Проблема идентификации уравнений. Оказывается, что далеко не всякая модель из одновременных уравнений допускает оценивание коэффициентов своей структурной формы!

1.Авторегрессия Рассмотрим элементарную макроэкономическую модель (1.1)

В приведенной форме модель (1.1) имеет вид (1.2) Из (1.2) видно, что COV(Y t,u t )0

Для их оценивания в эконометрике построено несколько процедур, из которых мы рассмотрим регулярную и практичную процедуру двухшагового метода наименьших квадратов (ДМНК) и процедуру косвенного метода наименьших квадратов (КМНК). Эти методы, позволяют (при определённых условиях) получать состоятельные оценки Параметров моделей из линейных одновременных уравнений.

2. Проблема идентификации уравнений Пример. Имеем элементарную модель конкурентного рынка (2.1)

По результатам наблюдений необходимо получить оценки параметров a 0, a 1, b 0, b 1 Что доступно для наблюдений? Равновесная цена p* t и соответствующие ей уровни спроса и предложения, причем Y s t =Y d t =Y* t

ptpt ytyt ydyd ysys E0E0 Графически это выглядит так (крест Маршалла): p* t y* t

Из приведенной формы уравнений модели видно Система из двух уравнений и 4-х неизвестных обладает Не единственным решением

Вопрос. Как преодолеть эту проблему? Вспомним, что на спрос влияет располагаемый доход (2.2) Что это дает?ytyt ptpt p* t (x 1 )p* t (x 2 ) y* t (x 1 ) y* t (x 2 ) E1E1 E2E2 ysys yd2yd2 yd1yd1

Вывод. Введение в первое уравнение системы (2.1) дополнительной экзогенной переменной x t привело к тому, что второе уравнение стало идентифицируемо. Правило. Для устранения проблемы идентификации необходимо: 1. Дополнить уравнения системы дополнительными предопределенными переменными 2. Дополнительные переменные включаются в уравнения смежные с неидентифицируемыми Идентифицируемая модель конкурентного рынка (2.3)

Остаются вопросы: 1. Как определить, какие уравнения в модели являются неидентифицируемые 2. Как определить, какие уравнения в модели идентифицируемые

Ответ на первый вопрос дает теорема, которая имеет название «правило порядка» и формулирует необходимое условие идентифицируемости i-го уравнения модели Общий вид каждого уравнение модели в структурной форме можно записать как: где: G – количество эндогенных переменных в модели K – количество предопределенных переменных в модели (2.4)

Необходимое условие идентифицируемости Теорема 1. Пусть i-ое уравнение модели (2.4) идентифицируемо. Тогда справедливо неравенство M i (пред) G – M i (энд) – 1. (2.5) В нём: M i (пред) – количество предопределённых переменных модели, не включённых в i-ое уравнение; M i (энд) – количество эндогенных переменных модели, не включённых в i-ое уравнение.

Замечание. Справедливость неравенства (2.5) является необходимым условием идентифицируемости i-го уравнения. Это значит, что, когда неравенство (2.5) несправедливо, то i-ое уравнение заведомо неидентифицируемо. Однако при выполнении неравенства (2.5) ещё нельзя сделать вывод о идентифицируемости данного уравнения.

Проблема идентификации уравнений Условие (2.5), именуемое правилом порядка, позволяет выявлять неидентифицируемые уравнения модели, но не даёт возможности отмечать её идентифицируемые уравнения. Определение неидентифицируемых уравнений производится методом «от противного»: если условие (2.5) не выполняется для i-го уравнения, то оно неидентифицируемо

Задача. Показать, что оба уравнения модели (2.3) не являются неидентифицируемыми (2.3) Здесь: (y d t, y s t,p t ) – эндогенные переменные (G=3) (1, x t, p t-1 ) – предопределенные переменные (K=3) Для первого уравнения: М(пред)=1, М(энд)=1, М(пред)=G-М(энд)-1 Для второго уравнения: М(пред)=1, М(энд)=2, М(пред)>G-М(энд)-1 (1>3-2-1)

Косвенный метод наименьших квадратов применяется в случае точной идентифицируемости уравнений модели Алгоритм применения КМНК: 1. От структурной формы модели переходят к приведенной 2. Определяются МНК-оценки параметров приведенной формы модели 3. По МНК-оценкам приведенной формы вычисляют- ся оценки параметров структурной формы модели.

Мы знаем связь параметров структурной и приведенной форм моделей: М=-АВ или АМ=-В или АМ+В=0 (2.1) Это выражение с использованием расширенной матрицы коэффициентов Ā в матричной форме имеет вид: (2.2) где: I – единичная матрица размером kxk Для оценки параметров i-го уравнения необходимо добавить априорные ограничения и условия нормализации

В результате получается система алгебраических уравнений относительно элементов матрицы Ā (2.3) Доказывается, что, если i-ое уравнение точно идентифицируемо и выполнено условие нормализации, то система (2.3) имеет единственное решение

Задача. Построить модель потребления свинины на душу населения у 1 (в фунтах) в зависимости от цены на нее у 2 (долл/фунт), располагаемого дохода х 1 (в долл) и расходов по обработке мяса х 2 (% от цены) Известно: 1.Потребление свинины пропорционально ее цене при этом потребление падает с ростом цены, и пропорционально располагаемому доходу 2. Цена растет с ростом потребления свинины и ростом стоимости ее переработки

Решение. 1. Спецификация модели. С учетом отмеченных закономерностей спецификацию модели можно записать в виде (2.4) В приведенной форме модель (2.4) примет вид: (2.5)

2. Сбор исходной информации для оценки модели Год Потрб ление y 1 Цена y 2 Доход x 1 Перера ботка x

3. Оценка МНК параметров приведенной формы модели (2.6)

4. Вычисление параметров структурной формы модели 4.1 Для первого уравнения модели Расширенная матрица коэффициентов Ā имеет вид Система алгебраических уравнений (2.3) примет вид (2.7)

После перемножения матриц в системе (2.7) получим m 11 – a 12 m 21 - b 11 =0 m 12 – a 12 m 22 = 0 Решив полученную систему относительно параметров a ij получим искомые параметры для первого уравнения модели (2.4)

4.2 Рассматриваем второе уравнение моделей ( ) Структурные параметры для него есть решение системы уравнений:

В результате структурная форма модели (2.4) получила вид Остается проверить ее адекватность

В основе метода лежит понятие «инструментальных переменных» Пусть имеем линейную модель множественной регрессии (3.1) В модели (3.1) объясняющие переменные коррелируют со случайными возмущениями

Определение. Переменные (z 1t, z 2t,…,z kt ) называются инструментальными для модели (3.1), если они удовлетворяют двум требованиям: Т.е. z it коррелируют в пределе с x it и не коррелируют в пределе со случайными возмущениями Теорема. Процедура (3.2) (3.3) доставляет состоятельные оценки параметров модели (3.1) (3.4)

Вопрос. Как построить инструментальные переменные? Вернемся к уравнению (1.2) (1.2) Перепишем его в виде: (3.5) Если удастся избавиться от ε t, т.е. найти переменную то она могла бы выступить в качестве инструментальной переменной

Алгоритм оценки коэффициентов структурной формы уравнений ДМНК 1.Оценивание параметров приведенной формы модели для эндогенных переменных, включенных в правую часть уравнения модели с помощью МНК 2. Оцениваются параметры структурной формы уравнения модели, в правую часть которой вместо значений эндогенных переменных подставляются их оценки, рассчитанные по приведенным формам модели, которые получены на предыдущем шаге. 3. Оцениваются точностные характеристики модели

Пример. Рассмотрим предыдущую задачу: Оценить параметры структурной формы модели (2.4) (2.4) 1.Оценка параметров первого уравнения Приведенная форма уравнения для эндогенной переменной y 2t имеет вид:

Оценка эндогенной переменной ŷ 2t соответственно есть (3.6) Исходные данные для оценки параметров первого уравнения модели (2.4) Год Пот-ние y 1 Цена ŷ 2 Доход x 1 Перера ботка x Здесь ŷ 2t рассчитано по формуле (3.6)

По данным столбцов 2, 3, 4 оцениваются структурные параметры первого уравнения модели (2.4) 2. Уточнение СКО структурных параметров Окончательно первое уравнение модели (2.4) имеет вид