МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ Фигура, образованная указанной поверхностью и одной из двух частей пространства, ею ограниченных, называется многогранным углом. Общая вершина S называется вершиной многогранного угла. Лучи SA 1, …, SA n называются ребрами многогранного угла, а сами плоские углы A 1 SA 2, A 2 SA 3, …, A n-1 SA n, A n SA 1 – гранями многогранного угла. Многогранный угол обозначается буквами SA 1 …A n, указывающими вершину и точки на его ребрах. Поверхность, образованную конечным набором плоских углов A 1 SA 2, A 2 SA 3, …, A n-1 SA n, A n SA 1 с общей вершиной S, в которых соседние углы не имеют общий точек, кроме точек общего луча, а не соседние углы не имеют общих точек, кроме общей вершины, будем называть многогранной поверхностью.

МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ В зависимости от числа граней многогранные углы бывают трехгранными, четырехгранными, пятигранными и т. д.

ТРЕХГРАННЫЕ УГЛЫ Теорема. Всякий плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов. Доказательство. Рассмотрим трехгранный угол SABC. Пусть наибольший из его плоских углов есть угол ASC. Тогда выполняются неравенства ASB ASC < ASC + BSC; BSC ASC < ASC + ASB. Таким образом, остается доказать неравенство ASС < ASB + BSC. Воспользуемся неравенством треугольника AC < AB + BC. Вычитая из обеих его частей AD = AB, получим неравенство DC < BC. В треугольниках DSC и BSC одна сторона общая (SC), SD = SB и DC < BC. В этом случае против большей стороны лежит больший угол и, следовательно, DSC < BSC. Прибавляя к обеим частям этого неравенства угол ASD, равный углу ASB, получим требуемое неравенство ASС < ASB + BSC. Отложим на грани ASC угол ASD, равный ASB, и точку B выберем так, чтобы SB = SD. Тогда треугольники ASB и ASD равны (по двум сторонам и углу между ними) и, следовательно, AB = AD.

ТРЕХГРАННЫЕ УГЛЫ Свойство. Сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360. Аналогично, для трехгранных углов с вершинами B и С имеют место неравенства: ABС < ABS + CBS, ACB < ACS + BCS. Складывая эти неравенства и учитывая, что сумма углов треугольника ABC равна 180, получаем 180 < BAS + CAS + ABS + CBS + BCS + ACS = ASB BSC ASC. Следовательно, ASB + BSC + ASC < 360. Доказательство. Пусть SABC – данный трехгранный угол. Рассмотрим трехгранный угол с вершиной A, образованный гранями ABS, ACS и углом BAC. В силу доказанного свойства, имеет место неравенство BAС < BAS + CAS.

ВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ Многогранный угол называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой, т. е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и соединяющий их отрезок. На рисунке приведены примеры выпуклого и невыпуклого многогранных углов. Свойство. Сумма всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°. Доказательство аналогично доказательству соответствующего свойства для трехгранного угла.

Вертикальные многогранные углы На рисунках приведены примеры трехгранных, четырехгранных и пятигранных вертикальных углов Теорема. Вертикальные углы равны.

Измерение многогранных углов Поскольку градусная величина развернутого двугранного угла измеряется градусной величиной соответствующего линейного угла и равна 180 о, то будем считать, что градусная величина всего пространства, которое состоит из двух развернутых двугранных углов, равна 360 о. Величина многогранного угла, выраженная в градусах, показывает какую часть пространства занимает данный многогранный угол. Например, трехгранный угол куба занимает одну восьмую часть пространства и, значит, его градусная величина равна 360 о :8 = 45 о. Трехгранный угол в правильной n-угольной призме равен половине двугранного угла при боковом ребре. Учитывая, что этот двугранный угол равен, получаем, что трехгранный угол призмы равен.

Измерение трехгранных углов* Выведем формулу, выражающую величину трехгранного угла через его двугранные углы. Опишем около вершины S трехгранного угла единичную сферу и обозначим точки пересечения ребер трехгранного угла с этой сферой A, B, C. Плоскости граней трехгранного угла разбивают эту сферу на шесть попарно равных сферических двуугольников, соответствующих двугранным углам данного трехгранного угла. Сферический треугольник ABC и симметричный ему сферический треугольник A'B'C' являются пересечением трех двуугольников. Поэтому удвоенная сумма двугранных углов равна 360 о плюс учетверенная величина трехгранного угла, или SA + SB + SC = 180 о + 2 SABC.

Измерение многогранных углов* Пусть SA 1 …A n – выпуклый n-гранный угол. Разбивая его на трехгранные углы, проведением диагоналей A 1 A 3, …, A 1 A n-1 и применяя к ним полученную формулу, будем иметь: SA 1 + … + SA n = 180 о (n – 2) + 2 SA 1 …A n. Многогранные углы можно измерять и числами. Действительно, тремстам шестидесяти градусам всего пространства соответствует число 2π. Переходя от градусов к числам в полученной формуле, будем иметь: SA 1 + …+ SA n = π (n – 2) + 2 SA 1 …A n.

Упражнение 1 Может ли быть трехгранный угол с плоскими углами: а) 30°, 60°, 20°; б) 45°, 45°, 90°; в) 30°, 45°, 60°? Ответ: а) Нет;б) нет;в) да.

Упражнение 2 Приведите примеры многогранников, у которых грани, пересекаясь в вершинах, образуют только: а) трехгранные углы; б) четырехгранные углы; в) пятигранные углы. Ответ: а) Тетраэдр, куб, додекаэдр; б) октаэдр; в) икосаэдр.

Упражнение 3 Два плоских угла трехгранного угла равны 70° и 80°. В каких границах находится третий плоский угол? Ответ: 10 о < < 150 о.

Упражнение 4 Плоские углы трехгранного угла равны 45°, 45° и 60°. Найдите величину угла между плоскостями плоских углов в 45°. Ответ: 90 о.

Упражнение 5 В трехгранном угле два плоских угла равны по 45°; двугранный угол между ними прямой. Найдите третий плоский угол. Ответ: 60 о.

Упражнение 6 Плоские углы трехгранного угла равны 60°, 60° и 90°. На его ребрах от вершины отложены равные отрезки OA, OB, OC. Найдите двугранный угол между плоскостью угла в 90° и плоскостью ABC. Ответ: 90 о.

Упражнение 7 Каждый плоский угол трехгранного угла равен 60°. На одном из его ребер отложен от вершины отрезок, равный 3 см, и из его конца опущен перпендикуляр на противоположную грань. Найдите длину этого перпендикуляра. Ответ: см.

Упражнение 8 Найдите геометрическое место внутренних точек трехгранного угла, равноудаленных от его граней. Ответ: Луч, вершиной которого является вершина трехгранного угла, лежащий на линии пересечения плоскостей, делящих двугранные углы пополам.

Упражнение 9 Найдите геометрическое место внутренних точек трехгранного угла, равноудаленных от его ребер. Ответ: Луч, вершиной которого является вершина трехгранного угла, лежащий на линии пересечения плоскостей, проходящих через биссектрисы плоских углов и перпендикулярных плоскостям этих углов.

Упражнение 10 Для двугранных углов тетраэдра имеем:, откуда 70 о 30'. Для трехгранных углов тетраэдра имеем: 15 о 45'. Ответ: 15 о 45'. Найдите приближенные значения трехгранных углов тетраэдра.

Упражнение 11 Найдите приближенные значения четырехгранных углов октаэдра. Для двугранных углов октаэдра имеем:, откуда 109 о 30'. Для четырехгранных углов октаэдра имеем: 38 о 56'. Ответ: 38 о 56'.

Упражнение 12 Найдите приближенные значения пятигранных углов икосаэдра. Для двугранных углов икосаэдра имеем:, откуда 138 о 11'. Для пятигранных углов икосаэдра имеем: 75 о 28'. Ответ: 75 о 28'.

Упражнение 13 Для двугранных углов додекаэдра имеем:, откуда 116 о 34'. Для трехгранных углов додекаэдра имеем: 84 о 51'. Ответ: 84 о 51'. Найдите приближенные значения трехгранных углов додекаэдра.

Упражнение 14 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 2 см, высота 1 см. Найдите четырехгранный угол при вершине этой пирамиды. Решение: Указанные пирамиды разбивают куб на шесть равных пирамид с вершинами в центре куба. Следовательно, 4-х гранный угол при вершине пирамиды составляет одну шестую часть угла в 360 о, т.е. равен 60 о. Ответ: 60 о.

Упражнение 15 В правильной треугольной пирамиде боковые ребра равны 1, углы при вершине 90 о. Найдите трехгранный угол при вершине этой пирамиды. Решение: Указанные пирамиды разбивают октаэдр на восемь равных пирамид с вершинами в центре O октаэдра. Следовательно, 3-х гранный угол при вершине пирамиды составляет одну восьмую часть угла в 360 о, т.е. равен 45 о. Ответ: 45 о.

Упражнение 16 В правильной треугольной пирамиде боковые ребра равны 1, а высота Найдите трехгранный угол при вершине этой пирамиды. Решение: Указанные пирамиды разбивают правильный тетраэдр на четыре равные пирамиды с вершинами в центре O тетраэдра. Следовательно, 3-гранный угол при вершине пирамиды составляет одну четвертую часть угла в 360 о, т.е. равен 90 о. Ответ: 90 о.