательство теоремы. Свойство смежных углов – теорема: если углы смежные, то их сумма равна 180 о Если …, то … Условие (дано). Утверждение, заключение ( что следует доказать) Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением - условие данной теоремы. Данная теорема Обратная теорема Дано: Доказать: Дано:

Данная теорема Обратная теорема Теорема. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Теорема. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны. c b a 1 2 Дано: a; b; с – секущая; < 1 и < 2 – накрест лежащие; < 1 = < 2 Доказать: a b c b a 1 2 Дано: a; b; с – секущая; < 1 и < 2 – накрест лежащие; a b Доказать: < 1 = < 2

Алгоритм : 1.Предполагаем противоположное тому, что нужно доказать. 2.Выясняем, что следует из нашего предположения. 3.Находим противоречие с ранее изученными аксиомами, теоремами. 4.Делаем вывод: предположение неверно, а верно то, что нужно доказать.

Теорема. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны. c b a 1 2 Дано: a; b; a b, с – секущая; < 1 и < 2 – накрест лежащие; Доказать: < 1 = < 2 Доказательство (методом от противного). 1) Предположим, что < 1 = < 2. 2) Тогда существует < 3 = < 2 < 3 и < 2 – накрест лежащие m b, но по условию а b 3) m b; а b ; M a; M m. Противоречие с аксиомой параллельных прямых. 4) Вывод. Предположение неверно, а верно то, что надо доказать. Значит, < 1 = < 2 m 3 M

Теорема. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны. c b a 1 2 Дано: a; b; с – секущая; < 1 и < 2 – соответственные; a b Доказать: < 1 = < 2 3 Доказательство. < 1 = < 3 ( по теореме о накрест лежащих углах) < 2 = < 3 ( вертикальные); < 1 = < 2 Теорема. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180 о. b a c Дано: a; b; с – секущая; < 1 и < 2 – односторонние; a b Доказать: < 1 + < 2 = 180 о Доказательство. < 1 = < 3 ( по теореме о накрест лежащих углах) < 2 + < 3 = 180 о (по свойству смежных углов); < 1 + < 2 = 180 о

c b a 1 2 Теорема. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны. c b a 1 2 b a 1 2 c Теорема. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180 о. Теорема. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.