Формула Бернулли Автор-составитель: Каторова О.Г., учитель математики МБОУ «Гимназия 2» г. Саров

P n (k)=C k n p k (1-p) n-k Если Вероятность p наступления события Α в каждом испытании постоянна, то вероятность P n (k) того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна: Т Формулировка теоремы Формула Бернулли формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений сложения и умножения вероятностей при достаточно большом количестве испытаний.

Историческая справка ЯКОБ БЕРНУЛЛИ (1654–1705) Дата рождения: 27 декабря 1654 г. Место рождения: Базель Дата смерти: 16 августа 1705 г. Место смерти: Базель Гражданство: Швейцария Научная сфера: Математик Место работы: Базельский университет Науч. рук.: Лейбниц Якоб Бернулли (нем. Jakob Bernoulli, 27 декабря 1654, Базель, 16 августа 1705, там же) швейцарский математик, брат Иоганна Бернулли; профессор математики Базельского университета (с 1687). Якобу Бернулли принадлежат значительные достижения в теории рядов, дифференциальном исчислении вариационного исчисления, теории вероятностей и теории чисел, где его именем названы числа с некоторыми определенными свойствами. Якобу Бернулли принадлежат также работы по физике, арифметике, алгебре и геометрии.

Пример использования формулы Бернулли Каждый день акции корпорации АВС поднимаются в цене или падают в цене на один пункт с вероятностями соответственно 0,75 и 0,25. Найти вероятность того, что акции после шести дней вернутся к своей первоначальной цене. Принять условие, что изменения цены акции вверх и вниз – независимые события. РЕШЕНИЕ: Для того, чтобы акции вернулись за 6 дней к своей первоначальной цене, нужно, чтобы за это время они 3 раза поднялись в цене и три раза опустились в цене. Искомая вероятность рассчитывается по формуле Бернулли P 6 (3) = C 3 6 (3/4) 3 (1/4) 3 = 0,13

Проверь себя В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули подряд 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Какова вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется два белых? ОТВЕТ: РЕШЕНИЕ: ОТВЕТ: РЕШЕНИЕ: Аудитор обнаруживает финансовые нарушения у проверяемой фирмы с вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что среди 4 фирм- нарушителей будет выявлено больше половины. Игральный кубик бросается 3 раза. Какова вероятность того, что в этой серии испытаний 6 очков появятся ровно 2 раза? 0, /27 0,9477

Проверь себя Монета бросается 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет не более, чем 2 раза. ОТВЕТ: РЕШЕНИЕ:ОТВЕТ: РЕШЕНИЕ: Пусть всхожесть семян пшеницы составляет 90%. Чему равна вероятность того, что из 7 посеянных семян взойдут 5? 0,124 0,344

Вероятность извлечения белого шара p=20/30=2/3 можно считать одной и той же во всех испытаниях; 1-p=1/3 Используя формулу Бернулли, получаем P 4 (2) = C 4 2 ·p 2 ·(1-p) 2 =(12/2)·(2/3) 2 ·(1/3) 2 = 8/27 НАЗАД РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 1

НАЗАД РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 2 Событие состоит в том, что из 4 фирм- нарушителей будет выявлено три или четыре, т.е. P(A)=P 4 (3)+P 4 (4) P(A)= C 3 4 0,9 3 0,1+C 4 4 0,9 4 = 0,9 3 (0,4+0,9)=0,9477

НАЗАД Пусть А - появление 6 очков в одном испытании. Событие А в каждом из четырех независимых испытаний может произойти, а может и не произойти. Известно, что p= Р(А)=1/6 Тогда, согласно формуле Бернулли получим P 3 (2)=C 2 3 (1/6) 2 (1-1/6) 3- 2 =31/365/6=3/2160,01389 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 3

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 4 НАЗАД Искомая вероятность равна сумме вероятностей трех событий, состоящих в том, что герб не выпадет ни разу, либо один раз, либо два раза: P(A)=P 6 (0)+P 6 (1)+P 6 (2) P(A)= C 0 6 (1/2) 0 (1/2) 6 +C 1 6 (1/2) 1 (1/2) 5 +C 2 6 (1/2) 2 (1/2) 4 =0,344

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 5 НАЗАД Известно, что P=0,9, по формуле Бернулли рассчитаем искомую вероятность: 0,124 P 7 (5)=C 5 7 0,9 5 (1-0,9) 2 =210,590490,01=0,124

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!