П И Ф А Г О Р Древнегреческий философ и математик, просла­вившийся своим учением о космической гармонии и переселении душ. Предание приписывает Пифагору доказательство теоремы, носящей его имя. Великий Пифагор родился в 576 году до нашей эры. Прожив 80 лет, умер в 496 году до нашей эры. Известен как древнегреческий философ и педагог. Был сыном торговца Мнесарха, который брал его часто в свои поездки, благодаря которым у мальчика развились любознательность и желание познать новое. Пифагор – это прозвище, данное ему за красноречие (Пифагор - значит убеждающий речью). Вся жизнь Пифагора – легенда, дошедшая до нашего времени и рассказавшая нам о талантливейшем человеке древнего мира.

История открытия теоремы Обычно открытие теоремы Пифагора приписывают древнегреческому философу и математику Пифагору (VI в. до н. э.). Но изучение вавилонских клинописных таблиц и древнекитайских рукописей (копий еще более древних манускриптов) показало, что это утверждение было известно задолго до Пифагора, возможно, за тысячелетия до него. Заслуга же Пифагора состояла в том, что он открыл доказательство этой теоремы Геометрия у индусов, как и у египтян и вавилонян, была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около XVIII века до н. э., также о ней было известно и в древнеиндийском геометрическо - теологическом трактатеVII-V вв. до н. э. «Сульва сутра» («Правила верёвки»). Но несмотря на все эти доказательства, имя Пифагора столь прочно сплавилось с теоремой Пифагора, что сейчас просто невозможно представить, что это словосочетание распадётся.

Да, путь познания не гладок. Но знайте вы со школьных лет: Загадок больше, чем разгадок И поискам предела нет!

А В С А В С Простейшее доказательство Достаточно взглянуть на мозаику из цветных треугольников и квадратов, чтобы убедиться в справедливости теоремы для треугольника АВС: квадрат, построенный на гипотенузе, содержит четыре треугольника, а на каждом катете построен квадрат, содержащий два треугольника.

С2С2 b2b2 a2a2 аа а а а а а а b b b b b b b b c c c c c c Равновеликость фигур На рисунке изображено два равных квадрата. Длина сторон каждого квадрата равна а+b. Каждый из квадратов разбит на части, состоящие из квадратов и прямоугольных треугольников. Ясно, что если от площади квадрата отнять учетверенную площадь прямоугольного треугольника с катетами а, b., то остаются равные площади, т.е. с 2 = а 2 + b 2.

1 2 A B C D E F P N M Q На рисунке изображена обычная Пифагорова фигура прямоугольный треугольник АВС с построенными на его сторонах квадратами. К этой фигуре присоединены треугольники 1 и 2, равные исходному прямоугольному треугольнику. Справедливость теоремы Пифагора вытекает из равновеликости шестиугольников AEDFPB и ACBNMQ. Здесь прямая ЕР делит шестиугольник AEDFPB на два равновеликих четырехугольника, прямая СМ делит шестиугольник ACBNMQ на два равных четырехугольника; поворот плоскости на 90 0 вокруг центра А отображает четырехугольник AEPB на четырехугольник ACMQ. Это доказательство впервые дал Леонардо да Винчи.

А В С D F E a b c Оригинальное доказательство, предложенное Гофманом. Здесь треугольник АВС с прямым углом С; отрезок BF перпендикулярен СВ и равен ему, отрезок ВЕ перпендикулярен АВ и равен ему; отрезок АD перпендикулярен АС и равен ему; точки F, С, D принадлежат одной прямой; четырехугольники АDFВ и АСВЕ равновелики, так как АВF = ЕСВ; треугольники АDF и АСЕ равновелики; отнимем от обоих равновеликих четырехугольников общий для ник треугольник АВС, получим 1/2а 2 + 1/2b 2 = 1/2с 2

с с с с ½ab (b-a) 2 A B C b a Этот рисунок иллюстрирует доказательство великого индийского математика Бхаскари. Рисунок сопровождало лишь одно слово СМОТРИ! с 2 = 4(½аb) + (b-a) 2. После раскрытия скобок и мы получим знаменитую формулу Пифагора.

А С В h M b1b1 a1a1 a b Приведем в современном изложении одно из доказательств, принадлежащих Пифагору. На рисунке треугольник АВС – прямоугольный, С – прямой угол, (СМ АВ) b 1 - проекция катета b на гипотенузу, a 1 – проекция катета на гипотенузу, h – высота треугольника, проведенная к гипотенузе. Из того что треугольник АВС подобен АСМ, следует b 2 = сb 1 ; из того что АВС подобен ВСМ следует а 2 = са 1. Складывая почленно равенства, получим а 2 + b 2 = сb 1 + са 1 = с(b 1 + а 1 ) = с 2. Если Пифагор действительно предложил такое доказательство, то он был знаком и с целым рядом важных геометрических теорем, которые современные историки математики обычно приписывают Евклиду.

А В С а с b Доказательство Мёльманна Площадь данного прямоугольного треугольника, с одной стороны, равна 0,5аb, с другой 0,5рr, где р – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной в него окружности (r = 0,5( а + b – с)). Имеем: 0,5аb = 0,5рr, и 0,5аb = 0,5( а + b + с) × 0,5( а + b – с), отсюда с 2 = а 2 + b 2.

а а с с b b Доказательство Гарфилда На рисунке три прямоугольных треугольника составляют трапецию. Поэтому площадь этой фигуры можно находить по формуле площади прямоугольной трапеции, либо как сумма площадей трех треугольников. В первом случае эта площадь равна 0,5(а+b) × (а+b), во втором - 0,5аb + 0,5аb + 0,5с 2. Тогда: 0,5(а+b) × (а+b) = 0,5аb + 0,5аb + 0,5с 2, и получим с 2 = а 2 + b 2.

с2с2 а b а2а2 b2b2 На древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами а и b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной а + b, а внутренний - квадрат со стороной с, построенной на гипотенузе. Если квадрат со стороной с вырезать и оставшиеся 4 синих треугольника уложить в два прямоугольника, то ясно, что образовавшаяся пустота, с одной стороны равна с 2, а с другой а 2 + b 2, т.е. с 2 = а 2 + b 2. Теорема доказана. b

Чертёж воспроизведен из трактата «Чжоу –би…». Здесь теорема Пифагора рассмотрена для египетского треугольника с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 единиц измерения. Квадрат на гипотенузе содержит 25 клеток, а вписанный в него квадрат на большом катете – 16. Ясно что оставшаяся часть содержит 9 клеток. Это и будет квадрат на меньшем катете.

с с с с с с b b а - b b2b2 Математики Древней Индии заметили, что для доказательства теоремы Пифагора достаточно использовать внутреннюю часть древнекитайского чертежа. В трактате древнейшего индийского математика 12 века Бхаскары, помещен чертеж с характерным для индийских доказательств словом: «Смотри!». Как видим, прямоугольные треугольники уложены здесь гипотенузой наружу и квадрат с 2 перекладывается в «кресло невесты» а 2 + b 2.