Диофант и неопределенные уравнения

При выполнении работы были поставлены следующие задачи: При выполнении работы были поставлены следующие задачи: расширить свой кругозор знаний по математике; расширить свой кругозор знаний по математике; рассмотреть некоторые методы решения неопределенных уравнений; рассмотреть некоторые методы решения неопределенных уравнений; показать практическое применение неопределенных уравнений. показать практическое применение неопределенных уравнений.

Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей – и камень Мудрым искусством его скажет усопшего век. Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком И половину шестой встретил с пушком на щеках. Только минула седьмая, с подругою он обручился. С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец. Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил. прожил. Отнят он был у отца ранней могилой своей. Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе. Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Пусть Диофант прожил x лет. Составим и решим уравнение: Пусть Диофант прожил x лет. Составим и решим уравнение: Умножим уравнение на 84, чтобы избавиться от дробей:

Неопределенные уравнения первой степени 1.) ax + by = с 2.) ax + by + cz = d

Метод перебора Метод «спуска» Неопределенные уравнения первой степени вида ax + by = c

Метод перебора Рассмотрим и решим уравнение: 4,5х+6у=57 Нужно найти все натуральные значения переменных х и у Решение. Помножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробных чисел, получим: 9х+12у=114 Выразим у через х: У= 114 – 9х Далее воспользуемся методом перебора (учитывая, что х и у - натуральные):

Таким образом, подставляя вместо х числа, удовлетворяющие равенству, получили некоторые значения у. х у 8 2

Метод спуска 1) Если свободный член с неопределенного уравнения ax + by = c не делится на НОД (a, b), то уравнение не имеет целых корней. 2) Если коэффициенты a, b являются взаимно простыми числами, то уравнение имеет, по крайней мере, одно целое решение.

Рассмотрим задачу: Покупатель приобрел в магазине на 21 р. товара. Но у него в наличии денежные знаки только 5 – рублевого достоинства, а у кассира – 3-рублевого. Требуется знать, можно ли при наличии денег расплатиться с кассиром и как именно? Решение: x – число 5 - рублевок, y – 3 - рублевок.

По условию x > 0, y > 0, значит Кроме того, t – четное, иначе ни x, ни y не будут целыми. При t = 4, 6, 8, … имеем: Подставим в у вместо х дробь 3/2t t х у

Неопределенные уравнения первой степени вида ax + by + cz= d. Рассмотрим уравнение: Нужно найти любые целые решения уравнения.

Решение:

Придавая z и t целые значения, получим решение исходного уравнения: t012 z123 x y272321

Неопределенные уравнения второй степени вида x 2 + y 2 = z 2

Один из путей решения уравнения в целых числах оказался довольно простым. Запишем подряд квадраты натуральных чисел, отделив их друг от друга запятой. Под каждой запятой запишем разность между последовательными квадратами: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196… 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27… 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27…

Сформулируем такую теорему: Каждое нечетное число есть разность двух последовательных квадратов если х - нечетное число, то

Числа, найденные по такому правилу, всегда будут составлять решение интересующего нас неопределенного уравнения. Это уравнение будем называть «уравнением Пифагора», а его решения – «пифагоровыми тройками». По этому правилу можно получить уже известные нам тройки : Числа, найденные по такому правилу, всегда будут составлять решение интересующего нас неопределенного уравнения. Это уравнение будем называть «уравнением Пифагора», а его решения – «пифагоровыми тройками». По этому правилу можно получить уже известные нам тройки :

Заключение Диофантовы уравнения и их решения и по сей день остаются актуальной темой. Диофантовы уравнения и их решения и по сей день остаются актуальной темой. Умение решать такие уравнения позволяет найти остроумные и сравнительно простые решения казалось бы «неразрешимых» задач, а в практической деятельности значительно сэкономить затраты средств и времени. Умение решать такие уравнения позволяет найти остроумные и сравнительно простые решения казалось бы «неразрешимых» задач, а в практической деятельности значительно сэкономить затраты средств и времени. Проведя данное исследование, я овладела новыми математическими навыками, рассмотрела некоторые методы решения неопределенных уравнений. Проведя данное исследование, я овладела новыми математическими навыками, рассмотрела некоторые методы решения неопределенных уравнений. Изучая диофантовы уравнения, показала практическое им применение, решив несколько задач. Изучая диофантовы уравнения, показала практическое им применение, решив несколько задач.