Векторная алгебра Термин вектор (от лат. Vector -несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона Уи́льям Ро́уэн Га́мильтон выдающийся ирландский математик и физик XIX века.

Длиной или модулем вектора Длиной или модулем вектора называется длина отрезка АВ направленным отрезком или вектором Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом, называется направленным отрезком или вектором А В a АВ = АВ АВ = АВ Начало вектора Конец вектора АВВектор a § 1. Определение вектора.

Любая точка плоскости также является вектором. нулевым В этом случае вектор называется нулевым M MM = 0 Длина нулевого считается равной нулю MMВектор 0 Начало нулевого вектора совпадает с его концом, поэтому нулевой вектор не имеет какого-либо определенного направления. Иначе говоря, любое направление можно считать направлением нулевого вектора. § 1. Определение вектора.

коллинеарными, Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. a b c a b c a c b Коллинеарные, сонаправленные векторы o a o c o b Нулевой вектор Нулевой вектор считается коллинеарным, сонаправленным с любым вектором. § 1. Определение вектора.

коллинеарными, Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. a b c b a Коллинеарные, Коллинеарные, противоположно направленные векторы противоположно направленные векторы b c § 1. Определение вектора.

компланарными Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. компланарными Другими словами, векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости. a c Любые два вектора компланарны. § 1. Определение вектора.

Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны. c a k § 1. Определение вектора.

Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными. АО Е D C В B1B1 § 1. Определение вектора.

АВСD – параллелограмм. А ВС D b a равными, Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. a b = 1 2 ВA = CD; AВ = DC; CВ = DA; AD = BC. О § 1. Определение вектора.

противоположными, Векторы называются противоположными, если они противонаправлены и их длины равны. § 1. Определение вектора. АВСD – параллелограмм. А ВС D b a a b = DA = -BC; AВ = -CD; О 1 2

Если точка А – начало вектора, то говорят, что вектор отложен от точки А вектор отложен от точки АА a a Вектор отложен от точки А a a М c От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору, вектор, равный данному вектору, и притом только один. и притом только один.a ac = ca c a = § 1. Определение вектора. Если точка А – начало вектора, то говорят, что вектор отложен от точки А вектор отложен от точки А § 1. Определение вектора. От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору, вектор, равный данному вектору, и притом только один. и притом только один. Если точка А – начало вектора, то говорят, что вектор отложен от точки А вектор отложен от точки А § 1. Определение вектора. От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору, вектор, равный данному вектору, и притом только один. и притом только один. Если точка А – начало вектора, то говорят, что вектор отложен от точки А вектор отложен от точки А § 1. Определение вектора. От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору, вектор, равный данному вектору, и притом только один. и притом только один. От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору, вектор, равный данному вектору, и притом только один. и притом только один. Если точка А – начало вектора, то говорят, что вектор отложен от точки А вектор отложен от точки А От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору, вектор, равный данному вектору, и притом только один. и притом только один.

a b Угол между векторами a b ab = Угол между векторами и равен ab О Углом α между векторами называется наименьший угол, образуемый векторами при совмещении их начал. § 1. Определение вектора.

ортогональными Два вектора называются ортогональными, если угол между ними равен bc Для коллинеарных векторов или b c § 1. Определение вектора.

c a + a С А c Сложение векторов. Правило треугольника. Сложение векторов. Правило треугольника. § 2. Действия над векторами.

a c n m a+c+m+n Сложение векторов. Правило многоугольника. § 2. Действия над векторами.

Сложение векторов. Правило параллелограмма. Сложение векторов. Правило параллелограмма. a a b b a + b b А В D C § 2. Действия над векторами.

Сложим первые две силы F 1 и F 2 (аксиома параллелограмма). Количество сил уменьшилось на единицу. Сложим полученную равнодействующую R 12 со следующей силой F 3. Количество сил вновь уменьшилось на единицу. Повторим эту же операцию со следующей силой F 4. Осталась всего одна сила, эквивалентная исходной системе сил. Сложение сил построением параллелограммов можно заменить построением силового треугольника – выбирается одна из сил или изображается параллельно самой себе с началом в любой произвольной точке, все другие силы изображаются параллельными самим себе с началом, совпадающим с концом предыдущей силы. Результатом такого сложения является вектор, направленный из начала первой силы к концу последней из сил. § 2. Действия над векторами.

A В С В1В1В1В1 D Е Правило параллелепипеда. a b c О OE + ED = (OA + AE) + ED = OA + OB + OC = = a + b + c из OAE OD = § 2. Действия над векторами.

Вычитание векторов § 2. Действия над векторами.

Умножение вектора на число Произведением вектора на число α называется вектор, такой что:

§ 2. Действия над векторами. Умножение вектора на число Произведением вектора на число α называется вектор, такой что:

§ 2. Действия над векторами. Умножение вектора на число

§ 2. Действия над векторами.В C D А А1А1А1А1 D1D1D1D1 С1С1С1С1

В C D А А1А1А1А1 D1D1D1D1 С1С1С1С1 В1В1В1В1

В C А А1А1А1А1 D1D1D1D1 С1С1С1С1 В1В1В1В1

§ 3. Линейная зависимость векторов Определение 1. Линейной комбинацией векторов называется вектор где λ i – некоторые числа. Определение 2. Вектора называются линейно зависимыми, если существуют действительные числа λ i, такие, что хотя бы одно из них отлично от нуля, и при этом выполняется равенство: Определение 2. Вектора называются линейно независимыми, если из условия следует тривиальная комбинация

§ 3. Линейная зависимость векторов Теорема 1. Для линейной зависимости векторов необходимо и достаточно, чтобы один из них был линейной комбинацией остальных. Доказательство. Необходимость. Пусть вектора линейно зависимы. Тогда существуют числа λ i, не равные нулю одновременно, такие, что Пусть λ 10, тогда что доказывает необходимость. Достаточность. Пусть для определенности Тогда причем Это и есть условие линейной зависимости.

§ 3. Линейная зависимость векторов Для линейно зависимых векторов справедливы теоремы 2–6. Теорема 2. Один вектор линейно зависим тогда и только тогда, когда он нулевой. Теорема 3. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны. Теорема 4. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны. Доказательство. Необходимость. Пусть три вектора линейно зависимы. Тогда существуют не равные одновременно нулю три числа, такие, что Тогда по теореме 1 один из векторов есть линейная комбинация двух остальных, и, значит, данные три вектора компланарны.

§ 3. Линейная зависимость векторов Достаточность. Пусть компланарны,и пусть вектора неколлинеарны. из чего вытекает (вследствие теоремы 1) линейная зависимость векторов

§ 3. Линейная зависимость векторов Теорема 5. Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы. Действительно, можно подобрать, причем единственным образом, такие числа что будет Теорема 6. Если среди векторов имеется хотя бы один нулевой вектор, то вектора линейно зависимы.

§ 3. Линейная зависимость векторов Свойства линейно независимых векторов: Один вектор линейно независим тогда и только тогда, когда он ненулевой. Два вектора линейно независимы тогда и только тогда, когда они неколлинеарны. Три вектора линейно независимы тогда и только тогда, когда они некомпланарны.

§ 4. Базис. Координаты вектора в базисе. Определение 1. Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор, принадлежащий этой прямой. Определение 2. Базисом на плоскости называется любая пара линейно независимых векторов, лежащих на этой плоскости. Определение 3. Базисом в пространстве называется любая тройка линейно независимых векторов. g g1g1g1g1 g2g2g2g2 g1g1g1g1 g2g2g2g2 g3g3g3g3 Будем обозначать базис в пространстве, составленный из линейно независимых векторов, как.

§ 4. Базис. Координаты вектора в базисе. Определение 4. Базис называется ортогональным, если образующие его вектора попарно перпендикулярны. Определение 5. Ортогональный базис называется ортонормированным, если образующие его вектора имеют единичную длину. g1g1g1g1 g2g2g2g2 g3g3g3g3 90 o e1e1e1e1 e2e2e2e2 e3e3e3e3 e 1 = 1 e 2 = 1 e 3 = 1

§ 4. Базис. Координаты вектора в базисе. Теорема 1. Любой вектор в пространстве с базисом может быть представлен, и причем единственным способом, в виде где α, β, γ – некоторые числа. Доказательство.Докажем вначале, что такие числа существуют. и в силу коллинеарности Следовательно,и Докажем единственность разложения по данному базису. Но это условие и означает, что вектора являются линейно зависимыми и не могут образовывать базис. Это, в свою очередь, доказывает единственность разложения. Пусть

§ 4. Базис. Координаты вектора в базисе. Определение 6. Числа в разложении называются координатами вектора в базисе. Координаты – величины скалярные. Для краткой записи вектора в координатном представлении будем использовать следующую форму: т. е. каждому вектору в данном базисе можно поставить во взаимно однозначное соответствие матрицу-строку.

§ 5. Действия с векторами в координатном представлении. В каждом конкретном базисе каждый вектор находится во взаимно-однозначном соответствии с упорядоченной тройкой чисел – своими координатами. Возникает вопрос о том, как выполнять операции с векторами в координатном представлении. С другой стороны, ранее были изучены матрицы и операции над ними, и целесообразно было бы свести операции с векторами в координатном представлении к матричным операциям. Теорема 1. Два вектора и равны тогда и только тогда, когда равны матрицы координат

Теорема 2. Пусть в некотором базисе даны два вектора иТогда в этом базисе Иными словами: при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число; при сложении векторов складываются их соответствующие координаты. § 5. Действия с векторами в координатном представлении.

Теорема 3. Два вектора и на плоскости линейно зависимы тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты в некотором базисе пропорциональны, т. е. Доказательство. Необходимость.Пусть вектораилинейно зависимы, тогда по теореме 3.1или в координатной форме Исключив λ из этих уравнений, получаем что и означает равенство нулю определителя. Достаточность.ПустьТогда откудаТаким образом, вектораи пропорциональны, а, значит, и линейно зависимы. § 5. Действия с векторами в координатном представлении.

Теорема 4. Три вектора в пространстве линейно зависимы тогда и только тогда, когда и Следствие. Равенства и соответственно являются необходимыми и достаточными условиями коллинеарности пары векторов на плоскости и компланарности тройки векторов в пространстве. § 5. Действия с векторами в координатном представлении.

Пример 1. Показать, что вектора образуют базис в трехмерном пространстве. Решение. Вычислим определитель, столбцы которого представляют координаты векторов: Так как определитель отличен от нуля, то столбцы линейно независимы, т. е. указанные вектора образуют базис. § 5. Действия с векторами в координатном представлении.

Пример 2. Разложить вектор по базисугде Решение. Разложим векторпо базису с неопределенными коэффициентами В координатах это разложение представляет собой систему трех уравнений относительно Имеем: откуда по правилу Крамера Ответ: § 5. Действия с векторами в координатном представлении.

§ 6. Декартова система координат. Определение 1. Совокупность базиса и точки О, в которую помещены начала всех базисных векторов, называется декартовой системой координат и обозначается Определение 2. Система координатсостоящая из ортонормированного ортогонального базиса и точки О, называется прямоугольной декартовой системой координат. ij k x y z O Ох – ось абсцисс Оу – ось ординат Оz – ось аппликат

§ 6. Декартова система координат. Рене́ Дека́рт , французский математик,, создатель аналитической геометрии и современной алгебраической символики, Декарт ввел математическую символику, близкую к современной. Коэффициенты он обозначал a, b, c…, а неизвестные x, y, z. Натуральный показатель степени принял современный вид. Появилась черта над подкоренным выражением. Родился в городе Лаэ (ныне г. Декарт).

§ 6. Декартова система координат. Определение. Упорядоченная тройка ортов называется правой, если при совмещении начал векторов кратчайший поворот первого вектора ко второму с конца третьего вектора наблюдается против часовой стрелки. Определение. Упорядоченная тройка ортов называется левой, если при совмещении начал векторов кратчайший поворот первого вектора ко второму с конца третьего вектора наблюдается по часовой стрелки.

§ 6. Декартова система координат. Если задана система координат то произвольной точке М в пространстве можно поставить во взаимно однозначное соответствие вектор начало которого находится в точке О, а конец в точке М. Определение 3. Векторназывается радиус-вектором точки М в системе координат Определение 4. Координаты радиус-вектора точки М называются координатами точки М в системе координат

A(-1; 3;-6) B(-2;-3; 4) y x z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I j k i O I I I В А I I I I I С OB{-2;-3; 4} C( 3;-2; 6) OA{-1; 3;-6} OC{ 3;-2; 6} § 6. Декартова система координат.

x z y О A(x1; y1; z1)A(x1; y1; z1)A(x1; y1; z1)A(x1; y1; z1) B(x2; y2; z2)B(x2; y2; z2)B(x2; y2; z2)B(x2; y2; z2) Из АОB, = AО + ОB AB = –ОA + ОB –OA{-x 1 ; -y 1 ; -z 1 } OB{x 2 ; y 2 ; z 2 } + AB {x 2 -x 1 ; y 2 -y 1 ; z 2 -z 1 } OA{x 1 ; y 1 ; z 1 } OA{x 1 ; y 1 ; z 1 } OB{x 2 ; y 2 ; z 2 } § 6. Декартова система координат.

Задача 2 (условие коллинеарности двух векторов в координатной форме). Пусть два вектораи коллинеарны. т. е. откуда или – условие коллинеарности двух векторов. Если два вектора коллинеарны, то их координаты пропорциональны. Тогда по теореме 3.1 существует такое число λ, при котором

Пример 1. Коллинеарны ли вектора a {2; 6;-3}; b{6;18;-9} 1 3 === Векторы и коллинеарны. ab § 6. Декартова система координат. = 3 bba или a = 1 3

§ 6. Декартова система координат. Пример 2. В декартовой системе координат A(1,3,0), B(2,0,-1), C(3,-3,-2). Доказать, что точки A, B, C лежат на одной прямой. Решение Очевидно, точки A, B, C лежат на одной прямой, если векторы иколлинеарны. Для этого необходимо выполнение условия:. Отсюда следует (теорема 5.2), что координаты векторови должны быть пропорциональны. Таким образом, точки A, B, C лежат на одной прямой.

§ 6. Декартова система координат. Задача 3 (деление отрезка в данном отношении). В декартовой системе координат заданы точки Найти координаты точки M(x,y,z), делящей отрезок AB в отношении λ: Векторы Решение иколлинеарны, сонаправлены, отношение их длин равно λ. Тогда Переходя к равенству соответствующих координат, получим: Выражая отсюда x,y,z, получим для координат точки M:

A(x1;y1;z1)A(x1;y1;z1)A(x1;y1;z1)A(x1;y1;z1) x z y О B(x2;y2;z2)B(x2;y2;z2)B(x2;y2;z2)B(x2;y2;z2) полусумме соответствующих координат его концов. В частности, координаты середины отрезка (λ=1) равны полусумме соответствующих координат его концов. C( ; ; ) y1+y2y1+y2y1+y2y1+y2 2 x1+x2x1+x2x1+x2x1+x2 2 z1+z2z1+z2z1+z2z1+z2 2 { ; ; } y1+y2y1+y2y1+y2y1+y2 2 x1+x2x1+x2x1+x2x1+x2 2 z1+z2z1+z2z1+z2z1+z2 2 OC § 6. Декартова система координат.

Пример. Разделить отрезок АВ ( А(3,5; 1), B(2; 2)) на три равные части. Решение

§ 7. Проекция вектора на ось. Пусть вектор лежит на некоторой оси l. Направление орта соответствует направлению оси. l Определение 1. Проекцией вектора, лежащего на оси, на эту ось называется число, по абсолютной величине равное длине вектора и взятое со знаком плюс, если направление вектора совпадает с направлением оси и со знаком минус, если они противоположны. Пусть вектор не лежит на некоторой оси l. Из точек А и B опустим перпендикуляры на ось. Вектор называется компонентой вектора по оси l. Определение 2. Проекцией вектора, не лежащего на оси l, на эту ось называется проекция его компоненты по оси l на эту же ось. Проекция вектора на ось обычно обозначается так:

§ 7. Проекция вектора на ось. Свойства проекций вектора на ось: 1. Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью: где θ – угол между вектором и осью. 2. Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций этих векторов на эту же ось, т. е.. 3. Проекция на ось вектора, умноженного на число, равна произведению проекции вектора на это число, т. е. 4. Проекции на ось двух равных векторов равны между собой.

zkzkzkzk y jy jy jy j xixixixi A1A1A1A1 OA 3 = zk OA 1 = xi x z y A2A2A2A2 a a {x;y;z} OA 2 = y j О A A3A3A3A3 § 7. Проекция вектора на ось. Рассмотрим теперь вопрос о разложении вектора по координатным осям. Такое представление вектора называется разложением его на компоненты (или составляющие) по координатным осям.

zkzkzkzk y jy jy jy j xixixixi + + y zx= a 2 22 A1A1A1A1 OA 3 = zk OA 1 = xi x z y A2A2A2A2 Вычисление длины вектора по его координатам OA 2 = OA OA OA 3 2 По правилу параллелепипеда OA 2 = OA OA OA 3 2 a a {x;y;z} =x OA 2 = y j = =z y y= a x + + z О A A3A3A3A3 Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.

x z y Направляющие косинусы вектора. a a {а x ;а y ;а z } О A A3A3A3A3 α β γ Если – проекции вектора на координатные оси, то ясно, что имеют место формулы: аxiаxiаxiаxi аy jаy jаy jаy j аzkаzkаzkаzk A2A2A2A2 A1A1A1A1 аx;аy;аzаx;аy;аzаx;аy;аzаx;аy;аz

§ 7. Проекция вектора на ось. Пример 1. Даны точки A(1, –1, 2) и B(3, 2, 3). Найти: Координаты вектора Длину вектора Так какзначит Направляющие косинусы вектора Разложение векторапо базису; Так какзначит Единичный вектор (орт), соответствующий вектору Так какзначит

В А § 7. Проекция вектора на ось. Пример 2. Дан вектор и точки В(1, 2, -1) и С(2, 2, 5). Найти координаты вектора Решение Найдем координаты вектора

§ 7. Проекция вектора на ось. Пример 3. Выяснить, при каких значениях параметров вектора Решение Два вектора коллинеарны, если существует некая константа c такая, что имеет место соотношение Отсюда следует, что откуда Так как орты линейно независимы, ибо они представляют собою базис, то должны обращаться в нуль коэффициенты этой линейной комбинации, т. е. откуда и коллинеарны.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. ab = a b cos( ) ab § 8. Скалярное произведение векторов. Если хотя бы один из векторов равен нулю, то скалярное произведение этих векторов равно нулю (по определению). Скалярное произведение векторов – число (скаляр). Скаляр – лат. scale – лестница, шкала. Ввел в 1845г. У. Гамильтон, ирландский математик.

ab = a b cos 90 0 a b = 0 0 Если векторы и перпендикулярны, то скалярное произведение векторов равно нулю. ab Обратно: если, то векторы и перпендикулярны. ab = 0= 0= 0= 0 ab ab = 0= 0= 0= 0 ab Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. ab = 90 0 § 8. Скалярное произведение векторов.

ab = a bcos a b острый. Скалярное произведение ненулевых векторов положительно тогда и только тогда, когда угол между векторами острый. ab > 0> 0> 0> 0 > 0 ab < 90 0 ab § 8. Скалярное произведение векторов.

ab= a bcosa b тупой. Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только тогда, когда угол между векторами тупой.ab < 0< 0< 0< 0 < 0 ab > 90 0 ab § 8. Скалярное произведение векторов.

ab = ab= a b cos 0 0 a b ab = 00= 00= 00= 00 Еслиab ab= a b cos180 0 a b ab = Еслиab = – ab § 8. Скалярное произведение векторов.

aa = a acos a aa = 00= 00= 00= 00 a a = = a 2 Скалярное произведение называется скалярным квадратом скалярным квадратом вектора и обозначается aa a a 2a 2a 2a 2 Таким образом, a 2a 2a 2a 2 = a 2 § 8. Скалярное произведение векторов. откуда Длина вектора равен квадратному корню из его скалярного квадрата.

§ 8. Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения: Действительно, Отсюда следует формула для нахождения проекции одного вектора на другой: тогда 2) Переместительное или коммутативное свойство: 3) Сочетательное (ассоциативное) свойство: 4) Распределительное (дистрибутивное) свойство относительного сложения векторов:

§ 8. Скалярное произведение векторов.. Выведем формулу скалярного произведения в координатной форме. a {а x ;а y ;а z } b {b x ;b y ;b z } т.к. В частности,

A = F MN cos F N M A = F MN N F MN точку N равна произведению силы F и перемещения MN на косинус угла между ними. AF M Скалярное произведение векторов встречается в физике. Например, из курса механики известно, что работа A постоянной силы F при перемещении тела из точки M в § 8. Скалярное произведение векторов.

Скалярное произведение двух векторов позволяет решить следующие задачи векторной алгебры: 1. Нахождение угла между двумя векторами. Отсюда нетрудно получить условие ортогональности (перпендикулярности) двух векторов в координатной форме:

§ 8. Скалярное произведение векторов. Пример 1. Даны вершины треугольника: A(2; –1; 3), B(1; 1; 1), C(0; 0; 5). Найти Решение

§ 8. Скалярное произведение векторов. 2. Нахождение проекции одного вектора на направление другого Пример 2. Даны три точки A(2; 3; 5), B(1; 2; 2), C(3; 5; 4). Найти Решение

§ 8. Скалярное произведение векторов. 3. Нахождение длины вектора. Пример 3. Дан вектор Найти длину вектора Решение Найдем скалярный квадрат вектора

§ 8. Скалярное произведение векторов. Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах игде угол между которыми равен 60°. – единичные векторы, Решение

§ 8. Скалярное произведение векторов. 4) Доказательство ортогональности векторов Пример 5. При каком значении α ортогональны вектора и Решение Принимая во внимание условие ортогональности двух векторов получим 5) Задачи с механическим содержанием Пример 6. Даны три постоянные силы приложенные в одной точке. Найти работу равнодействующей этих сил на прямолинейном перемещении из положения М 1 (4,4,6) в положение М 2 (7,5,2). Равнодействующая сила Вектор перемещения Искомая работа Решение

Векторным произведением двух ненулевых векторов называется вектор, Векторным произведением двух ненулевых векторов называется вектор, § 9. Векторное произведение векторов. Введем еще одну операцию над векторами. Эта операция существует только в трехмерном векторном пространстве, на плоскости она не определена. удовлетворяющий трем требованиям: удовлетворяющий трем требованиям: |a|a|a|a b|b|b|b| = ab sin( ) ab 1) 2) 3) Тройка векторов является правой.

§ 9. Векторное произведение векторов.

Геометрический смысл векторного произведения. a b sin( ) ab ab b Для неколлинеарных векторов модуль их векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

§ 9. Векторное произведение векторов. Свойства векторного произведения: Свойство очевидно, так как синус – функция нечетная. 2) Свойство сочетательности относительно скалярного множителя: 3) Распределительное свойство относительно сложения векторов:

absin b ab = 00= 00= 00= 00 § 8. Векторное произведение векторов. Признак коллинеарности векторов: Для того чтобы два ненулевых вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение было бы равно нулю. a Если вектора коллинеарные, то В частности, имеем для ортов:

§ 9. Векторное произведение векторов. Рассмотрим векторные произведения различных ортов. Очевидно, что векторное произведения двух различных ортов будет равно третьему орту, взятому: со знаком +, если тройка ортов правая; со знаком –, если тройка ортов левая. Тогда Если векторы правой тройки изменять непрерывно, то в любой момент такой деформации эта тройка векторов будет оставаться правой тройкой. Если векторы левой тройки изменять непрерывно, то в любой момент такой деформации эта тройка векторов будет оставаться левой тройкой. Тогда

§ 9. Векторное произведение векторов. Выразим теперь векторное произведение через координаты векторов, его составляющих.

§ 9. Векторное произведение векторов. Векторное произведение имеет простую механическую интерпретацию. Если силаповорачиваеттело вокруг оси то моментсилыотносительно т. О, равен

§ 9. Векторное произведение векторов. Векторное произведение двух векторов позволяет решить следующие задачи векторной алгебры. 1) Нахождение площади параллелограмма и треугольника

§ 9. Векторное произведение векторов. Пример 1. Найти площадь треугольника с вершинами в точках Решение

§ 9. Векторное произведение векторов. Пример 2. Найти площадь треугольника, построенного на векторах Решение

§ 9. Векторное произведение векторов. 2) Нахождение векторов, перпендикулярных данной плоскости Пример 3. Найти единичный вектор, перпендикулярный к плоскости, в которой лежат точки Решение В силу определения векторного произведения векторов Поставленной задаче удовлетворяют два единичных вектора

§ 9. Векторное произведение векторов. 3) Доказательство коллинеарности векторов Решение Условие коллинеарности: т. е. вектора неколлинеарны. 4) Задачи механического содержания Решение

§ 10. Смешанное произведение векторов. Определение 1. Смешанным произведением ненулевых векторов называется скалярное произведение вектора и векторного произведения вектора на вектор, т. е. выражение Свойства смешанного произведения: 1) Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке перемножаемых векторов. 2) При перестановке двух соседних векторов модуль смешанного произведения не меняется, а знак меняется на противоположный, т. к. тройка меняет свою ориентацию. т.е. порядок знаков умножения не важен. Поэтому принято смешанное произведение обозначать

§ 10. Смешанное произведение векторов. Выразим теперь смешанное произведение через координаты векторов, его составляющих. или

§ 10. Смешанное произведение векторов. Теорема 1. Смешанное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда вектора компланарны. Доказательство. Необходимость. Возможны два случая. т.е. вектора коллинеарны, а три вектора, два из которых коллинеарны, всегда компланарны. Тогда но Это значит, что три вектора лежат в одной плоскости.

§ 10. Смешанное произведение векторов. Достаточность. - компланарны. Тогда их можно поместить в одной плоскости. Векторперпендикулярен плоскости, а, следовательно, и Тогда по правилам скалярного произведения

§ 10. Смешанное произведение векторов. Установим геометрический смысл смешанного произведения векторов. Теорема 2. Смешанное произведение некомпланарных векторов равно объему параллелепипеда, сторонами которого служат эти вектора, взятому со знаком +, если тройка векторов правая, и со знаком -, если тройка левая. Доказательство. В А D Но тогда

§ 10. Смешанное произведение векторов. Смешанное произведение трех векторов позволяет решить cледующие задачи векторной алгебры: 1) Доказательство компланарности (линейной зависимости) трех векторов Пример 1. Показать, что точки А(1, 2, 1), В(3, 3, 3), С(4, 1, 2) и D(5, 4, 5) лежат в одной плоскости. Решение А B C D Если точки А, В, С и D лежат в одной плоскости, то и вектора лежат в одной плоскости, а тогда смешанное произведение этих векторов равно нулю. Следовательно, точки лежат в одной плоскости.

§ 10. Смешанное произведение векторов. Решение т. е. существуют константы λ, μ и ν такие, что Следовательно, векторы компланарны, а значит, они линейно зависимы, Данная система имеет бесчисленное множество решений. откуда получим искомую линейную зависимость:

§ 10. Смешанное произведение векторов. 2) Нахождение объема параллелепипеда и тетраэдра В А D С S

§ 10. Смешанное произведение векторов. Пример 3. В пирамиде АВСD найти высоту, опущенную из вершины A, если в прямоугольной декартовой системе координат Решение B E A C D Знак «–» показывает, что тройка векторов левая.