МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ. 27.09.04. В основе всякого математического исследования лежат дедуктивный и индуктивный методы. Дедуктивный метод рассуждений. - презентация

1 МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ

2 В основе всякого математического исследования лежат дедуктивный и индуктивный методы. Дедуктивный метод рассуждений - это рассуждение от общего к частному, то есть рассуждение, исходным моментом которого является общий результат, а заключительным моментом - частный результат. Дедуктивный метод рассуждений

3 В математике мы применяем дедуктивный метод, проводя рассуждения такого типа: Данная фигура - прямоугольник, а у каждого прямоугольника диагонали равны, следовательно, и у данного прямоугольника диагонали равны. Дедуктивный метод рассуждений

4 полная индукция. По своему первоначальному смыслу слово «индукция» применяется к рассужде­ниям, при помощи которых получают общие выводы, опираясь на ряд частных утверждений. Простейшим методом рассуждений такого рода является полная индукция. Вот пример подобного рассуждения.

5 Пусть требуется установить, что каждое чётное натуральное число n в пределах 4 n 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. 4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5; 14=7+7; 16=11+5; 18=11+7; 20=13+7. полная индукция.

6 Иногда общий результат удаётся предугадать после рассмотрения не всех, а дос­таточно большого числа частных случаев (так называемая неполная индукция Результат, полученный неполной индукцией, остаётся, однако, лишь гипотезой, пока он не доказан точным математическим рассуждением, охватывающим все частные случаи. Неполная индукция

7 Формула четного числа

8 Формула нечетного числа

9 Пусть, например, требуется найти сумму первых n последовательных нечётных чисел. Рассмотрим частные случаи: 1=1=1 2 ; 1+3=4=2 2 ; 1+3+5=9=3 2 ; =16=4 2 ; =25=5 2. После рассмотрения этих немногих частных случаев напрашивается следующий общий вывод: (2n-1)=n 2, то есть сумма n первых последовательных нечётных чисел равна n 2.

10 Ошибки в индуктивных рассуждениях Разность двузначного числа и числа, записанного теми же цифрами, но в об­ратном порядке, делится на 9. Разность трёхзначного числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 99. Возникает предположение о том, что разность четырёхзначного числа и числа, записанного теми же цифрам, но в об­ ратном порядке, разделится на 999. Это, однако, неверно, например, = =909, но 909 не делится на 999.

11 2. Рассматривая числа вида , французский математик П. Ферма заметил, что при n=1, 2, 3, 4 получаются простые числа. Он предположил, что все числа такого вида - простые. Однако Л. Эйлер нашёл, что уже при n=5 это неверно: число не является простым - оно делится на 641. Ошибки в индуктивных рассуждениях

12 Рассмотрим ещё один пример. Подставляя в квадратный трёхчлен P(x)=x2+x+41 вместо x натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5, найдём: P(1)=43, P(2)=47, P(3)=53, P(4)=61, P(5)=71. Все полученные значения данного трёхчлена являются простыми числами. Подставляя вместо x числа 0, -1, -2, - 3, -4, получим: P(0)=41, P(-1)=41, P(-2)=43, P(-3)=47, P(-4)=53. Значения данного трёхчлена при указанных значениях переменной x также являются простыми числами. Возникает гипотеза, что значение трёхчлена P(x) является простым числом при любом целом значении x. Но высказанная гипотеза ошибочна, так как, например, P(41)= = Ошибки в индуктивных рассуждениях

13 Если предложение А (n), зависящее от натурального числа n, истинно для n=1 из того, что оно истинно для n=k (где k - любое натуральное число), следует, что оно истинно и для следующего числа n=k+1, то предложение А (n) истинно для любого натурального числа n. Принцип математической индукции

14 Метод математической индукции состоит в следующем: для справедливости любого утверждения, высказанного для всех натуральных чисел n>1, достаточно: 1)доказать это утверждение для n=1 2)предположить его справедливость при n=k 1 3)доказать, что оно верно при n=k+1

15 Пример: Доказать, что ( 2n – 1 ) = n 2. Предположим, что оно справедливо при некотором k, т.е. имеет место ( 2k – 1 ) = k 2. Докажем, что тогда оно имеет место и при k + 1. Рассмотрим соответствующую сумму при n = k + 1 : ( 2k – 1 ) + ( 2k + 1 ) = k 2 + ( 2k + 1 ) = ( k + 1 ) 2. Таким образом, из условия, что это равенство справедливо при n=k вытекает, что оно справедливо и при k + 1, значит оно справедливо при любом натуральном n, что и требовалось доказать.

16 Доказать, что cумма первых чисел натурального ряда равна n(n+1) 2

17 Доказать, что сумма первых n чисел вида 3n-2 равна n(3n-1) 2

18 Доказать, что n 3 = ( n) = 1 2 (истина) Гипотеза, пусть при n=k истинно: к 3 = ( к) 2 Докажем истинность при n=k к 3 = ( к) 2