Пифагор – самая загадочная личность, человек-символ, философ, пророк. Пифагор – едва ли не самый популярный ученый за всю историю человечества. Ни одно. - презентация

1

2 Пифагор – самая загадочная личность, человек-символ, философ, пророк. Пифагор – едва ли не самый популярный ученый за всю историю человечества. Ни одно имя ученого не повторяется так часто.

3 Великий ученый Пифагор родился около 570 г. до н.э. Отцом Пифагора был Мнесарх, резчик по драгоценным камням. Когда отец Пифагора был в Дельфах по своим торговым делам, он и его жена Партенис решили спросить у Дельфийского оракула, будет ли Судьба благоприятствовать им во время обратного путешествия в Сирию. Пифия (прорицательница Аполлона), сидя на золотом триоде над сияющим отверстием оракула, не ответила на их вопрос, но сказала Мнесарху, что его жена носит в себе дитя и что у них родится сын, который превзойдет всех людей в красоте и мудрости и который много потрудится в жизни на благо человечества. По многим античным свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и свои незаурядные способности.

4 Е с л и д а н н а м т р е у г о л ь н и к И п р и т о м с п р я м ы м у г л о м, Т о к в а д р а т г и п о т е н у з ы М ы в с е г д а л е г к о н а й д е м : К а т е т ы в к в а д р а т в о з в о д и м, С у м м у с т е п е н е й н а х о д и м И т а к и м п р о с т ы м п у т е м К р е з у л ь т а т у м ы п р и д е м.

5 Теорема Пифагора – важнейшее утверждение геометрии. Ее открытие приписывают древнегреческому философу и математику Пифагору Самосскому (VI в. до н.э.). Но изучение вавилонских клинописных таблиц и древних китайских рукописей (копий ещё более древних манускриптов) показало, что знаменитая теорема была известна задолго до Пифагора, возможно, за несколько тысячелетий до него. Заслуга же Пифагора состояла в том, что учёный первым открыл доказательство этой теоремы. Открытие теоремы Пифагором окружено множеством красивых легенд.

6 ТЕОРЕМА ПИФАГОРА И СПОСОБЫ ЕЁ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

7 Различные способы доказательства теоремы Пифагора На рисунке дан простейший равнобедренный прямоугольный треугольник АВС (закрашен серым цветом, АВ и ВС -катеты). Если квадраты отложить в общую часть полуплоскостей с границами АВ и ВС, то сумма числовых значений площадей квадратов, построенных на катетах, равна 4 S ABC (квадраты совпали). Но и площадь квадрата, построенного на гипотенузе, тоже равна 4 S ABC Если же квадраты отложить на сторонах во внешнюю область, то и в этом случае 2+2=4. Теорема доказана. Простейшее доказательство B C A

8 Доказательство Эйнштейна Точки E, C и F лежат на одной прямой; это следует из несложных расчётов градусной меры угла ECF (он развёрнутый). CD проводим перпендикулярно EF. Продолжены вверх левая и правая стороны квадрата, построенного на гипотенузе, до пересечения с EF; продолжена сторона ЕА до пересечения с CD. Соответственно равные треугольники одинаково пронумерованы.

9 Доказательство Евклида В самом деле, треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними: FB = AB, BC = BD, а углы между ними равны как тупые углы со взаимно перпендикулярными сторонами. S ABD = 0,5 S BJLD, так как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично S FBC=0,5 S ABFH (BF-общее основание, АВ-общая высота). Отсюда, учитывая, что S ABD= S FBC, имеем S BJLD= S ABFH. Аналогично, если вы проведёте отрезок АЕ используете равенство треугольников ВСК и АСЕ, то докажете, что S JCEL= S ACKG. Итак, S ABFH+ S ACKG= S BJLD+ S JCEL= S BCED, что и требовалось доказать. Это доказательство было приведено Евклидом в его "Началах". По свидетельству Прокла (Византия), оно придумано самим Евклидом. Доказательство Евклида приведено в предложении 47 первой книги "Начал". На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты и доказывается, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник JCEL - квадрату АGКС. Тогда сумма площадей квадратов на катетах будет равна площади квадрата на гипотенузе.

10 рис. 2 Древнекитайское доказательство. на древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами а, b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной а+b, а внутренний квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе (б). Если квадрат со стороной с вырезать и оставшиеся 4 затушеванных треугольника уложить в два прямоугольника (в), то ясно, что образовавшаяся пустота, с одной стороны, равна с 2, а с другой а 2 +Ь 2, т.е. с 2 =а 2 +Ь 2. Теорема доказана. Заметим, что при таком доказательстве построения внутри квадрата на гипотенузе, которые мы видим на древнекитайском чертеже (а), не используются. По-видимому, древнекитай­ские математики имели другое доказательство. Именно если в квадрате со стороной с два заштрихованных треугольника (б) отрезать и приложить гипотенузами к двум другим гипотенузам (г), то легко обнаружить, что полученная фигура, которую иногда называют «креслом невесты», состоит из двух квадратов со сторонами а и b, т.е. с 2 =а 2 +Ь 2.

11 Рис. 4 Древнеиндийское доказательство. Математики Древней Индии заметили, что для доказательства теоремы Пифагора достаточно использовать внутреннюю часть древнекитайского чертежа. В на­писанном на пальмовых листьях трактате «Сиддханта широмани» («Венец знания») крупнейшего индийского математика XII в. Бхаскары помещен чертеж (а) с характерным для индийских доказательств словом «смотри!». Как видим, прямоугольные треугольники уложены здесь гипотенузой наружу и квадрат с 2 перекладывается в «кресло невесты» а 2 -b 2 (б). Заметим, что частные случаи теоремы Пифагора (например, построение квадрата, площадь которого вдвое больше площади данного квадрата) встречаются в древнеиндийском трактате «Сульва сутра» (VII V вв. до н.э.).

12 Векторное доказательство. Пусть АВС - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С, построенный на векторах. Тогда справедливо векторное равенство: b+c=a откуда имеем, что c = a – b. Возводя обе части в квадрат, получим c²=a²+b²- 2ab. Так как a перпендикулярно b, то ab=0, откуда c²=a²+b². Нами снова доказана теорема Пифагора.

13 Область применения. Теорема Пифагора всегда имела широкое применение при решении самых разнообразных геометрических задач.

14 А сколько существует доказательств теоремы Пифагора?

15 Проект выполнили ученики 8А класса Лихачев Виктор и Межибовский Илья