Четыре замечательные точки треугольникаТеорема 1 Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон 1. Обратно: каждая точка, лежащая.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
Четыре замечательные точки треугольника. Теорема 1 Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон 1. Обратно: каждая точка, лежащая.
Advertisements

Геометрия глава 8 Тема : «О Геометрия глава 8 Тема : «Окружность». Подготовила Иванова Наталья 9 «а» класс СПб лицей 488 ( учитель Курышова Н.Е. )
Окружность Выполнили: Ученики 8 Б класса школы 89 Вахрушева Ксения, Габдуллин Марат, Курдес Полина, Обухова Саша, Хуснутдинова Инзиля, Щенин Стас.
Четыре замечательные точки треугольника высоты биссектрисы серединные перпендикуляры медианы.
А В С D Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектриссой этого угла. Луч AD – биссектриса угла ВАС.
Четыре замечательные точки треугольника Составил: учитель математики Харитова С.В, МБОУ лицей 10 г.Красноярска МБОУ лицей 10 г.Красноярска.
N K Теорема о биссектрисе угла. Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон. Обратная теорема. Точка, лежащая внутри угла.
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника,то такие треугольники.
Презентация «Четыре замечательные точки треугольника» Выполнила О.А.Зуева, учитель математики МКОУ СОШ учебный год.
B A C E K M A B C K L M
Четыре замечательные точки треугольника А В С k n p О.
A В С М Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой.
Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон. Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит.
Окружности. Работу выполнили ученицы 8 класса «Б» Тузлукова Анастасия Шарапова Юлия.
Теорема Чевы. Замечательные точки треугольника. Семенова Анастасия 8 « Б »
Геометрия 8 класс Тема: Свойства биссектрисы угла и серединного перпендикуляра»
Урок геометрии в 8 классе Серединный перпендикуляр (четыре замечательные точки треугольника) Колокольцева Анна Витальевна. Учитель математики МОСОШ 1 Динского.
Презентация по теме: «Треугольники» Подготовили Ученицы 9 класса Б Камаретдинова Карина Семёнова Алина.
Две прямые, которые пересекаются под прямым углом называются перпендикулярными.
Геометрические места точек Геометрическим местом точек (ГМТ) называется фигура, состоящая из всех точек, удовлетворяющих заданному свойству или нескольким.
Транксрипт:

Четыре замечательные точки треугольника

Теорема 1 Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон 1. Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалена от его сторон угла, лежит на его биссектрисе. 1 т.е равноудалена от прямых, содержащих стороны угла.

Доказательство АМК = АМL (т. к. АМ - общая гипотенуза, МК = МL) ВАМ = МАС луч АМ- биссектриса ВАС В L К М С А 1) Возьмем произвольную точку М на биссектрисе ВАС МК АВ, МL AC. МК = МL (т.к АМК = АМL по гипотенузе и острому углу). 2) Точка М лежит внутри ВАС и равноудалена от его сторон АВ, АС.

Следствие Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке О - точка пересечения биссектрис АА 1, ВВ 1 АВС. А В С М В1В1 С1С1 К А1А1 L О Проведем ОК АВ, ОL ВС, ОМ СА. ОК = ОМ и ОК = ОL ОМ = ОL. т.е точка О равноудалена от сторон АВС О биссектрисе СС 1 этого угла, ВВ 1 СС 1 АА 1 = О

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему. А В а

Теорема 2 Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Обратно: каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Доказательство 1) Прямая m- серединный перпендикуляр к отрезку АВ. М А В О m N AB O m Точка О - середина этого отрезка. Докажем, что АМ = МВ. АМО = МОВ (по двум катетам) АМ = МВ 2) Точка N равноудалена от концов отрезка. Докажем, что точка N лежит на прямой m. АNВ - равноб. (т.к АN = NВ). NО - медиана и высота NO АВ, поэтому прямые ОN и m совпадают, т.е N- точка прямой m.

Следствие Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Доказательство: m ВА, n ВС. В А С О n m р По теореме о серединном перпендикуляре ОВ = ОА и ОВ = ОС ОА = ОС Т.е точка О равноудалена от концов отрезка АС и, значит, лежит на серединном перпендикуляре p к этому отрезку перпендикуляры m, n и p пересекаются в точке О.

Теорема 3 Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Доказательство Проведем через каждую вершину АВС прямые: С 2 В 2 II ВС, С 2 А 2 II АС, А 2 В 2 II АВ. Получим А 2 В 2 С 2. В С2С2 В2В2 А С А2А2 В1В1 С1С1 А1А1 Точки А, В и С являются серединами сторон А 2 В 2 С 2 АВ = А 2 С и СВ 2 = АВ как противоположные стороны параллелограммов АВА 2 С и АВСВ 2 А 2 С = СВ 2. Аналогично С 2 А = АВ 2 и С 2 В = ВА 2 СС 1 А 2 В 2, АА 1 В 2 С 2 и ВВ 1 А 2 С 2 АА 1 С 2 В 2, ВВ 1 СС 2 и СС 1 В 2 А 2 они пересекаются в одной точке.

Задача 1 В треугольнике АВС, изображённом на рисунке, АС = ВС = АВ, ВМ = МС. По условию задачи АОС = ВСО и АС = ВС, т. е. отрезок СО является биссектрисой равнобедренного треугольника, а поэтому она является также медианой и высотой. Следовательно, прямая СО проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна к этому отрезку, т. е. является серединным перпендикуляром к стороне АВ. Т С А В М О ВТ АС, АОС = ВСО. Какая из прямых СО, ВТ является серединным перпендикуляром к стороне треугольника АВС. Решение

Задача 2 Биссектрисы АА 1 и ВВ 1 треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите углы АСМ и ВСМ, если АВМ = А В С А1А1 С1С1 М Решение 1) Проведём СС 1 АВ. В1В1 2) Рассмотрим АСС 1 = ВСС 1 (по гипотенузе и острому углу.) А = В = ) А+ В+ С = (по теореме о сумме углов.) C = )Точка М- равноудалена от вершин АВС. АА 1 и ВВ 1 - биссектрисы СС 1 является биссектрисой и они пересекаются в одной точке М ВСМ = АСМ = 18 0