Выполнила ст. гр Прожуган Яна Теорема Минковского о многогранниках

Теорема, о которой пойдет речь, наряду со знаменитыми теоремами Эйлера, Коши, Александрова, принадлежит к числу наиболее удивительных и глубоких результатов о многогранниках. Эта теорема была доказана в 1897 году выдающимся немецким математиком Германом Минковским ( ).

Выпуклые многогранники и их «ежи» Под выпуклым многогранником будем понимать пространственное тело, являющееся пересечением конечного числа полупространств.

Введем важное понятие опорной плоскости. Плоскость, имеющая с данным многоранником общие точки, но оставляющая многогранник по одну от себя сторону, называется опорной.

Так как многогранник выпуклый, каждая опорная плоскость содержит : либо единственную точку многогранника – вершину; либо целый отрезок многогранника – его ребро; либо целый многоугольник, называемый гранью.

Теорема Минковского Предположим, что дана система векторов в трехмерном пространстве с нулевой сумой. Является ли она ежом какого-нибудь многогранника? Удивительная теорема Минковского утверждает, что да, является.

Теорема 1: (Г.Минковский). Пусть {Fi} - множество векторов в пространстве, отложенных от одной точки, такое, что оно не лежит в одной плоскости. Тогда существует ограниченный многогранник Р, еж которого есть множество векторов. Более того, многогранник Р определен однозначно с точностью до параллельного переноса. Для единственности многогранника условие выпуклости существенно.

Доказательство, данное Минковским, опирается на известный из Лагранжа. Другое доказательство было дано выдающимся росийским геометром А.Д. Александровым( ).

Теорема Минковского (точнее, ее аналог) верна для многогранников любой размерности. Для случая плоских многоугольников она доказывается несложно.

Центрально-симметричные многогранники Теорема Минковского чрезвычайно продуктивна. С ее помощью доказывается ряд теорем: Теорема 2: Если еж многогранника Р центрально- симметричен, то многогранник Р также центрально-симметричен.

Теорема 3: Выпуклый многогранник Р тогда и только тогда центрально-симметричен, когда у каждой грани имеется параллельная грань той же площади. Теорема 4: Если выпуклый многогранник Р составлен из конечного числа центрально-симметричных многогранников Р1, Р2,….,Рк, то и сам многогранник Р центрально-симметричен.

Многогранники с центрально- симметричными гранями Грани у центрально-симметричного многогранника не обязательно симметричны. Например, у октаэдра, который является центрально-симметричным многогранником, все грани – треугольники. Так что симметричность граней не является необходимым условием центрально-симметричного многогранника. Но является ли она достаточным условием? Оказывается да, является.

Теорема 5: (А.Д.Александров). Если все грани выпуклого многогранника Р центрально-симметричны, то и сам многогранник Р центрально-симметричный. Доказательство теоремы Александрова также опирается на теорему Минковского.