Математика Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные Автор: Жагалкович Полина Сергеевна Учебное заведение: МОУ Лицей1 г.Комсомольск-на-Амуре Адрес автора: Хабаровский край, с.п. «Село Хурба» ул.Добровольского, ДОС 2-10 Руководитель: Будлянская Наталья Леонидовна

Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе. (М.И. Калинин)

1.Представление левой части неравенства в виде суммы неотрицательных слагаемых (правая часть равна 0) с использованием тождеств. Пример 1. Доказать что для любого хϵR Доказательство. 1 способ. 2 способ. для квадратичной функции что означает её положительность при любом действительном х. для хϵR для хϵR т. к.

для любых действительных х и у Пример 2. Доказать, что для любых x и y Доказательство. Пример 3. Доказать, что Доказательство. Пример 4. Доказать, что для любых a и b Доказательство.

2. Метод от противного Вот хороший пример применения данного метода. Доказать, что для a, b ϵ R. Доказательство. Предположим, что. Но,что явно доказывает, что наше предположение неверно. Ч.Т.Д.

Пример 5. Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство Доказательство. Очевидно, что данное неравенство достаточно установить для неотрицательных А, В и С, так как будем иметь следующее отношения:, что является обоснованием исходного неравенства.

Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В и С, для которых выполняется неравенство, что невозможно ни при каких действительных А,В и С. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.

для хϵR Использование свойств квадратного трехчлена Метод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена, если и. Пример 6. Доказать, что Доказательство. Пусть, a=2, 2>0 =>

для хϵR Пример 7. Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:, а>0, D P(x)>0 и верно при любых действительных значениях х и у.

Пример 8. Доказать, что для любых действительных значениях х и у. Доказательство. Пусть, Это означает, что для любых действительных у и неравенство выполняется при любых действительных х и у. для хϵR

Метод введения новых переменных или метод подстановки Пример 9. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для,,. Получаем исследуемое неравенство

для аϵR Использование свойств функций. Пример 10. Докажем неравенство для любых а и b. Доказательство. Рассмотрим 2 случая: 1)Если а=b,то верно причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если, на R => ( )* ( )>0, что доказывает неравенство

Пример 11. Докажем, что для любых Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>

Применение метода математической индукции Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12. Доказать, что для любого nϵN 1)Проверим истинность утверждения при - (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)

*3 3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и :, Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.

Использование замечательных неравенств Теорема о средних (неравенство Коши) Неравенство Коши – Буняковского Неравенство Бернулли Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.

Применение теоремы о средних (неравенства Коши) Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического, где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:

1.Пусть n=2,,, тогда 2.Пусть n=2, a>0, тогда 3.Пусть n=3,,,, тогда Пример 13. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство Доказательство.

Неравенство Коши - Буняковского Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых ; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид:. Для n=3 получим

Пример 14. Доказать, что для любых a,b,c ϵ R справедливо неравенство Доказательство. Запишем исследуемое неравенство в следующем виде: Это заведомо истинное неравенство, так как является частным случаем неравенства Коши – Буняковского. Пример 15. Доказать, что для любых a,b,c ϵ R справедливо неравенство Доказательство. Достаточно записать данное неравенство в виде и сослаться на неравенство Коши – Буняковского.

Неравенство Бернулли Неравенство Бернулли утверждает, что если х>-1, то для всех натуральных значений n выполняется неравенство Неравенство может применяться для выражений вида Кроме того, очень большая группа неравенств может быть легко доказана с помощью теоремы Бернулли.

Пример 16. Доказать, что для любых n ϵ N х Доказательство.Положив х=0,5 и применив теорему Бернулли для выражения, получим требуемое неравенство. Пример 17. Доказать, что для любых n ϵ N Доказательство. по теореме Бернулли, что и требовалось.

Давида Гильберта спросили об одном из его бывших учеников. "А, такой-то? - вспомнил Гильберт. - Он стал поэтом. Для математики у него было слишком мало воображения.