Введение в математическую логику и теорию алгоритмов Алексей Львович Семенов

План Место математической логики и теории алгоритмов в современном мире Анализ математической деятельности средствами математики. Программа Гильберта Базовый инструмент современной математики – теория множеств Примеры аксиом теории множеств

Математическое описание некоторых видов человеческой коммуникации и деятельности: Доказательство теорем и определение математических понятий Описание отношений между математическими объектами Получение следствий из экспериментально установленных утверждений, из гипотез и т. п. Проектирование устройств (механических, электронных и т. д.) с заданными свойствами и функциями. Создание и выполнение формальных предписаний (описание и применение алгоритмов и программ) Установление соответствия между описанием требуемого результата и алгоритмом, предназначенным для достижения этого результата (доказательство правильности) Математическая логика и теория алгоритмов дают (математические, точные) критерии правильности 3

МЛиТА: Результаты, относящиеся к: Множествам и отношениям, которые можно описать на том или ином языке Множествам доказуемых формул Множествам истинных формул (имеется фундаментальная разница с п.2) Множествам математических структур, в которых истинны формулы из заданного множества Классам функций, которые вычисляются алгоритмами Существованию алгоритма, выясняющего истинность или доказуемость формул Сложности вычислений Сложности объектов и т. д

Развитие цивилизации Обработка материи Получение и использование энергии Переработка информации (XX век) - Становится основной деятельностью - Результаты, понятия, построения МЛиТА – фундамент

История вопросы: Что значит, что математическое утверждение доказано? Что значит определить математическое отношение? Что значит, что математическая функция вычислима? Давид Гильберт ( ) Второй международный математический конгресс, Париж, Проблемы Гильберта I, II, X проблемы относятся к математической логике и теории алгоритмов Из семи Проблем тысячелетия первая также относится к нашему предмету (ее не было среди проблем Гильберта)

Первые ответы: Конец XIX в.: Готлоб Фреге ( )., Давид Гильберт и др.: Математическое доказательство – текст (цепочка формул), построенный по заданным, математически определяемым правилам Георг Кантор ( ): Первичная система понятий математики - теория множеств Начало XX в. Эрнст Цермело ( ) аксиоматическая теория множеств (1908) В курсе будет дано определение математического доказательства

Организационные замечания Н. К. Верещагин, А. Шень, Лекции по математической логике и теории алгоритмов, изд. МЦНМО (mccme.ru) И. А. Лавров, Л. Л. Максимова, Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов Математическая деятельность Консультации Экзамен Просеминар

Задания множеств: {2, 14, 5.4} {x| x – действительное число и sin(x)>0}. принадлежность элемента множеству, пустое множество Ø, включение множеств (нестрогое, допускающее совпадение), объединение, пересечение, разность \,. Упорядоченная пара : = ( x = x и y = y) Произведение X X Y – множество всех упорядоченных пар, где u X и v Y. n-ая степень X n множества X. X 1 – это X. Отношение между множествами X, Y – любое подмножество их произведения X X Y. n -местное отношение на множестве X– любое подмножество X n. Построение математики. Неформальная теория множеств

Отношение f между X и Y называется функцией из X в Y если из совпадения первых компонентов f вытекает совпадение вторых. Обозначения f (x)=y, f: x y Областью определения функции называется множество первых ее компонентов. Если область определения совпадает с X, то функция отображает X в Y; f : X Y. X Y - множество всех функций, отображающих Y в X. биекция между X и Y (из X в Y), изоморфизм X и Y, если: f : X Y из совпадения вторых компонентов элементов f вытекает совпадение первых, вторые элементы f образуют все множество Y. Изоморфные множества - равномощные.

Множество называется счетным, если оно равномощно натуральному ряду. Конечные множества можно сравнивать по величине. Вложение – изоморфизм подмножеству. Как быть с бесконечными? Задача. Доказать, что всякое подмножество натурального ряда равномощно или его начальному отрезку, или всему натуральному ряду. Часть может быть изоморфна целому, Одно из первых открытий теории множеств. Галилео Галилей ( )

Галилей Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, относящихся к механике и местному движению, синьора Галилео Галилея Линчео, философа и первого математика светлейшего великого герцога тосканского

Сальвиати. …количество всех чисел вместе квадратов и не квадратов больше, нежели одних только квадратов; не так ли? Симпличио. Ничего не могу возразить против этого. Сальвиати. квадратов столько же, сколько существует корней, так как каждый квадрат имеет свой корень и каждый корень свой квадрат; ни один квадрат не может иметь более одного корня и ни один корень более одного квадрата… Я не вижу возможности никакого другого решения, как признать, что свойства равенства, а также большей и меньшей величины, не имеют места там, где дело идет о бесконечности, и применимы только к конечным количествам. Поэтому, когда синьор Симпличио предлагает мне неравные линии и спрашивает меня, как может быть, чтобы в большей из них не содержалось большего количества точек, чем в меньшей, то я отвечаю ему, что их там не больше, не меньше и не одинаковое количество, но бесконечное множество в каждой.

Теорема Кантора – Бернштейна. Пусть существует биекция между множеством A и подмножеством множества B, а также биекция между множеством B и подмножеством множества A. Тогда множества A и B – равномощны. Задача. Доказать Теорему Кантора – Бернштейна. Задача. Бывают ли разные бесконечности? (Галилей) Задача. Можно ли сравнить любые множества по мощности, то есть верно ли, что для любых A и B, или A равномощно подмножеству B, или B равномощно подмножеству A?

Логика. Логические константы B={0,1} Свойства – функции, принимающие только значения 0 и 1. Всякое свойство задает отношение – множество элементов, на которых ее значение = 1. Любая функция f : X B называется характеристической (на X) B X Задача. Построить изоморфизм между множеством характеристических функций на X и множеством подмножеств множества X.

Задача. Доказать, что множество подмножеств любого множества ему не изоморфно. Идея решения [Диагональ Кантора]. Для счетного случая

Аргумент функции …… …………………………………………………………………………… Функция, которой нет в таблице – это 1- t(i,i), то есть не t(i,i), нули заменили на единицы, единицы – на нули. Диагональ несчетности

Программа Гильберта построения математики и математического исследования математической деятельности Математика представляется как система аксиом – утверждений, которые мы принимаем за истинные и правил доказательства – получения новых утверждений. Практика математической деятельности должна убеждать нас в том, что, выбранная система позволяет строить все нужные доказательства. В идеале всякое математическое утверждение можно доказать или опровергнуть (полнота). Некоторые математические доказательства являются «особенно надежными и убедительными» (например, арифметические вычисления). Используя только их, можно убедиться в том, что выбранная система не позволяет получить противоречий. (непротиворечивость)

Полнота – желательна Гильберт: «Это убеждение в разрешимости каждой математической проблемы является для нас большим подспорьем в работе; мы слышим внутри себя постоянный призыв: вот проблема, ищи решение. Ты можешь найти его с помощью чистого мышления; ибо в математике не существует Ignorabimus!» Непротиворечивость - обязательна Противоречие – нельзя «локализовать» в обычных системах рассуждения Могло бы оказаться, что и полноту математики можно также доказать с помощью простых, понятных и убедительных рассуждений. Полнота и непротиворечивость

Программа Гильберта 1. Успешно реализована Аксиоматическая теория множеств является основанием современной математики Н. Бурбаки – середина XX в. (1930-е, в основном 1950 – 60-е гг.) 2. Провалилась Математика – не полна Непротиворечивость невозможно установить Курт Гедель ( – ) 1930-е гг.

Теория множеств. Элементы аксиоматического построения (неформальное введение) Логические символы и их смысл (семантика) Логические константы: символы И (истина), Л (ложь), или символы 0, 1. Множество из двух символов 0 и 1 будем обозначать B. Логические операции: (не, отрицание), (и, конъюнкция), (или, дизъюнкция), (следует, импликация), (эквивалентность), применяются к константам 0 (Л) и 1 (И) Кванторы x (существует x ), y (для любого y)

Таблица логических операций Кванторы: многоместные (в том числе – «бесконечноместные») конъюнкция и дизъюнкция AB AA B

Аксиомы теории множеств Существование множеств x y (­y x) [Аксиома пустого множества.] u v s w (w s (w = u w = v)) [Аксиома пары] Пример: {Ø} – непустое множество Существование объединения множества {{1,2,4},{4,5},{8,7, {9}}} = {1,2,4,5,8,7,{9}}

Один из способов Построение каждого отдельного числа: 0 – это Ø 1 – это {0} 2 – это {0,1}= {0,{0}} ……Операция S (x) = x {x} Существование множества всех натуральных чисел – аксиома Задача. Написать аксиому существования натуральных чисел Построение натуральных чисел

Какие еще аксиомы нужны? Существование множества всех подмножеств данного множества u s v( w(w v w u) v s) [Аксиома степени] Что нужно для существования множества действительных чисел? Что нужно для доказательства свойств («аксиом») действительных чисел?