Учебно- исследовательская работа «Многогранники» Подготовила ученица 6 класса Колос Инна Викторовна

Введение При исследовании многогранников перед собой мы поставили следующие задачи: Изучить разновидности многогранников. Научиться строить некоторые модели многогранников. Исследовать вращающие кольца тетраэдров.

Многогранники С древнейших времен наши представления о красоте связаны с симметрией. Наверное, этим объясняется интерес человека к многогранникам – удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей.

Многогранник Это пространственное тело с плоскими гранями и прямолинейными ребрами, устроенное так, чтобы всякое ребро соединяет две вершины и служит общей стороной двух граней

Простейшими примерами многогранников служат пирамиды и призмы У пятиугольной призмы: 10 вершин 15 ребер 7 граней У пятиугольной пирамиды: 6 вершин 10 ребер 6 граней

Антипризма (призмоид) Основания одинаковые, но расположены различно: вершины каждого из оснований лежат над сторонами другого, так что боковые ребра идут зигзагом У пятиугольной антипризмы: 10 вершин 20 ребер 12 граней

Для любого выпуклого многогранника справедливо соотношение Г+В-Р=2 Г- число граней, В- число вершин, Р- число ребер данного многогранника Теорема Эйлера

ОКТАЭДР В=6 Г=8 Р=12 В+Г-Р=2 КУБ В=8 Г=6 Р=12 В+Г-Р=2 ДОДЕКАЭДР В=20 Г=12 Р=30 В+Г-Р=2

Правильные многогранники Существует пять видов многогранников: {p,q}{p,q}V (в)E (р)F (г)Название {3,3}464 Правильный тетраэдр {4,3}8126Куб {3,4}6128Октаэдр {5,3}203012Додекаэдр {3,5}123020Икосаэдр

Правильные многогранники Правильный тетраэдр Куб Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр

Полуправильные многогранники (Архимедовы тела) усеченный тетраэдр усеченный октаэдр усеченный икосаэдр усеченный куб усеченный додекаэдр

Другие тела Архимеда имеют более сложные названия: кубооктаэдрикосододекаэдр усеченный кубооктаэдр усеченный икосододекаэдр ромбоикосододекаэдр ромбокубооктаэдр

Вращающие кольца тетраэдров Дж. М. Андреас и Р. М. Сталкер независимо друг от друга открыли семейство изгибаемых конечных многогранников с 2n вершинами, 6n ребрами и 4n треугольными гранями. Гранями служат грани n тетраэдров, соединенных между собой в циклическом порядке по определенным парам противоположных ребер каждого, так что получается фигура наподобие кольца.

Модель кольца из 6 тетраэдров При n=6 фигура ещё жесткая, поэтому полностью не выворачивается

Модель кольца из 8 тетраэдров

Заключение: Проводя исследования по данной теме, мы изучили исторические данные по многогранникам; При построении разверток многогранников мы научились работать с чертежными инструментами; Создавая модели призмы, антипризмы, пирамиды, а также вращающих колец из тетраэдров мы расширили свое пространственное воображение. В дальнейшей работе мы хотим научиться строить модели более сложных по виду многогранников.

Спасибо за внимание!