Выполнил: Павлов В. А. Проверила: Хлынова Т. В.

Произведение первых натуральных чисел называется n-факториал и обозначается n!; По определению: Чтобы найти факториал числа, необходимо вычислить произведение всех чисел, в промежутке от 1 до заданного числа. Общая формула выглядит таким образом: n! = 1*2*…*n, где n – любое целое неотрицательное число. Факториал принято обозначать восклицательным знаком.

0! = 1; n! = n*(n-1)! ; n!^2 n^n n! n. Второе свойство факториала называется рекурсией, а сам факториал – элементарной рекурсивной функцией. Рекурсивные функции часто применяются в теории алгоритмов и в написании компьютерных программ, поскольку многие алгоритмы и функции программирования имеют рекурсивную структуру.

Определить факториал большого числа можно по формуле Стирлинга, которая дает, однако, приближенное равенство, но с маленькой погрешностью. Полная формула выглядит следующим образом: n! = (n/e)^n*(2*π*n)*(1 + 1/(12*n) + 1/(288*n^2) + …) ln (n!) = (n + 1/2)*ln n – n + ln (2*π), где e – основание натурального логарифма, число Эйлера, численное значение которого принято приблизительно равным 2,71828…; π – математическая константа, значение которой принято равным 3,14. Широко распространено использование формулы Стирлинга в виде: n! (2*π*n)*(n/e)^n.

Джеймс Стирлинг (англ. James Stirling, май декабря 1770) шотландский математик. Джеймс Стирлинг родился в неспокойное время. Четырьмя годами раньше был свергнут король Яков II, он же Яков VII Шотландский. В 1707 году Шотландия была присоединена к Англии. Когда Джеймсу было около 17 лет, его отец был арестован как якобит (сторонник свергнутого монарха) и обвинён в государственной измене. Суд его оправдал. Мятежи якобитов продолжались ещё долгое время. Образование Стирлинг получил в Оксфорде, затем, вероятно, в Глазго. Получить диплом ему мешало то, что при этом надо было непременно принести присягу английской королеве; Стирлинг категорически отказался делать это. Теперь уже угроза ареста нависла над ним самим. Стирлинг уезжает в Италию, где живёт до 1722 года. В Италии начинается научная деятельность Стирлинга. Он публикует работу «Ньютоновские кривые третьего порядка», где изучает алгебраические кривые 3-й степени, уже исследованные Ньютоном. Стирлинг обнаружил 4 новых типа этих кривых, не замеченных великим аналитиком. В этой же работе доказан ряд теорем, высказанных Ньютоном без доказательства, изучаются кривая скорейшего спуска и цепная линия, решается лейбницевская задача об ортогональных траекториях. Стирлинг выяснил, что алгебраическая кривая n-го порядка определяется своими n(n+3)/2 точками.

1724: Стирлинг приезжает в Лондон, работает преподавателем. Ведёт активные математические исследования. 1726: по рекомендации Ньютона, данной им незадолго до смерти, Стирлинг избран членом Королевского общества. 1730: опубликован главный труд Стирлинга, «Дифференциальные методы» (Methodus Differentialis). Это один из первых содержательных учебников по математическому анализу, излагающий помимо основ анализа немало личных открытий Стирлинга. Среди тем книги: бесконечные ряды, их суммирование и ускорение сходимости, теория интегрирования (квадратуры), интерполирование, свойства гамма-функции, асимптотические представления. Одно из таких представлений, несколько преобразованное де Муавром, известно сейчас как формула Стирлинга. Некоторые детали исследований Стирлинга можно почерпнуть из его переписки с де Муавром, Эйлером и Крамером. 1733: ещё один важный труд Стирлинга: «Двенадцать предложений о фигуре Земли». 1735: Стирлинг возвращается в Шотландию, куда приглашён управлять горной компанией. Административная работа хорошо ему даётся и хорошо оплачивается, но свободного времени практически нет. Единственная опубликованная его работа за этот период касается проблем шахтной вентиляции. На этой должности он оставался до конца жизни.

Родился во Франции, в недворянской семье врача- гугенота; частицу де перед своей фамилией он добавил по собственной инициативе. В 11 лет поступил в Протестантскую академию в Седане, где успел проучиться 4 года, после чего академия была запрещена властями (1682). Муавр продолжил образование в Сомюре (2 года). Вероятно, в это время он познакомился с теорией вероятностей по трудам Гюйгенса. Далее около года Муавр слушал лекции по физике и математике в Париже (в том числе у Озанама), но в 1685 году Людовик XIV официально отменил Нантский эдикт, возобновились притеснения протестантов, а сам Муавр попал в тюрьму. Подробности его заключения неизвестны, но так или иначе, он вынужден был покинуть родину.

Открыл (1707) формулу Муавра для возведения в степень (и извлечения корней) комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме. Он первый стал использовать возведение в степень бесконечных рядов. Муавр также установил связь между рекуррентными последовательностями и разностными уравнениями. Внёс вклад в теорию решения однородных линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами. Ему и Дж. Стирлингу принадлежит асимптотическое представление факториала, носящее название формулы Стирлинга. Помимо анализа, Муавр внёс большой вклад в теорию вероятностей. Доказал частный случаи теоремы Лапласа. Провёл вероятностное исследование азартных игр и ряда статистических данных по народонаселению. Кроме нормального, он использовал равномерное распределение. Большинство результатов де Муавра были вскоре перекрыты трудами Лапласа; степень возможного влияния де Муавра на Лапласа неясна.