План лекции 1)Интегрирование иррациональных функций 2)Метод интегрирования по частям 3)Интегрирование тригонометрических функций.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
Интегрирование тригонометрических функций Интегралы вида Находятся с помощью формул:
Advertisements

Неопределенный интеграл.. §1 Первообразная функция. Понятие неопределенного интеграла. Определение: Первообразной функцией для данной функции f(x) на.
Основной прием интегрирования иррациональностей Типы интегралов содержащих иррациональность Интегралы, содержащие дробно-линейную функцию Пример Интегралы,
Систематическое интегрирование. Содержание 1.Некоторые сведения о многочленах 2. Интегрирование дробно- рациональных функций. 3. Интегрирование тригонометрических.
§8 Интегрирование иррациональных и тригонометрических выражений 8.1 Интегрирование иррациональных выражений Основным методом вычисления неопределенных.
Неопределенный интеграл Лекция7Элементы интегрального исчисления 1.Первообразная и неопределенный интеграл 2.Основные приемы вычисления неопределенных.
Неопределенный интеграл Лекция7. Элементы интегрального исчисления 1.Первообразная и неопределенный интеграл 2.Основные приемы вычисления неопределенных.
Универсальная тригонометрическая подстановка Пример Другие подстановки, упрощающие нахождение интеграла Пример Интегрирование степеней тригонометрических.
Интегрирование дробно-рациональных функций Дробно-рациональной функцией (или рациональной дробью)называется функция,равная отношению двух многочленов,т.е.,где.
Неопределённый интеграл.. Метод подстановки (замены переменной) Найти пусть, тогда Функцию следует выбирать так, чтобы можно было вычислить неопределенный.
§7 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 7.1 Первообразная и неопределенный интеграл Основная задача интегрального исчисления.
Интегральное исчисление функций одной переменной..
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ, ЕГО СВОЙСТВА И ВЫЧИСЛЕНИЕ.
1 Неопределённый интеграл 1 Неопределённый интеграл Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) в промежутке a < x < b, если в любой точке.
Неопределённый интеграл.. Первообразная. Задача дифференциального исчисления: по данной функции найти её производную. Задача интегрального исчисления:
Площадь криволинейной трапеции
Системы двух уравнений с двумя переменными Каждая пара значений переменных, образующая в верное равенство каждое уравнение системы, называется решением.
Багирова Севиндж Музаффар кызы Открытый урок на тему : Обыкновенные дифференциальные уравнения. ОДУ первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.
Предел функции Лекция 1. Ведение в Математический анализ – часть математики, в которой функции и их обобщения изучаются с помощью пределов. § Понятие.
Определение: Функция F(х) называется первообразной функции f(х) на промежутке Х, если Теорема: Если функция f(х) непрерывна при,то для f(х) существует.
Транксрипт:

План лекции 1)Интегрирование иррациональных функций 2)Метод интегрирования по частям 3)Интегрирование тригонометрических функций

Интегрирование иррациональных функций Квадратичные иррациональности Рассмотрим некоторые типы интегралов,содержащих иррациональные функции. Интегралы типа Называют неопределенными интегралами от квадратичных иррациональностей.Их можно найти следующим образом: под радикалом выделить полный квадрат: и сделать подстановку

При этом первые два интеграла приводятся к табличным, а третий – к сумме двух табличных интегралов. Пример1. Найти интеграл: Решение: Так как

Пример 2.Найти интеграл : Решение: Выделим полный квадрат : Сделаем подстановку: Тогда:

Метод интегрирования по частям Пусть - функции имеющие непрерывные производные.Тогда Интегрируя это равенство, получим : Полученная формула называется формулой интегрирования по частям.Она дает возможность свести вычисление интеграла к вычислению интеграла, который может оказаться существенно более простым,чем исходный. Интегрирование по частям состоит в том,что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей Затем,после нахождения,используется формула интегрирования по частям. Иногда эту формулу приходится использовать несколько раз.

Укажем некоторые типы интегралов,которые удобно вычислять методом интегрирования по частям. 1.Интегралы вида где Удобно положить, а за обозначить все остальные сомножители.

2.Интегралы вида Удобно положить а за обозначить остальные сомножители.

3.Интегралы вида Где - числа. За можно принять функцию Пример 1. Найти Решение:Пусть (можно положить С=0) Следовательно по формуле интегрирования почастям:

Пример 2. Найти Решение: Пусть Поэтому

Пример 3. Найти Решение: Пусть.Поэтому Для вычисления интеграла снова применим метод интегрирования по частям : Значит, Поэтому

Пример. Найти Решение:Пусть. Поэтому

Интегрирование тригонометрических функций Интегралы вида Находятся с помощью формул:

Пример 1. Найти интеграл: Решение:Воспользуемся формулой Получим: Тогда

Пример2. Найти интеграл: Решение: Воспользуемся формулой: Получим: Тогда

Пример3. Найти интеграл: Решение: Воспользуемся формулой: Получим: Тогда:

Интегралы типа Для нахождения таких интегралов используются следующие приемы: 1)Подстановка если целое положительное нечетное число; 2)Подстановка если целое положительное нечетное число; 3)Формулы понижения порядка: Если целые неотрицательные четные числа; 4)Подстановка если есть четное отрицательное целое число.

Пример1. Найти интеграл: Решение: Применим подстановку Т.к.n=5 (1 cлучай). Тогда Получим:

Пример 2.Найти интеграл: Решение: воспользуемся формулой:

Пример 3. Найти интеграл: Решение:Здесь (4 случай) Обозначим Тогда Получим:

Универсальная тригонометрическая подстановка Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от тригонометрическихфункций.Функцию с переменными и,над которыми выполняются рациональные действия (сложения,вычитание,умножение иделение) Принято обозначать знак рациональной функции. Вычисление неопределённых интегралов типа Сводится к вычислению интегралов от рациональной функции подстановкой,которая называется универсальной

Действительно, Поэтому Где рациональная функция от.Обычно этот способ весьма громоздкий,зато всегда приводит к результату.

На практике применяют и другие,более простые подстановки, в зависимости от свойств ( и вида) подынтегральной функции.В частности,удобны следующие правила: 1)Если функция нечётна относительно Т.е,то подстановка рационализирует интеграл; 2)Если функция нечётна относительно Т.е.,то делается подстановка 3)Если функция четна относительно,то интеграл рационализируется подстановкой.Такая же подстановка применяется,если интеграл имеет вид

Пример: Найти интеграл Решение: Сделаем универсальную подстановку Тогда Следовательно