Измерение многогранных углов Поскольку градусная величина развернутого двугранного угла измеряется градусной величиной соответствующего линейного угла. - презентация

1 Измерение многогранных углов Поскольку градусная величина развернутого двугранного угла измеряется градусной величиной соответствующего линейного угла и равна 180 о, то будем считать, что градусная величина всего пространства, которое состоит из двух развернутых двугранных углов, равна 360 о. Величина многогранного угла, выраженная в градусах, показывает какую часть пространства занимает данный многогранный угол. Например, трехгранный угол куба занимает одну восьмую часть пространства и, значит, его градусная величина равна 360 о :8 = 45 о. Трехгранный угол в правильной n-угольной призме равен половине двугранного угла при боковом ребре. Учитывая, что этот двугранный угол равен, получаем, что трехгранный угол призмы равен.

2 Упражнение 1 Ответ: 45 о. Пусть O – центр октаэдра SABCDS. Найдите величину трехгранного угла OABS.

3 Упражнение 2 В правильной треугольной пирамиде боковые ребра равны 1, углы при вершине 90 о. Найдите трехгранный угол при вершине этой пирамиды. Решение: Указанные пирамиды разбивают октаэдр на восемь равных пирамид с вершинами в центре O октаэдра. Следовательно, трехгранный угол при вершине пирамиды составляет одну восьмую часть угла в 360 о, т.е. равен 45 о. Ответ: 45 о.

4 Упражнение 3 Ответ: 60 о. Пусть O – центр куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Найдите величину четырехгранного угла OABCD.

5 Упражнение 4 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 2 см, высота 1 см. Найдите четырехгранный угол при вершине этой пирамиды. Решение: Указанные пирамиды разбивают куб на шесть равных пирамид с вершинами в центре куба. Следовательно, четырехгранный угол при вершине пирамиды составляет одну шестую часть угла в 360 о, т.е. равен 60 о. Ответ: 60 о.

6 Упражнение 5 Ответ: 90 о. Пусть O – центр правильного тетраэдра ABCD. Найдите величину трехгранного угла OABC.

7 Упражнение 6 В правильной треугольной пирамиде боковые ребра равны 1, а высота Найдите трехгранный угол при вершине этой пирамиды. Решение: Указанные пирамиды разбивают правильный тетраэдр на четыре равные пирамиды с вершинами в центре O тетраэдра. Следовательно, трехгранный угол при вершине пирамиды составляет одну четвертую часть угла в 360 о, т.е. равен 90 о. Ответ: 90 о.

8 Упражнение 7 Ответ: 22,5 о. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите величину трехгранного угла BAA 1 C.

9 Упражнение 8 Ответ: 15 о. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите величину четырехгранного угла A 1 ABCD.

10 Упражнение 9 Ответ: 7 о 30. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите величину трехгранного угла A 1 ABC.

11 Упражнение 10 Ответ: 15 о. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите величину трехгранного угла CBDA 1.

12 Упражнение 11 Ответ: 120 о. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите величину трехгранного угла OBA 1 C 1.

13 Формула для трехгранного угла Выведем формулу, выражающую величину трехгранного угла через его двугранные углы. Опишем около вершины S трехгранного угла единичную сферу и обозначим точки пересечения ребер трехгранного угла с этой сферой A, B, C. Плоскости граней трехгранного угла разбивают эту сферу на шесть попарно равных сферических двуугольников, соответствующих двугранным углам данного трехгранного угла. Сферический треугольник ABC и симметричный ему сферический треугольник A'B'C' являются пересечением трех двуугольников. Поэтому удвоенная сумма двугранных углов равна 360 о плюс учетверенная величина трехгранного угла, или SA + SB + SC = 180 о + 2 SABC.

14 Формула для многогранного угла Пусть SA 1 …A n – выпуклый n-гранный угол. Разбивая его на трехгранные углы, проведением диагоналей A 1 A 3, …, A 1 A n-1 и применяя к ним полученную формулу, будем иметь: SA 1 + … + SA n = 180 о (n – 2) + 2 SA 1 …A n. Многогранные углы можно измерять и числами. Действительно, тремстам шестидесяти градусам всего пространства соответствует число 2π. Переходя от градусов к числам в полученной формуле, будем иметь: SA 1 + …+ SA n = π (n – 2) + 2 SA 1 …A n.

15 Упражнение 12 Ответ: 90 о. Двугранные углы, образованные боковыми гранями треугольной пирамиды, равны 120 о. Найдите величину трехгранного угла при вершине этой пирамиды.

16 Упражнение 13 Ответ: 60 о. Двугранные углы, образованные соседними боковыми гранями четырехугольной пирамиды, равны 120 о. Найдите величину четырехгранного угла при вершине этой пирамиды.

17 Упражнение 14 Для двугранных углов тетраэдра имеем:, откуда 70 о 30'. Для трехгранного угла тетраэдра имеем: 15 о 45'. Ответ: 15 о 45'. Найдите косинус и приближенное значение трехгранного угла правильного тетраэдра.

18 Упражнение 15 Найдите косинус и приближенное значение четырехгранного угла октаэдра. Для двугранных углов октаэдра имеем:, откуда 109 о 30'. Для четырехгранного угла октаэдра имеем: 38 о 56'. Ответ: 38 о 56'.

19 Упражнение 16 Найдите косинус и приближенное значение пятигранного угла икосаэдра. Для двугранных углов икосаэдра имеем:, откуда 138 о 11'. Для пятигранного угла икосаэдра имеем: 75 о 28'. Ответ: 75 о 28'.

20 Упражнение 17 Для двугранных углов додекаэдра имеем:, откуда 116 о 34'. Для трехгранного угла додекаэдра имеем: 84 о 51'. Ответ: 84 о 51'. Найдите косинус и приближенное значение трехгранного угла додекаэдра.