ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПРЕДМЕТА МАТЕМАТИКИ И О ПЕРИОДИЗАЦИИ ЕЁ ИСТОРИИ Г.М. Полотовский Нижегородский государственный университет имени Н.И. Лобачевского ВОСЕМНАДЦАТАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ г. Пущино, 24 – 29 января 2011 г.

«Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, Фридрих Энгельс (1820 – 1895) стало быть, весьма реальный материал» Вопрос 1. Математическая логика (теория алгоритмов, алгебраическая геометрия, computer science, … ) – это пространственные формы или количественные отношения? Вопрос 2. Что такое пространственные формы и количественные соотношения? Вопрос 3. Что такое действительный мир, каковы в действительности взаимоотношения действительного мира и математики? 1878: Что такое математика ?

Дмитрий Андреевич Гудков (1918 – 1992) Что такое математика ? Действительность Натуральные числа Простые числа Простых чисел бесконечно много Гипотеза Гольбаха (1742): Всякое целое число n 6 может быть представлено в виде суммы трёх простых чисел. Теорема Виноградова (1937): Для n > 3,33 х гипотеза Гольбаха верна. ?

Сам Энгельс понимал связь с действительным миром вполне вульгарно: «Результаты геометрии представляют собой не что иное, как естественные свойства различных линий, поверхностей, тел и, соответственно, их комби- наций, которые большей частью встречались уже в природе задолго до того, как существовали люди (радиолярии, насекомые, кристаллы и т.д.)» Любая математическая операция «совершается самой природой», кото-рая «оперирует этими дифференциалами, молекулами, точно таким же образом и по точно таким же законам, как математика оперирует своими дифференциалами.» «Математические понятия взяты не откуда-нибудь, а только из действитель- ного мира. Они заимствованы из внешнего мира, а не возникли в голове из чистого мышления.» Что такое математика ?

Андрей Николаевич Колмогоров (1903 – 1987) «Запас количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, непрерывно расширяется.» Что такое математика ? 1954: «Математика (греч. μαθηματιאα, от μαθημα – значение, наука) – наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.»

Лев Дмитриевич Кудрявцев (1923 г.р.) Что такое математика ? (1980) «Чистая математика – это наука, изучающая спе- циальные логические структуры, называемые математическими структурами, у которых описа- ны определённые отношения между элементами.» (2009) «Математика изучает определенного рода логичес- кие понятия и отношения между ними. Для этих по- нятий даются логические определения и постули- руются их связи. Определяются теоретико-множе- ственные, топологические, метрические, геометри- ческие, аналитические, алгебраические и вероятно- стные структуры, которые и представляют собой предмет, изучаемый математикой.» «Математические структуры представляют собой часть информационного поля, которое существует наряду с материальным (физическим) полем. Информационное поле состоит из реально существующих абстрактных фактов. Информационное поле содержит в себе разнообразные логи- ческие (не только математические) структуры, все сведения о материаль- ном (физическом) мире, о законах его развития, взаимодействии его частей, о его прошлом и будущем.»

Что такое математика ? Никола Бурбаки (1937 (?) – 1968 (?) ) «Математика – наука о математических структурах.»

«Математика – наука о структурах, порядке и отношениях, возникшая в процессе развития практики вычислений, измерений и описания форм (реальных и абстрактных) объектов и отношений между ними и основанная на логических доказательствах и численных выкладках.» Что такое математика ? (Д.Х. Муштари, А.Н. Шерстнев, В.А. Бажанов для статьи "Математика" в «Татарской энциклопедии».)

Возвращаясь к математике, мы должны будем признать, что глобальная цель, которую в своей амбиции физика себе несколько раз, хотя и без успеха, стави- ла, в нашей науке вообще не созрела. Любая деятельность, лишённая цели, тем самым теряет и смысл… Не имея цели, математика не может выработать и представления о своей форме, ей остается в качестве идеала ничем не регулируемый рост, а вернее расшире- ние по всем направлениям. Более чем двухтысячелетняя история убеждает нас в том, что математика, по-видимому, не способна сама сформулировать ту конечную цель, которой может направляться ее развитие. Она должна, следовательно, заимствовать её извне. …останется, как мне кажется, только одна возможность: цель математике может дать не низшая сравнительно с нею, а высшая сфера человеческой деятельности - религия. Лекция по случаю официального вручения Хейнемановской премии Гёттингенской Академии наук. Опубликовано в 1973 г. Что такое математика ? Игорь Ростиславович Шафаревич (1923 г.р.)

Что такое математика ? В.И.Арнольд, 2002 «Для Энгельса математика фактически неотличима от физики, она как бы ветвь физики» Ж. ван Хейенорт, 1948 Владимир Игоревич Арнольд (1937 – 2010)

Седрик Виллани (1973 г.р.) Вы себя считаете больше математиком или физиком? Математиком, потому что я думаю как математик. Но мне нравится работать над физическими проблемами. Согласны ли Вы с утверждением В.И. Арнольда, что «математика часть физики»? Думаю, это несколько преувеличенный афоризм, в стиле Владимира его любили в какой-то степени и за такую манеру высказываний. Однако, да, большая часть матема- тики может считаться частью физики. Впрочем, так же, как большую часть физики можно рассматривать как часть математики. Я не согласен с тезисом Арнольда, но, без сомнений, двумя традиционными источниками вдохновения для математики всегда являлись числа и физика. Многие великие математики прошлого (Ньютон, Гюйгенс, Бернулли, Эйлер, Гаусс) были в той же степени физиками, как и математиками. Рассматриваете ли Вы российскую школу как особую часть математического сообщества? Российская школа математики традиционно была одной из лучших в мире, с оригинальными идеями. Одной из ее главных концепций является мысль, что все области математики и даже науки взаимосвязаны. Россиян также отличает дух соревновательности и жестких яростных дискуссий друг с другом. Но эта жесткость споров лишь поверхностная, это способ прийти через дискуссии к более ясному пониманию. Математики из России очень хорошо знают научную литературу прошлого и черпают вдохновение из нее.

(2005) Математика … имеет своеобразный кодекс морали – это доказательство. Мы ограничены необходимостью иметь доказательство. Другой внешний ограничитель – это вкус. Мне кажется, что из всех видов интеллектуальной и духовной деятельности математическое творчество ближе всего к религиозному. Есть общие черты: Неосязаемость того мира, о котором говорит любая религия – и то же самое – математика: он есть (математический мир), но он неосязаем. Понимание религии очень индивидуально. То же самое у математиков. Даже традиция отпущения грехов есть там и там. (Здесь А.М. имел в виду доказательство.) Практический вывод: математику надо поддерживать, как некий вид жречества. _o_vzaimodejstvii_matematiki_i_teoreticheskoj_fiziki/?mark=all Что такое математика ? Анатолий Моисеевич Вершик (1933 г.р.)

Что такое математика ? Герман Вейль (1885–1955) «Вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счете матема- тика, остаётся открытым. Мы не знаем какого- то направления, которое позволит в конце концов найти окончательный ответ на этот во- прос, и можно ли вообще ожидать, что подобный «окончательный» ответ будет когда-нибудь получен и признан всеми математиками.» (Г. Вейль. Сибирский математический журнал, Т. 11, 2)

Адольф Павлович Юшкевич (1906–1993) «Недостаточность принятого за отправное определения Энгельса была ясна А.Н. с самого начала.» «Если меня спросят, что же такое математика, я не сумею ответить.» «Не знаю, возможно ли одной, хотя бы и длинной фразой определить, что же такое математика, если не говорить шутливо, что это предмет, которым занимаются так называемые математики.» (Историко-математические исследования, 35, 1994.) Что такое математика ?

Герман Гюнтер Грассман ( )

Что такое математика ? ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТЬ РЕАЛЬНЫЕ НАУКИ ФИЗИКА ХИМИЯ БИОЛОГИЯ ФОРМАЛЬНЫЕ НАУКИ МАТЕМАТИКА ФИЛОСОФИЯ Д.А. Гудков Математика изучает универсальный интерфейс между реальным миром и нашим сознанием Олег Янович Виро (1949 г.р.)

Жан ван Хейеноорт (1912 – 1986) Ж. ван Хейенорт. Ф. Энгельс и математика. «Природа»,1991, 8, С (Оригинал написан в 1948 г., опубликован в 1986 г.) «Энгельс был столь же незнаком с историей анализа, сколько и с его принципами.»

Жан ван Хейеноорт (1912 – 1986) 1932 – 1939 – личный секретарь и телохранитель Л.Д. Троцкого – секретарь IV Интернационала 1946 – заканчивает университет в Нью-Йорке 1949 – защита диссертации (Ph. D. in mathematics), начинает преподавать математику 1965 – 1977 – преподаёт философию в Колумбийском университете, в университете Брандейс 1977 – 1986 – преподаёт философию в Стэнфордском университете

Жан ван Хейеноорт (1912 – 1986) Ж. ван Хейенорт. Ф. Энгельс и математика. «Природа»,1991, 8, С (Оригинал написан в 1948 г., опубликован в 1986 г.) «Лейбниц – основатель математики бесконечного, по сравнению с которым индуктивный осёл Ньютон является испортившим дело плагиатором.» (Ф.Э., 1875) «Квадратный корень из минус единицы не просто противо- речие, а даже абсурдное противоречие, действительная бессмыслица.» (Ф.Э., 1869) «Во всякой системе с нечётным основанием теряет силу различие чётных и нечётных чисел.» (Ф.Э., 1869) «Математические аксиомы самоочевидны для европейцев, но, конечно, не для бушменов и австралийских негров.» (Ф.Э., 1869)

О периодизации истории математики В.В. Бобынин ( ) А.Н. Колмогоров А.Д. Александров ( ) Д.А. Гудков Дедуктивная математика Современная математика Современная математика Абстрактная математика Современная математика Современная математика Математика переменных величин Математика общих понятий Математика переменных величин Период абстрактно-общей математики Период элементарной математики Период элементарной математики Математика постоянных величин Период конкретно-наглядной математики Индуктивная математика Период зарождения математики Период зарождения математики Момент зарождения Праматематика дворцовых цивилизаций Праматематика дворцовых цивилизаций Праматематика первобытного общества Праматематика первобытного общества t

The End

Я безусловно согласен с Вами, что философия – это не начало, а конец научной работы. А в общем я скажу так: я очень мало сведущ в истории развития философии, но я не могу припомнить ни одного случая, когда бы философия являлась инициатором появле- ния и развития новых плодотворных научных исследований. С.С. Четвериков – В.Н. Сойферу, 9 апреля 1958 г.: Сергей Сергеевич Четвериков (1880 – 1959)