Метод математической индукции «Метод есть идея, примененная дважды» Д.Пойа

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,... Натуральные числа

Из квадрата клетчатой бумаги размером 16х16 вырезали одну клетку. Докажите, что полученную фигуру можно разрезать на «уголки» из трех клеток.

1х16

2х2 4х4

8х8

Можно ли обобщить? 2х2 4х4 8х8... Бежит «волна доказательств» 32х32... Если доказано, что квадрат без клетки можно разрезать на уголки, то верно и то, что квадрат без клетки можно разрезать на уголки, Теорема

Цепочка теорем В одном из них вырезанная клетка, его можно разрезать на уголки по условию. Из трех других удалим клетки, примыкающие к выброшенной. Они составят уголок. Теперь их можно разрезать на уголки по условию. Квадрат разрежем на квадраты Доказательство общей теоремы

МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ 1.Рассматриваем задачу не как один единичный факт, а как бесконечный ряд однотипных утверждений. 2.Доказываем первое из них. Оно называется базой индукции. 3.Выводим из первого утверждения второе, из второго третье и так до бесконечности. Это индукционный переход, а наша теорема - его свёрнутая запись. Поскольку от базы индукции можно дойти до любого из утверждений, то оно оказывается верным.

Аналогии в жизни:

Докажите, что число (243 единицы) делится на 243.

План решения задач методом математической индукции. 1.Найти в условии ряд однотипных утверждений. А)развернутый Б) свернутый в выражение с переменной. Если переменная замаскирована, то её нужно выделить. Если цепочки нет, то её нужно вырастить. 2.Докажите первое утверждение – базу индукции. 3.Докажите, что для любого натурального n из n-го утверждения следует (n+1)-е – индукционный переход. 4.Если база и переход доказаны, то доказаны и все утверждения ряда.