Томский политехнический университет Семестр 8, 2010 год Крицкий Олег Леонидович Лекция 2 Курс: Введение в теорию случайных процессов Тема: Эконометрические модели

В настоящее время все эконометрические алгоритмы разделены на четыре основных класса: 1. Общие положения 1 1) Непрерывные модели – некоторый исследуемый процесс (в том числе и многомерный) рассматривается как стохастический, зависящий от времени и случайной функции (винеровский процесс, процесс Леви). а) Моделирование приращений цены b) Моделирование приращений процентной ставки (модели Рэндлемана – Бартера, Васичека, Кокса – Росса – Ингерсолла, безарбитражные модели Хо – Ли, Халла – Уайта, а также класс моделей форвардной ставки Хисса – Джерроу – Мортона и др.)

2 r(t 0 )=r 0. с начальным условием При этом - форвардная ставка,- риск- нейтральный винеровский процесс. c) Моделирование кредитного риска (следствие a)+b)) dV t =rV t dt+σ V V t dW t, t>0, V 0 =const, Пусть V t –рыночная стоимость компании-заемщика, берущей в кредит сумму D путем выпуска дефолтной облигации со сроком погашения T. Риск дефолта хеджируется опционом покупателя с ценой исполнения V T и стоимостью базового актива D

3 В данном случае - распределение стандартной нормальной СВ. Параметры V T и σ V ненаблюдаемы и определяются из вспомогательных соотношений: E 0 – известный из бухгалтерской отчетности капитал кредитора, – известная волатильность E 0.

4 d) Моделирование приращений волатильности (SV модели или модели стохастической волатильности, включая многомерные) Существует по крайней мере 50 различных модификаций. Самые известные – Хестона (Heston), Халла – Уайта (Hull-White). Самая общая модель e) Аналитическое определение риска (VAR, CVAR,CS) Подробности – ниже (в дискретных моделях)

5 f) Хеджирование и динамическое управление капиталом, репликация Рассматриваемые здесь модели основаны или используют так называемые греческие буквы, формулу Б.-Ш. для опционов и фьючерсов, а так же плотность риск – нейтральной вероятности (равной второй производной от справедливой цены опциона по цене исполнения). Модели позволяют найти риск-нейтральную функцию распределения базового актива по значениям производных на него, вычислить стохастический дисконтирующий фактор ζ t, важный для оценки стоимости будущих инвестиций и уровня стохастической безрисковой процентной ставки и др.

6 2) Дискретные модели – рассматриваются дискретные реализации некоторых непрерывных стохастических процессов (например, волатильности, цены, предельной величины риска, процентной ставки и т.д.) a) Прогнозирование волатильности ( одномерные ARCH, GARCH, многомерные DCC, CCC, BEKK и др.) и дрифта (MA, ARMA, ARIMA, FARMA и др.). Вместо корреляции может быть использована копула (определение – слайд 14).

7 b) Прогнозирование квантилей распределений (и многомерных) - иммитированные ранее дрифты, - иммитированные ранее волатильности и ковариации с) Оценка финансовых рисков (следствие a) и b)) Под «финансовым риском» понимается обобщенная волатильность (матрица ковариаций) или величины (векторы) VAR, CVAR, CS (MVAR, MCVAR, MCS)

8 - матрица центрированных данных L - линейное ортогональное преобразование, Y - некоррелированы d) Факторные модели обработки дискретных данных (часть от с)) Модели позволяют найти линейное ортогональное преобразование и перейти к некоррелированным данным без потери дисперсии

9 e) Модели обработки высокочастотных данных Наиболее перспективное направление в настоящий момент Активно развивается ведущими эконометристами мира. Используются для создания торговых автоматов, для дейтрейдинга, для обработки данных FOREX и тиковых данных котировок. Отслеживаются различные индикаторы поведения. Например, ε – логнормально распределенные шумы для скачков d i n - общее количество котировок за время T Цель применения методов – определить величину скачков цен

10 N - число всплесков цен за период за время T ξ – стандартно распределенная случайная величина Различают следующие показатели: показатель фактических (RV) и квадратичных колебаний (BV), многостепенную вариацию (MV), двухшкальную (TSRV) и многошкальную фактическую волатильность (MSRV).

11 3) Асимптотические методы – рассматриваются предельные характеристики дискретных реализаций случайных процессов. В рамках метода находят функции распределения и плотности, моменты M (k), а так же оценивают хвостовой индекс. Если же то удается перейти к уравнению ФПК

12 Асимптотические методы позволяют определить некоторые экономические характеристики – пользуясь котировками цен базового актива и фьючерсов, можно вычислить долгосрочную безрисковую процентную ставку инвестиций по активам эмитента, оценить уровень неприятия риска и потребления, а так же найти предельную величину потребления. неприятие риска процентная ставка (из свойства трансляции риска) потребление

1313 MPC t – предельная величина потребления (в долях) W t - капитал инвестора, (руб.*шт.), V t - объем акций, проданный в момент времени t, T – горизонт времени (доли года) δ- отношение текущих трат инвестора к его прибыли (в долях) - стохастическая безрисковая процентная ставка (в долях)

1414 a)Непрерывные модели GARCH a)Модели с использованием копул (многомерных распределений) с некоторыми свойствами 4) Смешанные модели (симбиоз 1)-3)) b) Модели дискретной стохастической волатильности и др. 5) Вероятностные модели b) Модели с использованием байесовского подхода (формула пересчета вероятностей) с) Модели с использованием марковских цепей 6) Численные методы (цепи Маркова, алгоритм Монте – Карло, MCMC, бинарные деревья, свич-методы и др.)

15 Список литературы по теме лекции 1) Крицкий О.Л., Ульянова М.К. Определение многомерного финансового риска портфеля акций// Прикладная эконометрика, 2007, т. 2, 4, с ) Крицкий О.Л., Михальчук А.А., Трифонов А.Ю., Шинкеев М.Л. Теория вероятностей и математическая статистика для технических университетов. I. Теория вероятностей/ Учебное пособие. Томск: изд-во ТПУ, c. 3) Крицкий О.Л., Е.С.Лисок. Асимптотическое оценивание коэффициентов модели стохастической волатильности// Прикладная эконометрика, 2007, т. 2, 2, с. 3 – 12. 4) Крицкий О.Л. Определение справедливых цен акций ОАО ГАЗПРОМ и расчет вероятной будущей стоимости концерна. В кн.: Сборник лучших авторских исследований. М.: изд-во Дейч, МЦФО, с. 222 – 238, 2008 г. 5) Крицкий О.Л. Неприятие риска инвестиций при финансовом кризисе// Экономический анализ: теория и практика, 2009, 20, с ) Крицкий О.Л. Информационная матрица Фишера для многомерного метода динамических условных корреляций DCC-MGARCH(1,1)// Вестник ТГУ: Управление, вычислительная техника и информатика, 2009, 4(9), с ) Крицкий О.Л. Неприятие риска и уровень потребления при инвестировании

16 Список литературы (продолжение) 8) Ильина Т.А., Каменских Д.М., Крицкий О.Л. Расчет безрисковой стохастической процентной ставки и ее применение в модели Блэка–Кокса// Экономический анализ: теория и практика, 2010 г. другие источники См. дополнительный файл