«Касательная к графику функции» ВЫПОЛНИЛ: учитель математики высшей категории МОУ «СОШ 1» Города Магнитогорска Пупкова Татьяна Владимировна

Содержание 1. Определение касательной к графику функции. 2. Уравнение касательной к графику функции в общем виде. 3. Алгоритм составления касательной к графику функции. 4. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. 5. Касательная проходит через точку, лежащую на данной прямой. 6. Касательная проходит через точку, не лежащую на данной прямой. 7. Касательная проходит под некоторым углом к данной прямой. 8. Касательная является общей для двух кривых. 9. Является ли данная прямая касательной к графику функции у=f(x)?

Определение касательной к графику функции у=f(х) Пусть дана некоторая кривая и точка Р на ней. Возьмем на этой кривой другую точку Р1 и проведем прямую через точки Р и Р1. Эту прямую называют секущей. Будем приближать точку Р1 к Р. Положение секущей РР1 будет меняться (стремиться к точки Р) предельное положение прямой РР1 и будет касательной к кривой в точке Р.

Уравнение вида у=f(a)+f(a)(х-а) является уравнением касательной к графику функции.

Алгоритм составления касательной к графику функции у=f(x) 1. Обозначить буквой а абсциссу точки касания. 2. Найти f(а). 3. Найти f(x) и f(а). 4. Подставить найденные числа а, f(а), f(а) в общее уравнение касательной у=f(a)+f(a)(x-a)

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Пусть даны две прямые: у 1 =k 1 x+b 1 и у 2 =k 2 x+b 2. Если k 1 = k 2, то прямая у 1 параллельна у 2. Если k 1 k 2 =–1, то данные прямые взаимно перпендикулярны

Рассмотрим возможные типы задач на касательную

1. Касательная проходит через точку, лежащую на данной кривой У. х 0 Х

Даны дифференцируемая функция у=f(х) и 1) абсцисса точки касания; 2) ордината точки касания; 3) абсцисса точки касания задана как пересечение двух графиков функций; 4) абсцисса точки касания задана как корень данного уравнения.

Решение таких задач сводится: 1) к последовательному отысканию f(a) и f(a); 2) решая уравнение f(a)=у 0, находим а; 3) находим точки пересечения двух графиков; решая уравнение f(x)=g(x); 4) находим корень данного уравнения.

Ключевая задача 1. Составьте уравнение касательной к графику функции у=х 2 –2х–3 в точке с абсциссой х 0 =2. Решение. 1. Обозначим абсциссу точки касания а, тогда а=2. 2. Найдем f(a): f(a)=2 2 –2 · 2–3, f(a)= Найдем f (x) и f(a): f(x)=2x–2, f(a)=2. 4. Подставим найденные числа а, f(a), в общее уравнение касательной у=f(a)+f(a)(x–a): у=-3+2(х–2), у=-3+2х–4, у=2х–7 – уравнение касательной. Ответ: у=2х –7.

2. Касательная проходит через точку, не лежащую на данной кривой У. A(n;m) х

Даны дифференцируемая функция у=f(х) и 1) точка А(n;m) через которую проходит касательная; 2) точка А(n;m) задана как пересечение двух графиков функций; 3) точка А(n;m) задана как корень системы уравнений.

Решение таких задач основывается на том, что координаты точки А(n;m) должны удовлетворять искомому уравнению касательной: 1) решая уравнение m=f(a)+f(a)(m-a) найдем а и, таким образом, приходим к задаче первого типа; 2) находим точки пересечения двух графиков, решая уравнения f(x)=g(x) и у=g(х) или у=f(x); 3) находим корень данной системы уравнений.

Ключевая задача 2. Напишите уравнение всех касательных к графику функции у = х 2 +4х+6 проходящих через точку М(-3;-1). Решение. 1. Точка М(-3;-1) не является точкой касания, так как f(-3)=3. 2. а – абсцисса точки касания. 3. Найдем f(a): f(a) = a 2 +4a Найдем f(x) и f(a): f(x)=2x+4, f(a)=2a Подставим числа а, f(a), в общее уравнение касательной у= f(a)+ f(a)(x–a): y=a 2 +4a+6+(2a+4)(x–a) – уравнение касательной. Так как касательная проходит через точку М(-3;-1), то -1=a 2 +4a+6+(2a+4)(-3–a), a 2 +6a+5=0, a=-5 или a=-1. Если a=-5, то y=-6x–19 – уравнение касательной. Если a=-1, y=2x+5 – уравнение касательной. Ответ: y=-6x–19, y=2x+5.

3. Касательная проходит под некоторым углом к данной прямой У Х

Даны дифференцируемая функция у=f(х) и 1) значение производной в точке касания f(а); 2) указан угловой коэффициент касательной; 3) задан угол, между касательной к графику функции и данной прямой.

Решая уравнение f(a)=k или f(a)=tg (если задан угол ) находим возможные значения а.

Ключевая задача 3. Напишите уравнения всех касательных к графику функции у=х 2 –2х–8, параллельных прямой у=-4х–4. Решение. 1. Обозначим абсциссу точки касания а. 2. Найдем f(a): f(a)=a 2 –2a–8. 3. Найдем f(x) и f(a): f(x)=2x–2, f(a)=2a–2. Но, с другой стороны, f(a)= - 4 (условие параллельности). Решив уравнение 2a–2= - 4, получим a= - 1, f(a)= - 5. Подставим найденные числа а, f(a), в общее уравнение касательной у=f(a)+f(a)(x-a): y=-5–4(x+1), y= - 4x–9 – уравнение касательной. Ответ: y= - 4x–9.

4. Касательная является общей для двух кривых У Х

Даны дифференцируемые функция у=f(х) и y=g(x). Нужно найти уравнения общих касательных к графику этих функций.

1 способ. Такие задачи можно решать с помощью необходимого и достаточного признака того, что прямая у=kх+b является касательной к графику функции у=f(х) и у=g(х). Тогда задача сводится к решению системы: f(m)=km+b, g(n)=kn+b, f(m)=k, g(n)=k, где (m;f(m)) и (n;g(n)) – точки касания искомой прямой с графиками функций у=f(х) и у=g(х) соответственно. Решив систему, получим возможные значения k и b и запишем уравнения общих касательных в виде у=kх+b.

2 способ. 1) Находим уравнение касательной к графику функции у=f(х) в точке с абсциссой а. 2) Находим уравнение касательной к графику функции у=g(х) в точке с абсциссой а. 3) Полученные прямые должны совпадать, т. е. решаем систему: k 1 =k 2, b 1 =b 2.

Ключевая задача 4. Напишите уравнения всех общих касательных к графикам функций у=х 2 +х+1 и. у=0,5(х 2 +3). Решение. I 1. а – абсцисса точки касания графика функции у=х 2 +х+1 2. Найдем f(a): f(a) =a 2 +а Найдем f(x) и f(a): f(x)=2x+1, f(a)=2a Подставим а, f(a), в общее уравнение касательной у=f(a)+ f(a)(x–a): y=a 2 +а+1+(2a+1) (x–a), y=(2a+1)x–a 2 +1 – уравнение касательной. II. 1. с – абсцисса точки касания графика функции у=0,5(х 2 +3). 2. Найдем f(c): f(c)=0,5c 2 +1,5. 3. Найдем f(x) и f(c): f(x)=х, f(c)=c. 4. Подставим а, f(a), в общее уравнение касательной у=f(a)+ f(a)(x–a): y=0,5c 2 +1,5+c(x–c), y=cx–0,5c 2 +1,5 – уравнение касательной. Так как касательная общая, то 2a+1=c, c=1, с=-3 –a 2 +1= –0,5c 2 +1,5 a=0; или а=-2 Итак, y=x+1 и y=-3x–3 общие касательные. Ответ: y=x+1 и y=–3x–3.

Является ли данная прямая касательной к графику функции у=f(x)? Даны дифференцируемая функция у=f(х) и уравнение прямой у=kх+b. Выясните, является ли данная прямая касательной к графику функции у=f(x).

1 способ. Если у=kх+b – уравнение к графику функции в точке с абсциссой а, то f(а)=k. Решив это уравнение, находим а и задача сводится к решению первого типа задач на касательную. Полученное уравнение сравнивается с данным уравнением прямой.

2 способ. Прямая у=kх+b является касательной к графику функции у=f(x) в том и только том случае, если существует такое значение а, при котором совпадают значения данных функций и значения их производных, т. е. Совместна система f(a)=ka+b, f(a)=k.

Представим разработанную систему задач в виде схемы.