Текстовые задачи и моделирование « модель» и «моделирование» ( лат. modus и modulas ) – мера, образ. Функции моделирования : ПознавательнаяЭвристическаяИллюстративнаяСистематизирующаяРазвивающаяЭстетическая

Виды текстовых задач и способы моделирования. задачи на движение задачи на производительность труда задачи на движение задачи на производительность труда (способы моделирования: (способы моделирования: (способы моделирования: (способы моделирования: составление таблицы, система уравнений, составление таблицы, система уравнений, логические рассуждения составление таблицы, логические рассуждения составление таблицы, схематический рисунок, сетевые графы) схематический рисунок, сетевые графы) решение с помощью уравнения, решение с помощью уравнения, сетевые графы) сетевые графы) задачи на растворы и смеси комбинаторные задачи задачи на растворы и смеси комбинаторные задачи (способы моделирования: (способы моделирования: (способы моделирования: (способы моделирования: уравнения, дерево вариантов, уравнения, дерево вариантов, логические рассуждения) правило умножения) логические рассуждения) правило умножения)

Моделирование при решении задач на движение Из пункта А по реке отправляется плот. Через час из пункта А вниз по течению отправляется катер. Найдите время, требующееся катеру, чтобы догнать плот и возвратиться в пункт А, если скорость катера в стоячей воде вдвое больше скорости течения реки. Пусть неизвестное время – t. V – скорость движения плота. Так как скорости катера туда и обратно различаются в три раза, то соответствующие времена и одинаковые пути обратно пропорциональны – 1:3. Тогда t – расстояние, пройденное катером вниз по течению; t– расстояние, пройденное катером на обратном пути. V + 1/4 * t *V – расстояние, пройденное плотом из А до момента, когда его догнал катер. С другой стороны, это же расстояние, пройденное катером на обратном пути, равно 3/4 *t * V, так как его скорость движения против течения реки – V. Приравнивая два этих выражения между собой, получаем: Приравнивая два этих выражения между собой, получаем: V + 1/4 *t *V = 3/4 *t *V V + 1/4 *t *V = 3/4 *t *V Отсюда t=2 ч.

Моделирование при решении задач на производительность труда При одновременной работе двух насосов разной мощности бассейн наполняется водой за 8 часов. После ремонта насосов производительность первого из них увеличилась в 1,2раза, а второго – в 1,6 раза, и при одновременной работе обоих насосов бассейн стал заполняться за 6 часов. За какое время наполнится бассейн при работе только первого насоса после ремонта? Решение: В задачах на совместную работу весь объём выполняемой работы обычно принимается за единицу. первое условие дает соотношение: V 1 + V 2 = 1/8 V 1 + V 2 = 1/8 Второе условие приводит к уравнению: 1,2V 1 + 1,6V 2 =1/6 1,2V 1 + 1,6V 2 =1/6 Решим систему уравнений: v 1 + v 2 =1/8 1,6v 1 + 1, 6v 2 = 1/5 v 1 + v 2 =1/8 1,6v 1 + 1, 6v 2 = 1/5 1,2v 1 + 1,6v 2 = 1/6 1,2v 1 + 1,6v 2 = 1/6 0,4v 1 =1/5 -1/6 =1/30 v 1 =1/12(ч) v 1 =1/12(ч) V 1 - это часть полного объема бассейна, наполняемая за 1 час первым насосом. Тогда весь бассейн будет заполнен первым насосом за 12 часов. V 1 - это часть полного объема бассейна, наполняемая за 1 час первым насосом. Тогда весь бассейн будет заполнен первым насосом за 12 часов. Ответ: 12 часов.

Графы в решении задач на производительность труда Один штукатур может выполнить задание на 5 ч быстрее другого. Оба вместе они выполняют задание за 6 ч. За сколько часов каждый из них выполнит это задание? Введём следующие обозначения: выполненная работа – А, время работы – t, количество работы, выполняемой за единицу времени (производительность) –k. А = k* t, выполняемую работу, обозначим за 1. Рассмотрим в сетевом графе три процесса: работа каждого из двух штукатуров по отдельности и совместная работа. А = 1 k 1 = 1/х t1 = x ч t1 < t2 на 5 ч А = 1 k 1 = 1/х t1 = x ч t1 < t2 на 5 ч k 2 = 1/(х+5) t 2 = (x + 5) ч k 2 = 1/(х+5) t 2 = (x + 5) ч А = k*t А = k*t k c = k 1 + k 2 =1/6 tc = 6 ч k c = k 1 + k 2 =1/6 tc = 6 ч Работая по схеме t 1 – t 2 – k 1 – k 2 – k c = k 1 + k 2, получим уравнение: 1/х + 1/(х+5) = 1/6 -х2+7х+30=0 х 1, 2 ==10; -3 – не удовлетворяет х=0, -5 условию задачи х=0, -5 условию задачи Если первый штукатур будет работать один 10 часов, то тогда второй будет работать один 10+5=15 часов. Ответ: Первый штукатур будет работать один 10 часов, то второй будет работать один 15 часов.

Моделирование при решении задач на растворы и смеси Из бутыли, наполненной 12%-ным раствором соли, отлили 1 л и долили бутыль водой, затем отлили еще литр и опять долили водой. В бутыли оказался 3%-ный раствор соли. Какова вместимость бутыли? Решение с помощью выстраивания цепочки логических рассуждений: Пусть 1/х - часть целой бутыли, которую отливали каждый раз. Тогда после первой процедуры отливания – доливания новое процентное содержание соли – (1 – 1/х)12%; Тогда после первой процедуры отливания – доливания новое процентное содержание соли – (1 – 1/х)12%; После второй процедуры отливания – доливания процентное содержание соли – (1 – 1/х)(1 –1/х )12%, которое будет равно 3%; Откуда получаем: 12%(1 –1/х )2 = 3% (1 – 1/х)2 = 1/4 (1 – 1/х)2 = 1/4 1/х= 1/2, 1/х= 1/2, значит, каждый раз отливалась половина бутыли Следовательно, объем бутыли равен 2 л. Следовательно, объем бутыли равен 2 л. Ответ: 2 л. Ответ: 2 л.

Моделирование при решении комбинаторных задач Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде четырех вертикальных полос, одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный, зеленый. У каждой страны свой, отличный от других, флаг. Сколько всего стран могут использовать такую символику? Решение: составим дерево вариантов для одной ветви, где первая полоса – белая: Первая полоса Б С К З Вторая полоса С К З Третья полоса К З С З С К Четвертая полоса З К З С К С Ветви для остальных трёх первых полос будут аналогичными. Анализ первой ветви показывает, что с первой белой полосой можно составить 6 различных флагов. Следовательно по столько флагов будет с первой синей, красной и зелёной полосами. По правилу умножения получаем: 6*4=24 флага. Ответ: 24 флага.

Составление математической модели задачи – процесс сложный и в то же время увлекательный. Выбор способа моделирования зависит от уровня вашей компетенции, вида решаемой задачи и даже от вашей фантазии. Пробуйте, экспериментируйте и тогда любая задача будет вам по плечу.