ab= a b cos( ) ab ab = 0= 0= 0= 0 ab ab > 0> 0> 0> 0 ab < 90 0 ab < 0< 0< 0< 0 ab > 90 0 a 2a 2a 2a 2= a 2 Повторение

Все ребра тетраэдра АВСD равны друг другу. Точки М и N – середины ребер АD и ВС. Докажите, что MN AD = 0 B C N A D M

Маленький тест ВЕРНО! 1 3 ПОДУМАЙ ! Проверка xOy На каком расстоянии от плоскости xOy находится точка М(2; -3; 5) I I I I M zy x I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I O Oxy 2

5;5; ВЕРНО! 2 3 ПОДУМАЙ ! Проверка 4;4; На каком расстоянии от начала координат находится точка А(-3; 4; 0)А Oxy zy x I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I O

2 ВЕРНО! 1 3 ПОДУМАЙ ! Найти координаты середины отрезка, если концы его имеют координаты и A(-3; 2;-4) B(1;-4; 2) C(-1;-1;-1) C ( ; ; ) (-4) C(-2; 1;-1) C(-2;-2;-2) Проверка

1 ВЕРНО! 2 3 ПОДУМАЙ ! Проверка Дан квадрат АВСD. Найдите угол между векторами и ; ; ПОДУМАЙ ! АС DA АВСD

Скалярное произведение координатных векторов и : 3 ВЕРНО! 2 1 ПОДУМАЙ ! Проверка равно нулю, т.к. угол между векторами прямойkj 1 – 1 0 x yz I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I j k i O

1 ВЕРНО! 2 3 ПОДУМАЙ ! Проверка Скалярный квадрат вектора равен: 7 i7 i7 i7 i Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. ( 7i ) 2 = 7 i 2 = 7 2 = 49

2 ВЕРНО! 1 3 ПОДУМАЙ ! Записать координаты вектора n = – 8j + i n {-8; 1; 0} n {1;-8; 0} n {1; 0;-8}

3 ВЕРНО! 2 1 ПОДУМАЙ ! Проверка mn = –15, m = 5,m = 5,m = 5,m = 5, n = 6. Найдите угол между векторами и, еслиmn Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только тогда, когда угол между векторами тупой

ПОДУМАЙ ! Проверка (2) ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – куб, ребро которого равно 1. Найдите скалярное произведение векторов и. 4; 1. 2; ВЕРНО! АD 1 BC D1D1D1D1C B A D C1C1C1C1 A1A1A1A1 B1B1B1B1

d { 5 ; 4;-3} b {-2; 1;-7} Найдите скалярное произведение векторовПример ( ) Скалярное произведение векторов Скалярное произведение векторов и выражается формулой выражается формулой a {x 1 ; y 1 ;z 1 } b {x 2 ; y 2 ;z 2 } = x 1 x 2 + y 1 y 2 +z 1 z 2 ab =

Даны векторы a {1; -1; 2}, b {-1; 1; 1}, c {5; 6; 2} Вычислитьa c =c =c =c = a b =b =b =b = b c =c =c =c = a a =a =a =a = b b =b =b =b = (-1) = (-1) = 3 1 (-1) + (-1) = = (-1) (-1) = 6 -1 (-1) = 3

Через длины векторов и угол между ними ab = a b cos( ) ab ab = 0= 0= 0= 0 ab ab > 0> 0> 0> 0 ab < 90 0 ab < 0< 0< 0< 0 ab > 90 0 a 2a 2a 2a 2 = a 2 в координатах = x 1 x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 ab Скалярное произведение векторов

a {3; -4; 2}, b {-2; 1; 3}, Найдите c {-2;-1,5; 0} ab bc ca = - 4 = 2,5 = 0 Перпендикулярны ли векторы и, и, иabbcca Каким (острым, тупым или прямым) является угол между векторами и, и, иabbcca тупой острый прямой = 3 (-2) + (-4) = (-2) (-2) + 1 (- 1,5) = 3 (-2) + (-4) (- 1,5) + 2 0

Косинус угла между ненулевыми векторами и выражается формулойab cos cos = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 x y z 1 2 x y z 2 2 x y z 2 2

x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 Доказательство: a = b = x y z 2 2 ab ab =abcos cos = ab = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 ab = x y z 1 2 x y z 1 2 x y z 2 2 cos

Сочетательный закон Переместительный закон Распределительный закон Свойства скалярного произведения векторов Для любых векторов,, и любого числа справедливы равенства:abbkc4 a 2 0 причем при a 2 > 0 a 0 abba= (a + b) c = a c + b c ( k a )( k a )( k a )( k a )b k ( a b) =

Распределительный закон имеет место для любого числа слагаемых. Например, ( a + b + c ) d = a d + b d + c d (a + b) c = a c + b c

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – прямоугольный параллелепипед, АА 1 =АВ=АD=1,, B1B1B1B1 C D A B C1C1C1C1 A1A1A1A D1D1D1D1 ВА D 1 C 1 а)а)а)а) = 1 1 cos180 0

B1B1B1B1 C D A B C1C1C1C1 A1A1A1A D1D1D1D112 ВC 1 D 1 B б)б)б)б)(0;1;1) ( ; ;1) ВC 1 {0;1;1} D 1 B {- ;- ;-1} 2 312

B1B1B1B1 C D A B C1C1C1C1 A1A1A1A АС 1 АC 1 в)в)в)в) = 2 2 cos0 0 D1D1D1D способ

B1B1B1B1 C D A B C1C1C1C1 A1A1A1A АС 1 АC 1 в)в)в)в) D1D1D1D1 2 способ 12 (0;1;1) ( ;- ;0) АС 1 {- ; ; 1} 2 332

B1B1B1B1 C D A B C1C1C1C1 A1A1A1A IDB 1 I г)г)г)г) D1D1D1D1 1

B1B1B1B1 C D A B C1C1C1C1 A1A1A1A D1D1D1D112 ( ; ;1) D 1 B {- ;- ;-1} cos(DA 1 D 1 B) е)е)е)е) ( ; ;0) ( ;- ;1) DA 1 {0;- 1; 1}

Применение скалярного произведения для вычисления угла между прямыми/ Применение скалярного произведения для вычисления угла между прямыми/ направляющим вектором прямой a a a Ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой a, если он лежит либо на прямой a, либо на прямой, параллельной a.BA ac

Угол между прямыми это тот из углов, который не превосходит любой из трех остальных углов! a 1.Направляющий вектор для прямой a 1.Направляющий вектор для прямой a. 2.Направляющий вектор для прямой b 2.Направляющий вектор для прямой b. 3.Вычислить cos BA CDb cos cos = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 x y z 1 2 x y z 2 2 x y z 2 2

an p Применение скалярного произведения для вычисления угла между прямой и плоскостью. Применение скалярного произведения для вычисления угла между прямой и плоскостью. a Направляющий вектор для прямой a. Вектор, перпендикулярный к плоскости. - искомый угол между прямой и плоскостью p n - угол между векторами p и n

a n тупой sin sin = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 x y z 1 2 x y z 2 2 x y z 2 2 p

1.Направляющий вектор для прямой a 1.Направляющий вектор для прямой a. 2.Вектор, перпендикулярный к плоскости 2.Вектор, перпендикулярный к плоскости. 3.Вычислить sin sin sin = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 x y z 1 2 x y z 2 2 x y z 2 2 Применение скалярного произведения для вычисления угла между прямой и плоскостью. Применение скалярного произведения для вычисления угла между прямой и плоскостью.