Методика решений заданий и оформление второй части

Найти все значения k, при которых прямая y = kx пересекает в одной точке ломаную, заданную условием: Х у40Х02у22 1) Построим ломаную. y = - 2x, у = 2, у = 3 х – 4Х02у Выделим указанные участки этих прямых. 2) Прямая y = kx проходит через начало координат. Функции и графики

Найти все значения k, при которых прямая y = kx пересекает в одной точке ломаную, заданную условием. Прямая y = kx проходит через начало координат. Рассмотрим различные случаи расположения этих графиков. Ж м Прямая у = х пересекает ломаную в одной точке (2;2). При k = - 2 – прямая и ломаная имеют бесконечное множество общих точек. Если k 3 и k < - 2, то прямая у = kx пересекает ломаную в одной точке. Остальные значения k не удовлетворяют условию. Ответ: Или k < -2, k = 1, k 3. Функции и графики

Л.В. Кузнецова и др При каких значениях p вершины парабол y = x 2 – 2px – 1 и y = - x 2 + 4px + p расположены по разные стороны от оси Ох? Найдем координаты вершин парабол. 1)y = x 2 – 2px – 1: х в = p; y в = - 1 – р 2. 2)y = - x 2 + 4px + p: х в = 2р; у в = 4р 2 + р. Т.к. вершины расположены по разные стороны от оси Ох, то ординаты вершин должны иметь разные знаки. - р 2 – 1 0 p (4p +1) > 0 p - ¼ Ответ: р 0. или Функции и графики

Л.В. Кузнецова и др При каких значениях а один корень квадратного уравнения x 2 – (a + 1)x + 2a 2 = 0 больше ½, а другой меньше ½? Введем функцию f(x) = x 2 – (a + 1)x + 2a 2. Графиком этой функции является парабола ветви которой направлены вверх. Нули функции должны быть расположены по разные стороны от числа ½. х ½ y = f(x) Значит f(½) < 0. 2а 2 - ½ (а + 1) + ¼ < 0 2a 2 - ½ a - ¼ < 0 8a 2 – 2a – 1

Л.В. Кузнецова и др При каких значениях р прямая у = 0,5х + р образует с осями координат треугольник площадь которого равна 81? Прямая у = 0,5х + р параллельна прямой у = 0,5х и пересекает оси координат в точках (0; р) и (- 2р; 0) А В О ΔАОВ – прямоугольный. Ответ: р = - 9; р = 9. Функции и графики

Задачи на « концентрацию», « смеси и сплавы». - масса смеси ( сплава); - концентрация ( доля чистого вещества в смеси); - количество чистого вещества в смеси ( сплаве). Масса смеси х концентрация = количество вещества

Задачи на « концентрацию», « смеси и сплавы» ). В лаборатории имеется 2 кг раствора кислоты одной концентрации и 6 кг этой же кислоты другой концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, концентрация которого 36%. Если же смешать равные количества этих растворов, то получится раствор, содержащий 32 % кислоты. Какова концентрация каждого из двух имеющихся растворов? ). В лаборатории имеется 2 кг раствора кислоты одной концентрации и 6 кг этой же кислоты другой концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, концентрация которого 36%. Если же смешать равные количества этих растворов, то получится раствор, содержащий 32 % кислоты. Какова концентрация каждого из двух имеющихся растворов? раствора Масса раствора, кг Концентрация кислоты Количеств о кислоты, кг 120,01х0,02х 260,01у0,06у 380,368*0,36 Решение: Пусть концентрация первого раствора – х%, а концентрация второго раствора – у%, тогда: 0,02х + 0,06у = 2,88

Задачи на « концентрацию», « смеси и сплавы». раствора Масса раствора, кг Концентрация кислоты Количеств о кислоты, кг 110,01х 210,01у 320,320,64 0,01х + 0,01у = 0,64 Примем за 1 одинаковую массу растворов, тогда: Решим систему уравнений: Ответ: Концентрация первого раствора – 24%, концентрация второго раствора – 40%. концентрация второго раствора – 40%.

Задачи на « концентрацию», « смеси и сплавы» ). В свежих яблоках 80% воды, а сушеных – 20%. На сколько процентов уменьшается масса яблок при сушке? ). В свежих яблоках 80% воды, а сушеных – 20%. На сколько процентов уменьшается масса яблок при сушке? Масса яблок, кг Концентрация воды Количество воды, кг свежие10,8 сушеные1 - х0,20,2(1 – х) Решение: х = 0,8 – 0,2(1 – х) Примем за 1 массу свежих яблок и пусть масса яблок при сушке уменьшится на х кг, тогда имеем: При сушке потеря массы яблок происходит за счет потери массы воды. Имеем уравнение: х = 0,6 + 0,2х 0,8х = 0,6 х = 0,75. Яблоки при сушке теряют 0,75 от своей массы, т. е. 75%. Ответ: 75%.

Задачи на « концентрацию», « смеси и сплавы» ). При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20%, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 50%, получили раствор, содержащий 30% кислоты. В каком отношении были взяты 1 и 2 растворы? ). При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20%, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 50%, получили раствор, содержащий 30% кислоты. В каком отношении были взяты 1 и 2 растворы? раствора Масса раствора, кг Концентрация кислоты Количество кислоты, кг 1х0, 20,2х 2у0, 50,5у 3х + у0,30,3(х + у) Решение: Пусть масса первого раствора – х, а масса второго раствора – у, тогда: 0,2х + 0,5у = 0,3(х + у) Количество кислоты в смеси складывается из количества кислоты первого и второго растворов, поэтому имеем уравнение: 2х + 5у = 3х + 3у, 2у = х, х : у = 2 : 1 Ответ: первый и второй растворы взяты в отношении 2 : 1.

Прогрессии Кузнецова Л.В (2). Решите уравнение: 1. Рассмотрим последовательность (а п ): а 3 - а 2 = а 2 - а 1 = - 1/х 2 = d ( а п ) – арифметическая прогрессия по определению. Х = 15. Ответ: х = 15.

Прогрессии Кузнецова Л.В (1). Найти сумму первых 20 совпадающих членов двух арифметических прогрессий: 3, 8, 13, … и 4, 11, 18,.. d 1 = 5 d 2 =7. Решение 1.Пусть (а п ) –последовательность совпадающих членов арифметических прогрессий, тогда она тоже является арифметической прогрессией с разностью d. НОК (d 1, d 2 ) = 35 = d. Первый совпадающий член равен 18, n =20, то Решение 2. Рассмотрим прогрессии: 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48, 53,… 4, 11, 18, 25, 32, 39, 46, 53… Далее решение 1. Возможна вычислительная ошибка!

Наименьшее и наибольшее значение Кузнецова Л.В Докажите, что уравнение не имеет корней. 1. Рассмотрим функции: а) - которая принимает наименьшее значение равное 1 при х = -1 б) - которая принимает наименьшее значение равное 1, при х = Произведение двух множителей равно 1 тогда и только т огда, к огда каждый из них равен 1, либо множители принимают взаимно – обратные значения. 3. Т.к. наименьшее значение равно 1, взаимно – обратными они быть не могут. 4. Каждый из них равен 1 при различных значениях х, т.е. одновременно они не могут быть равны 1. Ответ: Уравнение не имеет корней.

Наименьшее и наибольшее значение. При каких значениях х и у оно достигается. Решение. Дробь принимает наибольшее значение, когда знаменатель принимает наименьшее значение. Наименьшее значение выражения равно 3, при = 0. Т.к., то выполняется условие: Наибольшее значение выражения равно 4, при х = 1, у = 4. Найдите наибольшее значение выражения