1 Введение 3 Дополнительные сведения 2 Теория 3 Практика Классическое определение Формула Бернулли Генераторы случайных чисел Непрерывные случайные величины Случайные величины Умножение и сложение вероятностей Геометрическое определение вероятности Частота и вероятность Первоначальные понятия и определения Набор задач Вероятностные задачи с решениями (ответы) Занимательная задача. Пари О вероятности Исторические справки Развитие понятия вероятности

"Случай играет в мире столь большую роль, что обыкновенно я стараюсь отвести ему как можно меньше места в уверенности, что и без моей помощи он позаботится о себе." A. Дюма 345 лет назад, в 1657 году, было опубликовано сочинение выдающегося голландского ученого Христиана Гюйгенса "О расчетах при игре в кости", которое является одним из первых исследований в области теории вероятностей Трудно установить, кто впервые поставил вопрос, пусть и в несовершенной форме, о возможности количественного измерения возможности появления случайного события. Ясно только, что более или менее удовлетворительный ответ на этот вопрос потребовал большого времени и значительных усилий выдающихся исследователей целого ряда поколений. Обычно считают, что теория вероятностей возникла в середине XVII столетия, причем ее появление связывают с именами П. Ферма ( ), Б. Паскаля ( ) и Х. Гюйгенса ( ). В работах этих ученых в зачаточном виде фигурировали понятия вероятности случайного события и математического ожидания случайной величины На следующую страницу Пропустить тему На предыдущую страницу К содержанию СПРАВКА К началу темы ВЫХОД

Отправным пунктом исследований являлись задачи, связанные с азартными играми, особенно играми в кости, поскольку при их изучении можно ограничиваться простыми и понятными математическими моделями. Однако ученые понимали важность новых понятий, например, Гюйгенс в сочинении "О расчетах при игре в кости" писал: "...думаю, при внимательном изучении предмета читатель заметит, что имеет дело не только с игрой, но что здесь закладываются основы очень интересной и глубокой теории". Одной из задач, давших начало теории вероятностей, является знаменитый парадокс игры в кости, разрешенный еще в "Книге об игре в кости" Д. Кардано ( ), которая вышла лишь в 1663г. Правильная игральная кость при бросании с равными шансами падает на любую из граней 1, 2, 3, 4, 5, 6. В случае бросания двух костей сумма выпавших чисел заключена между 2 и 12. Как 9, так и 10 из чисел 1, 2,..., 6 можно получить двумя разными способами: 9=3+6= или 9=4+5 и 10=4+6 или 10=5+5. В задаче стремя костями и 9, и 10 получаются шестью способами. Почему тогда 9 появляется чаще, когда бросают две кости, а 10 - когда бросают три? В свое время эту задачу считали очень трудной. Часто и сейчас забывают о необходимости учета порядка выпадения костей. В случае двух костей 9 и 10 могут получиться следующим образом: =3+6, или 9=6+3, или 9=4+5, или =5+4 и 10=4+6, или 10=6+4, или 10=5+5.. Это значит, что при двух костях 9 можно "выбросить" четырьмя способами, а 10 - лишь тремя. Следовательно, здесь шансы получить 9 предпочтительней. В случае трех костей ситуация меняется на противоположную: 9 можно "выбросить" 25 способами, а 10 - уже 26 способами. Потому 10 получается чаще, чем 9 На следующую страницу Пропустить тему На предыдущую страницу К содержанию СПРАВКА К началу темы ВЫХОД

Значительное влияние на развитие теории вероятностей оказали Д. Бернулли ( ), А. Муавр ( ), Т. Байес ( ), П. Лаплас ( ), К. Гаусс ( ), С. Пуассон ( ). Например, Д. Бернулли принадлежит первое доказательство одного из важнейших положений теории вероятностей - так называемого "закона больших чисел". Теорема, которую он доказал, устанавливает связь между вероятностью события и частотой его появления (при достаточно большом числе опытов можно с практической достоверностью ожидать сколь угодно близкого совпадения частоты с вероятностью). Рассмотрим пример бросания монеты, в котором вероятность появления "герба" и "надписи" одинакова и равна 1/2. При десяти бросаниях появление десяти "гербов" или десяти "надписей" очень маловероятно. Но и утверждать, что "герб" выпадет ровно 5 раз, нет достаточных оснований. Более того, утверждая, что "герб" выпадет 4, 5 или 6 раз, мы еще довольно сильно рисковали бы ошибиться. Но при ста бросаниях монеты можно с достаточной уверенностью говорить, что число выпавших "гербов" будет лежать между 40 и 60. Развитие теории вероятностей тесно связано с традициями и достижениями русской науки. Фундаментальные результаты были получены П. Л. Чебышевым ( ), А. М. Ляпуновым ( ), позже большой вклад в ее развитие внесли Е. Е. Слуцкий ( ) и ряд других На следующую страницу Пропустить тему На предыдущую страницу К содержанию СПРАВКА К началу темы ВЫХОД

Мир есть закономерное движение материи, определяющее всеобщую взаимосвязанность явлений, внутреннюю сцепляемость причин и следствий, проявляющуюся в том, что в данных условиях необходимо наступает такое-то событие, а не иное. И все же, не что не происходит без вмешательства случайности, возникающей под воздействием непостоянных причинных связей, изменяющих ход явления при его повторении. Многочисленность и преобладание таких влияний создают "эффект случайности" - сложную, всеобъемлющую закономерность "скрытой предопределенности". Так возникает и, следовательно, существуют случайные явления - совокупности непредсказуемых случайных явлений. Это значит, что существуют специфические закономерности, управляющие однородными массами случайных событий. Открыть закономерность в хаосе событий, найти гармонию в стихии неопределенности, многопричинности и тоже "алгеброй поверить" - вот увлекательный и дерзновенный замысел науки о случайном. Для решения задач, возникающих при изучении массы случайных явлений, потребовалось создание специальных методов, позволяющих глубже анализировать явления с учетом присущих им элементов случайности. Возникла и разветвилась "математика случайного" - наука, которую затем назвали теорией вероятности. Теория вероятностей раскрывает объективные закономерности, присущие массовым явлениям. Ее методы не дают возможности предсказать исход отдельного случайного явления, но позволяют предсказать средний суммарный результат массы однородных случайных явлений. Следовательно, зная законы, управляющие массами случайных явлений, можно добиваться в случае необходимости целенаправленного изменения хода случайных явлений, их контролирования, уменьшения, а если нужно, то увеличения их влияния на практику. На следующую страницу Пропустить тему На предыдущую страницу К содержанию СПРАВКА К началу темы ВЫХОД

Так как понятие вероятности существует во многих науках от физики до биологии, от астрономии до экономики, от медицины до микромира, то оговорю сразу, что в данном электронном учебнике речь идет о математической теории вероятностей. Математическая вероятность - числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях, т. е. характеристика объективно существующей связи между этими условиями и событием. Математическая вероятность является выражением качественно своеобразной связи между случайным и необходимым. При изложении теории вероятностей формулируются в виде аксиом те свойства вероятности, которые на данном этапе развития науки необходимы для ее развития. Однако ни эти аксиомы, ни классический подход к вероятности, ни статистический подход не могут дать исчерпывающее определение реального содержания понятия вероятности, они являются лишь известными приближениями ко все более полному его раскрытию. Далеко не всякое событие, наступление которого при заданных условиях не является однозначно определенным имеет при этом комплексе условий определенную вероятность. Предположение, что при данных условиях для данного события вероятность, т. е. вполне определенная нормальная доля числа появлений данного события при большом числе повторений данных условий, существует, является гипотезой, которая в каждом отдельном вопросе требует специальной проверки или обоснования. Например, имеет смысл говорить о вероятности попадания в цель заданных размеров с заданного расстояния из винтовки известного образца стрелком, вызванным наудачу из определенного воинского подразделения. Однако было бы бессмысленно говорить о вероятности попадания в цель, если об условиях стрельбы ничего не известно. На следующую страницу Пропустить тему На предыдущую страницу К содержанию СПРАВКА К началу темы ВЫХОД

Когда мы подбрасываем монету, мы не знаем, что именно выпадет - "герб" или"решка". Однако кое-что мы все же знаем. Мы знаем, что шансы выпадения как "герба", так и - "решки" одинаковы. Точно так же мы знаем, что одинаковы шансы выпадения любой из шести граней игрального кубика. В обоих примерах равенство шансов связано с симметрией. Симметрична монета, симметричен кубик. Будем называть равновозможными - исходы, имеющие одинаковые шансы. Выпадение "герба" и выпадение "решки" - равновозможные исходы. Предположим, что нас интересует определенный результат бросания игрального кубика, например, выпадение грани с числом очков, делящимся без остатка на три. Будем называть благоприятными исходы, при которых получается этот результат. В данном случае имеем два таких исхода - выпадение тройки и выпадение шестерки. Наконец, будем называть исходы несовместимыми, если при появлении одного из них в единичной испытании, исключается появление другого в том же испытании. Выпадения граней при бросании кубика - несовместные исходы Теперь мы можем сформулировать классическое определение вероятности. Вероятностью события называется отношение числа благоприятных исходов к общему числу несовместных равновозможных исходов. На следующую страницу Пропустить тему На предыдущую страницу К содержанию СПРАВКА К началу темы ВЫХОД

Пусть P(A) - вероятность события A, m(A) - число благоприятный исходов, а n - общее число несовместных равновозможных исходов. На основании этого мы можем ввести главные теоремы теории вероятностей Теорема 1. Вероятность любого события есть неотрицательное число, не превосходящее единицы. Число m случаев, благоприятствующих любому событию, не может быть отрицательным и большим, чем их общее число n, т. е. 0

Пусть событие A - выпадение грани кубика с числом очков, делящимся без остатка на три. В этом случае m(A)=2. Поскольку n=6, то вероятность данного события 1/5, Рассмотрим еще один пример. В мешке находится 15 шаров, различающихся только по цвету (7 белых, 2 зеленый и 6 красных). Вы вытаскиваете наугад один шар. Какова вероятность того, что извлеченный из мешка шар окажется белый? Извлечение белого шара будем рассматривать как событие A, красного - как событие B, зеленого - как событие C. Число исходов, благоприятных для извлечения шара того или иного цвета, равно числу шаров соответствующего цвета m(A)=7, m(B)=6, m(C)=2. Используя формулу классического определения вероятности и учитывая, что n=15, находим, искомые вероятности P(A)=m(A)/n=7/15, P(B)=m(B)=2/5, P(C)=m(C)/n=2/15 Случай, случайность - с ними мы встречаемся повседневно: случайная встреча, случайная поломка, случайная находка, случайная ошибка. Этот ряд можно продолжать бесконечно. Казалось бы, тут нет места для математики - какие уж законы в царстве Случая? Но и здесь наука обнаружила интересные закономерности - они позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встрече со случайными событиями. Всё началось с игры в кости На следующую страницу Пропустить тему На предыдущую страницу К содержанию СПРАВКА К началу темы ВЫХОД

Но прежде, чем рассказать о закономерностях случайности, попытаемся ответить на вопрос: "Что такое азартная игра?". Уверены, что большинство считает - это игра на деньги. Неверно. На деньги можно играть и в теннис, и в шахматы. Теннисисты и шахматисты получают большие гонорары за выигрыши в турнирах. А вот карты - азартная игра. Почему? Потому, что в ней главную роль играет случай - от него зависит, какие именно карты окажутся у партнеров. Или другая игра, где властвует случай - игра в кости. Остановимся на ней подробнее: именно с нее математики начали изучать его величество Случай. Игральная кость, непременный атрибут многих настольных игр - маленький кубик, грани которого помечены цифрами или точками. Проследим, как выпадает шестерка при бросании кубика. Предположим, что кубик совершенно правильный - все его грани абсолютно одинаковы. Если подбрасывать кубик десять раз, то числа могут выпадать примерно в такой последовательности: 1, 5, 2, 2, 5, 4, 1, 6, 5, 5 или в совершенно другой: 6, 5, 4, 6, 5, 1, 2, 3, 6, 5. В первом случае шестерка выпала один раз, а во втором - три раза. Может быть случайность, что шестерка не выпала ни разу или выпала все десять раз. На следующую страницу Пропустить тему На предыдущую страницу К содержанию СПРАВКА К началу темы ВЫХОД

А если подбрасывать кубик не десять раз, а десять тысяч раз? Тогда каждая из граней будет выпадать примерно одинаково часто. Что это значит? Пусть Nk - количество выпадений грани с цифрой k при N бросаниях кубика, тогда отношение Nk/N, которое называется частотой выпадения грани k, будет приблизительно одинаково для всех граней кубика. Поскольку N1+N2+N3+N4+N5+N6 = N, то все частоты будут близки к одной шестой. Сама величина один к шести называется вероятностью, выпадения как шести, так и пяти, четырех и т.д. Событие будем обозначать A - 6, B - от четырех до шести, C - от одного до пяти. Вероятность произвольного события x будем обозначать через P(x). Исход какого-либо испытания, опыта или игры, выражающийся в событии A назовем шансом события A. Например, при бросании игральной кости возможны шесть равновероятных исходов A1, A2, A3, …, A6 - выпадение 1, 2, …6 очков. Пусть событие A означает выпадение четного числа очков, то есть 2, 4 или 6. В этом случае P(A)=3/6=1/2, то есть вероятность P(A) равна отношению числа шансов события A к общему числу равновероятных исходов. Такое определение называется классическим определением вероятности. Итак, если при каких-либо условиях имеются r вероятных исходов и s из них приводят к событию А, то вероятность Р(А) события А равна отношению s/r. На следующую страницу Пропустить тему На предыдущую страницу К содержанию СПРАВКА К началу темы ВЫХОД

В любой науке есть основные понятия, на которые она опирается. Каждое последующее понятие определяется через предыдущие. Но где-то этот процесс определений должен заканчиваться. В "истоке" должны быть первоначальные понятия, которые нельзя определить через другие; они лишь разъясняются, а все остальные сводятся к ним. К таким понятиям в теории вероятностей относятся понятия события и равновозможности. Под событием и будем понимать все то, что может произойти, а может и не произойти. Например: а) первый родившийся в семье ребенок окажется мальчиком; б) наудачу взятое изделие бракованное; в) наудачу взятая монет будет достоинством в 10 копеек; г) в Москве 1 августа 2005 г. выпадут осадки. Событие - не происшествие, а лишь возможный исход опыта, явления или наблюдения. В некоторых играх используется сделанная из однородного материала в виде куба игральная кость, грани которой занумерованы точками. По числу их на верхней грани говорят о числе выпавших очков при подбрасывании игральной кости (одно, два, три, четыре, пять, шесть). В этих условиях указанные шесть событий следует считать равновозможными, так как нет оснований считать, что выпадение какого-нибудь одного числа очков предпочтительнее. Таким образом, равновозможность означает равноправность (симметрию) отдельных исходов испытания относительно некоторого комплекса условий. На следующую страницу Пропустить тему На предыдущую страницу К содержанию СПРАВКА К началу темы ВЫХОД

События обозначают первыми заглавными буквами латинского алфавита: A, B, и т. д. Два события называются несовместимыми, если наступление одного из них исключает возможность наступления другого. В противном случае события называются совместимыми. Пусть, например, студент приобрел билет денежно-вещевой лотереи. Тогда событие A, состоящее в том, что он выиграет автомобиль "Москвич", и событие B, состоящее в том, что он выиграет часы, являются несовместимыми. Для лица, имеющего два билета денежно-вещевой лотереи, события A и B, заключающиеся в том, что он выиграет соответственно по первому и второму билетам, являются совместимыми, так как наступление события A (он выиграл по первому билету) не исключает возможности наступления события B (выиграть по второму билету). Несовместимость более чем двух событий означает их попарную несовместимость. Событие называется достоверным, если оно не может не произойти в условиях данного опыта или явления. Событие называется невозможным, если оно не может произойти при выполнении определенного комплекса условий. Событие, заключающееся в том, что из партии стандартных деталей будет взята стандартная деталь, является достоверным, а нестандартная - невозможным На следующую страницу Пропустить тему На предыдущую страницу К содержанию СПРАВКА К началу темы ВЫХОД

Два события, одно из которых обязательно должно произойти, причем наступление одного исключает возможность наступления другого, называются противоположными. Событие, противоположное событию A, будем обозначать символом ~A. В некотором испытании (явление) события A, B,...X называются единственно возможным, если по крайней мере одно из них обязательно произойдет как исход испытания (явления). Пусть стрелок производит один выстрел по стандартной мишени. При этом возможны такие исходы: -попадание в круг; -попадание в ромб; -попадание не в круг и не в ромб. Эти исходы, очевидно, являются единственно возможными. Мы не говорим и не знаем, равновозможны они или нет. Это другой вопрос, который требует специального рассмотрения. События A, B…X образуют полную систему, если они являются единственно возможными и несовместимыми исходами некоторого опыта (явления). Пусть, например, электрические лампочки по сроку службы разбиты на следующие группы Группа A B C D E Срок службы, ч. До и более На следующую страницу Пропустить тему На предыдущую страницу К содержанию СПРАВКА К началу темы ВЫХОД

Тогда, взятая наудачу лампочка, окажется принадлежащей той или иной группе, что можно рассматривать как события A, B, C, D, E. Эти события образуют полную систему. Любые два противоположных события образуют полную систему. Суммой конечного числа событий называется новое событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них. Произведением конечного числа событий называется новое событие, состоящее в том, что произойдут все эти события. Сумму событий A и B будем обозначать символом A+B, а их произведение - символом AB. Аналогично обозначаются сумма и произведение конечного числа событий. Будем говорить, что событие A влечет событие B, если всякий раз, когда наступает событие A, наступает и B. События A и B называются эквивалентными, если наступление A влечет за собой наступление B, а наступление B влечет наступление A. На следующую страницу Пропустить тему На предыдущую страницу К содержанию СПРАВКА К началу темы ВЫХОД

Какова вероятность того, что наугад извлеченный шар окажется либо зеленым, либо красным? Число благоприятных исходов m(B)+m(C)=6+2=8, поэтому искомая вероятность равна P(B+C)=(m(B)+m(C))/n=8/15. Мы видим, P(B+C)=Р(B)+P(C). Вероятность вытащить либо красный, либо зеленый шар равна сумме двух вероятностей: вероятности вытащить красный и вероятности вытащить зеленый. Вероятность вытащить шар, цвет которого будет либо красным, либо зеленым, либо белым, есть сумма трех вероятностей: P(A)+P(B)+P(C). Она равна единице (7/15+2/5+2/15=1). Это естественно, поскольку рассматриваемая вероятность есть вероятность достоверного события. Правило сложения вероятностей может быть сформулировано следующим образом: вероятность того, что произойдет какое-либо из нескольких несовместных событий, равна сумме вероятностей рассматриваемых событий. Предположим, что подбрасываются одновременно два кубика. Какова вероятность того, что одновременно выпадут две четверки? Общее число несовместных равновозможных исходов n=6*6=36. Имеется только один благоприятный исход (4;4). Следовательно, искомая вероятность равна вероятности выпадения четверки для одного кубика и вероятности выпадения четверки для другого кубика: P(4;4)=P(4)*P(4)=(1/6)*(1/6)=1/36. Правило умножения вероятностей может быть сформулировано следующим образом: вероятность того, что произойдет сразу несколько событий, равна произведению вероятностей этих событий. На следующую страницу Пропустить тему На предыдущую страницу К содержанию СПРАВКА К началу темы ВЫХОД

Исходя из классического определения вероятности и применяя правила сложения и умножения вероятностей, мы можем рассчитать вероятность того или иного случайного события, Какова, однако, практическая ценность подобных расчетов? Что например, означает на практике утверждение, что вероятность выпадения четверки при подбрасывании кубика равна 1/6? Разумеется, это утверждение не означает, что при шести бросаниях четверка должна выпасть один, и только один раз. Возможно, что она выпадет один раз, но возможно также, что она выпадет два (и более) раза или же не выпадет совсем. Чтобы проявилась вероятность, надо проделать большое число бросаний и проследить, насколько часто выпадет четверка. Иными словами, при увеличении числа испытаний частота появления случайного события приближается к его вероятности. Необходимо четко различать понятия вероятности и частости события. Вероятность события вычисляется до опытов и численно выражает меру объективной возможности наступления события, а частость его определяется лишь после того, как результаты опыта становятся известными. Пример. Монета подброшена пять раз. "Герб" выпал два раза. Каковы вероятность и частость выпадения "герба"? Вероятность выпадения "герба" есть 1/2=0,5 (из двух возможных исходов при подбрасывании монеты выпадению "герба" благоприятствует один), а частость выпадения "герба" есть 2/5=0,4 (событие наступило два раза в пяти испытаниях). Существует ли связь между вероятностью и частностью события? Многие исследователи проделали различные эксперименты с целью выяснения этой связи. Практически во всех опытах частость событии в серии из достаточно большого числа испытаний лишь незначительно отличалась от вероятности наступления его в каждом испытании. Опытный факт сближения частости события с вероятностью его находит глубокое обоснование в теореме Д. Бернулли. На следующую страницу Пропустить тему На предыдущую страницу К содержанию СПРАВКА К началу темы ВЫХОД

Предположим, что два человека условились о встрече в некотором месте между девятью и десятью часами. Они договорились, что каждый ждет другого в течение четверти часа, а затем уходит. Какова вероятность, что они встретятся? Пусть x - момент прихода одного человека на место встречи, а y - момент прихода другого человека. Точку на плоскости с координатами (x;y) будем рассматривать как один из исходов встречи. Все возможные исходы лежат в площади квадрата, сторона которого соответствует промежутку времени длительности в один час. Исход будет благоприятным (встреча состоится), если точка (x;y) такова, что ¦x;y¦

Наше XX столетие показало необходимость формализации понятия случайной величины на базе современных представлений математики, а также исключительную важность его для научных и непосредственных практических целей. Предположим, что в некоторой партии из 100 изделий забраковано 11 изделий, в другой же партии - 9 изделий, в третьей - 10 изделий, в четвертой - 12 изделий. И так далее... Обозначим через n полное число изделий в партии, а через m число бракованных изделий. Величина n постоянна (здесь n=100), величина m изменяется от партии к партии случайным образом. Будем полагать, что существует определенная вероятность появления m бракованных изделий в наугад выбранной партии из n изделий. Количество бракованных изделий (величина m) является примером случайной величины. Это есть величина, значения которой изменяются случайным образом от одного испытания к другому, причем каждое значение реализуется с той или иной вероятностью. Речь идет о дискретной случайной величине, т. е. величине, возможные значения которой образуют дискретный набор чисел (в данном случае целочисленные значения от 1 до 100). Существуют также непрерывные случайные величины. Например, рост и вес новорожденных изменяются случайно от одного ребенка к другому, принимая любые значения в некотором интервале. Рассмотрение непрерывных случайных величин имеет свои особенности На следующую страницу Пропустить тему На предыдущую страницу К содержанию СПРАВКА К началу темы ВЫХОД

Непрерывная величина принимает бесконечное множество значений, которые сплошь заполняют некоторый промежуток. Принципиально невозможно перечислить все значения такой величины хотя бы уже потому, что нельзя указать два соседних значения (подобно тому как нельзя указать на числовой оси две соседние точки). Кроме того, вероятность каждого конкретного значения непрерывной случайной величины равна нулю. Может ли равняться нулю вероятность возможного события? Равная нулю вероятность имеет невозможное событие. Оказывается, что и возможные события, могут иметь нулевую вероятность. Представление о событии, являющемся возможным и в то же время обладающим нулевой вероятностью, может показаться парадоксальным. В действительности же никакого парадокса нет. С подобными ситуациями вы наверняка знакомы. Рассмотрим одну из них в качестве примера. Пусть тело объемом V имеет массу M. Выделим внутри тела точку A и рассмотрим некоторый объем V1, включающей эту точку. Будем постепенно уменьшать выделяемые внутри тела объемы, следя за тем, чтобы точка A все время оставалась внутри них. Мы получим последовательность объемов, стягивающиеся к точке A: V, V1, V2, V3, и соответствующую последовательность уменьшающихся масс: M, M1, M2, M3. В пределе при стягивании объема к точке A масса обратится в нуль. Мы видим, что тело определенной массы состоит из точек с нулевой массой. Иными словами, ненулевая масса тела есть сумма бесконечного числа нулевых масс его отдельных точек На следующую страницу Пропустить тему На предыдущую страницу К содержанию СПРАВКА К началу темы ВЫХОД

Положим в ящик десять одинаковых шаров, помеченными цифрами от 0 до 9. Вынем наугад один из шаров и отметим его цифру. Пусть это будет цифра 5. Затем вернем шар в ящик, хорошо перемешаем шары и вновь вынем наугад один шар. Предположим, что выпала цифра 1. Запишем ее, вернем шар в ящик, перемешаем шары, и снова вынем наугад один шар. Предположим, что выпала цифра 2. Повторяя эту операцию много раз, мы получаем неупорядоченный набор цифр, например такой: 5, 1, 2, 7, 2, 3, 0, 2, 1, 3, 9, 2, 4, 4, 1, 3. Неупорядоченность набора связана с тем, что каждая цифра выпадала случайно. Ведь всякий раз шар вынимали наугад из хорошо перемешанной совокупности одинаковых шаров. Имея набор случайных цифр, можно составить набор случайных чисел. Будем рассматривать, например, четырехзначные числа. В этом случае достаточно разбить полученный набор случайных цифр на группы и рассматривать каждую группу как одно из этих чисел: 5127, 2302, 1392, Устройство для получения наборов случайных чисел называют генератором случайных чисел. Различают три типа таких генераторов: урны, кости, рулетки. Рассмотренный только что ящик с шарами представляет собой одну из разновидностей урн. Другая разновидность - лототрон, используемый в телепередачах спортлото. Наиболее просто устроены генераторы случайных чисел, относящиеся к типу "кости". Примерами таких генераторов являются подбрасываемый кубик, грани которого помечены разными цифрами, подбрасываемая монета (или жетон) и т. д. На следующую страницу Пропустить тему На предыдущую страницу К содержанию СПРАВКА К началу темы ВЫХОД

Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события A одна и та же и равна p, то вероятность того, что событие A появится в этих n испытаниях m раз, выражается формулой Бернулли. Pm,n=Cn*pm*qn-m где q=1-p. Таким образом, P0(n)=qn, P1(n)=n*p*qn-1, P2(n)=((n*(n- 1)/1*2)/p2*qn-2,..., Pn(n)=pn. Число m0 называется наивероятнейшим числом наступлений события A в n испытаниях, если значение Pm,n при m=0 не меньше остальных значений Pm,n т. е. Pm0,n>Pmi при mi>

В столовой дома отдыха зашла за обедом речь о том, как вычисляется вероятность событий. Молодой математик, оказавшийся среди обедающих, вынул монету и сказал: - Кидаю монету на стол, не глядя. Какова вероятность, что она упадет гербом вверх? -Объясните сначала, что значит "вероятность", - раздались голоса. - О, это очень просто! Монета, может лечь на стол двояко: гербом вверх или гербом вниз. Всех случаев здесь возможно только два. Из них для интересующего нас события благоприятен лишь один случай. Теперь находим отношение числа благоприятных случаев к числу возможным случаев. Это будет 1/2. Дробь 1/2 и выражает "вероятность" того, что монета упадет гербом вверх. - С монетой-то просто - вмешался кто-то. - А вы рассмотрите случай посложней, с игральной костью, например. - Давайте, рассмотрим, - согласился математик. - У нас игральная кость, кубик с цифрами на гранях. Какова, вероятность, что брошенный кубик упадет определенной цифрой вверх, скажем вскроется шестеркой? Сколько здесь возможных случаев? Кубик может лечь на любую из своих шести граней, значит возможно всего 6 случаев. Из них благоприятен нам только один. Итак, вероятность получится от деления 1 на 6. Короче говоря, она выражается дробью 1/6. На следующую страницу На предыдущую страницу К содержанию СПРАВКА К началу темы ВЫХОД

Неужели можно вычислить вероятность во всех случаях? - спросила одна из отдыхающих. - Возьмите такой пример. Я загадала, что первый прохожий, которого мы увидим из окна столовой, будет мужчина. Какова вероятность, что я отгадала? -Вероятность, очевидно, равна половине, если только мы условимся и годовалого мальчика считать за мужчину. - А какова вероятность, что первые двое прохожих окажутся мужчинами? - спросил кто-то. - Этот расчет немногим сложнее. Перечислим, какие здесь возможны случаи. Во-первых, возможно, что оба прохожих будут мужчины. Во- вторых, что сначала, покажется мужчина, а за ним - женщина. В- третьих, наоборот: раньше появится женщина, потом мужчина. И, наконец, четвертый случай: оба, прохожих - женщины. Итак, число всех возможных случаев - 4. Из них благоприятен только один случай - первый. Получаем для вероятности дробь 1/4. Вот ваша задача и решена. - Понятно, но чему же она равна, например, для десятка прохожих? -Вычислим, как велико произведение десяти половинок. Это 1/1024. менее одной тысячной доли. Значит, если вы бьетесь об заклад, что это случится, и ставите 1 рубль, то я могу ставить 1000 рублей за то, что это не произойдет. -- Выгодное пари! - заявил чей-то голос. - Я бы охотно поставил рубль, чтобы получить возможность выиграть целую тысячу. - Но имеется тысяча шансов против вашего одного, учтите и это. -Ничего не значит. Я бы рискнул рублем против тысячи даже и за то, что сотня прохожих окажутся все подряд мужчинами. На следующую страницу На предыдущую страницу К содержанию СПРАВКА К началу темы ВЫХОД

- Выгодное пари! - заявил чей-то голос. - Я бы охотно поставил рубль, чтобы получить возможность выиграть целую тысячу. - Но имеется тысяча шансов против вашего одного, учтите и это. - Ничего не значит. Я бы рискнул рублем против тысячи даже и за то, что сотня прохожих окажутся все подряд мужчинами. - А вы представляете себе, как мала вероятность такого события? - спросил математик. - Одна миллионная или что-нибудь в этом роде? - Неизмеримо меньше! Миллионная доля получится уже для 20 прохожих. Для сотни прохожих будем иметь... Дайте-ка, я прикину на бумажке. Биллионная... Триллионная... Квадриллионная... Ого! Единица с тридцатью нулями! - Только и всего? - Вам мало 30 нулей? В океане нет и тысячной доли такого числа мельчайших капелек. - Внушительное число, что и говорить! Сколько же вы поставите против моего рубля? - Все, что у меня есть. - Все - это слишком много. Ставьте же на кон ваш велосипед. Ведь не поставите? - Почему же нет? Пожалуйста! Пусть велосипед, если желаете. Я нисколько не рискую. - И я не рискую. Не велика сумма рубль. Зато могу выиграть велосипед, а вы почти ничего. - Да поймите же, что вы наверняка, проиграете! Велосипед никогда вам не достанется, а рубль ваш можно сказать уже в моем в кармане. На следующую страницу На предыдущую страницу К содержанию СПРАВКА К началу темы ВЫХОД

- Что вы делаете! - удерживал математика приятель. - Из-за рубля рискуете велосипедом. Безумие! -Нет, напротив, - ответил математик - безумие ставить хотя бы один рубль при таких условиях. Верный ведь проигрыш! Уже лучше прямо выбросить рубль. - Но один-то шанс все же имеется? - Одна капля в целом океане. В десяти океанах! Вот ваш шанс. А за меня десять океанов против одной капельки. Мой выигрыш так же верен, как дважды два - четыре. - Увлекаетесь, молодой человек, - раздался спокойный голос старика, все время слушавшего спор. - Увлекаетесь. - Как? И вы, профессор, рассуждаете по обывальски? - Подумали ли вы о том, что не все случаи здесь равновозможны? Расчет вероятности правилен лишь для каких событий? Для равновозможных, не так ли? А в рассматриваемом примере... Впрочем, - сказал старик, прислушиваясь, - сама действительность, кажется, сейчас разъяснит вам вашу ошибку. Слышна военная музыка, не правда ли? - Причем тут музыка?... - начал было молодой математик и осекся. На лице его выразился испуг. Он сорвался с места, и бросился к окну и высунул голову. - Так и есть! - донесся его унылый возглас. - Проиграно пари! Прощай мой велосипед... Через минуту всем стало ясно, в чем дело. Мимо окон проходил батальон солдат. На следующую страницу На предыдущую страницу К содержанию СПРАВКА К началу темы ВЫХОД

Игрок подкидывает одновременно три игральных кости. Какова вероятность того, что одновременно выпадут три шестерки? Следующая задача Пропустить тему Предыдущая задача К содержанию СПРАВКА Посмотреть ответ ВЫХОД

Решение Общее число несовместных равновозможных исходов n=6x6x6=216. Имеется только один благоприятный исход (6;6;6). Следовательно, искомая вероятность равна вероятности выпадения шестерки для первого кубика и вероятности выпадения шестерки для второго и третьего кубика: P(6;6)=P(6)xP(6)=(1/6)x(1/6)=1/216 Следующая задача Пропустить тему Предыдущая задача К содержанию СПРАВКА ВЫХОД Ответ: вероятность равна 1/216

Имеются 6 одинаковых урн. В одной из них содержится 2 белых и 1 черный шар, в двух других - по 3 белых и по 2 черных шара, а остальных трех урнах - по 2 черных и по одному белому шару. Наудачу вынимается урна, и из нее наудачу вынимается шар. Чему равна вероятность того, что этот шар окажется белым (обозначим это событие за B)? Следующая задача Пропустить тему Предыдущая задача К содержанию СПРАВКА Посмотреть ответ ВЫХОД

Введем три дополнительных события: A1 - выбранная урна имеет 2 белых и 1 черный шар; A2 - выбранная урна - имеет 3 белых и 2 черных шара; A3 - выбранная урна содержит 1 белый и 2 черных шара. Теперь ясно, что P(A1)=1/6, P(A2)=1/3, P(A3)=1/2 и P(B/A1)=2/3, P(B/A2)=3/5, P(B/A3)=1/3. Отсюда, P(B)=(1/6)*(2/3)+(1/3)*(3/5)+(1/2)*(1/3)=43/ 90. Следующая задача Пропустить тему Предыдущая задача К содержанию СПРАВКА ВЫХОД

В ящике 10 пронумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превышает 10? Следующая задача Пропустить тему Предыдущая задача К содержанию СПРАВКА Посмотреть ответ ВЫХОД

Так как номер любого шара, наводящегося в ящике, не превышает 10, то число случаев, благоприятствующий событию A, равно числу всех возможный случаев, т.е. m=n=10 и P(A)=1. В этом случае событие A достоверно Следующая задача Пропустить тему Предыдущая задача К содержанию СПРАВКА ВЫХОД

В урне 15 шаров: 5 белых и 10 черных. Какова вероятность вынуть из урны синий шар? Следующая задача Пропустить тему Предыдущая задача К содержанию СПРАВКА Посмотреть ответ ВЫХОД

Т. к. синих шаров в урне нет, т. е. m=0, а n=15. Следовательно, P(A)=0/15=0. В данном случае событие A - невозможное. Следующая задача Пропустить тему Предыдущая задача К содержанию СПРАВКА ВЫХОД

Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,75, для второго - 0,8, для третьего - 0,9. Определить вероятность того, что все три стрелка одновременно попадут в цель. Следующая задача Пропустить тему Предыдущая задача К содержанию СПРАВКА Посмотреть ответ ВЫХОД

Так как P(A)=0,75, P(B)=0,8, P(C)=0,96, то P(ABC)=0,750*0,8*0,9=0,54 Посмотреть все задачи Следующая задача Пропустить тему Предыдущая задача К содержанию СПРАВКА ВЫХОД

Задача 6. В условиях предыдущей задачи определить вероятность того, что в цель попадает хотя бы один стрелок. Задача 7. В теннисном турнире участвуют 8 игроков. Номер, вытаскиваемый игроком наудачу, определяет его положение в турнирной таблице (в первый тур попадают восемь участников, во второй - 4, в финал - 2, а затем определяется победитель). Предположим, что лучший игрок всегда побеждает второго по мастерству, а тот в свою очередь занимает второе место. Какова вероятность того, что это место займет второй по мастерству игрок? Задача 8. Мэрвин кончает работу в случайное время между 15 и 17 часами. Его мать и его невеста живут в противоположных частях города. Мэрвин садится в первый подошедший к платформе поезд, идущий в любом направлении, и обедает с той из дам, к которой он приедет. Мать Мэрвина жалуется на то, что он редко у нее бывает, но юноша утверждает, что его шансы обедать с ней и с невестой равны. Мэрвин обедал с матерью дважды в течение 20 рабочих дней. Объясните это явление. На следующую страницу На предыдущую страницу К содержанию СПРАВКА К началу темы ВЫХОД

Задача 9. Три узника A, B, и C, одинаково хорошего поведения ходатайствовали об освобождении на поруки. Администрация решила освободить только двух из трех, что стало известно узникам, которые, однако, не знают, кто именно эти двое. У заключенного A в охране есть друг, который знает, кого отпустят на свободу, но A считает неэтичным осведомиться у охранника, будет ли он освобожден. Все же A хочет спросить об имени одного узника, отличного от самого A, который будет отпущен на свободу. Прежде чем спрашивать, он оценивает вероятность своего освобождения как 2/3. A думает, что если охранник скажет B будет освобожден, то его шансы уменьшаются до 1/2, так как в этом случае освобождены будут либо A, либо B. Однако A ошибается в своих расчетах. Почему? Задача 10. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули подряд 4 шара, причем каждый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Какова вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажутся два белых? Задача 11. Определить вероятность того, что в семье, имеющей пять детей, будет три девочки и два мальчика. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми. Задача 12. В условиях предыдущей задачи определить вероятность того, что среди детей будет не меньше трех девочек На следующую страницу На предыдущую страницу К содержанию СПРАВКА К началу темы ВЫХОД

Задача 13. Вероятность попадания стрелком в цель равна 0,7. Сделано 25 выстрелов. Определите наивероятнейшее число попаданий в цель. Задача 14. В результате многолетних наблюдений установлено, что вероятность выпадения осадков в данном городе равна 1/7. Определите наивероятнейшее число дождливых дней 1 октября в городе за 40 лет. Задача 15. В урне 10 белых и 40 красных шаров. Вынимают подряд 14 шаров, причем цвет вынутого шара регистрируют, а затем шар возвращают в урну. Определить наивероятнейшее число появление белого шара. Задача 16. Играются шесть партий между двумя шахматистками Аней и Лизой. Считаются только победы и поражения. В случае ничьей партия не имеет порядкового номера и переигрывается. Вероятность выигрыша каждой отдельной партии Аней равна 2/3. Вероятность выигрыша каждой отдельной партии Лизой равна 1/3. Чему равна вероятность выигрыша всей игры Аней, Лизой и ничейного результата? Задача 17. В жюри из трех человек два члена независимо друг от друга принимают правильное решение с вероятностью p, а третий для вынесения решения бросает монету (окончательное решение выносится большинством голосов). Жюри из одного человека выносит справедливое решение с вероятностью p. Какое из этих жюри выносит справедливое решение с большей вероятностью На следующую страницу На предыдущую страницу К содержанию СПРАВКА К началу темы ВЫХОД

Задача 18. В одной из популярных в Америке игр игрок бросает монету с достаточно большого расстояния на поверхность стола, разграфленную на однодюймовые квадраты. Если монета (3/4 дюйма в диаметре) попадает полностью внутрь квадрата, то игрок получает награду, в противном случае он теряет свою монету. Каковы шансы выиграть при условии, что монета упала на стол? Задача 19. Про некоторую семью известно, что там двое детей, причем один из них мальчик. Что более вероятно: что второй ребенок является мальчиком (М) или девочкой (Д)? Пусть в семье двое детей перечисляя их, будем сначала указывать старшего ребенка, а затем младшего (мы исключаем, семьи с близнецами). На следующую страницу На предыдущую страницу К содержанию СПРАВКА К началу темы ВЫХОД

Вероятностные представления достаточно широко использовались уже древнегреческими философами С. Демокритом, Эпикуром, Лукрецием Каром и др., но считается что теория стала развиваться лишь с середины XVII века - в работах французских ученых Б. Паскаля и П. Ферма, когда Паскаль и Ферма независимо друг от друга дали правильное объяснение так называемого парадокса раздела ставки. Два игрока играют в "безобидную" игру (т.е. шансы победить у обоих одинаковы), договорившись, что тот, кто первым выигрывает шесть партий, получит весь приз. Предположим, что игра остановилась до того, как один из них выиграл приз (например, первый игрок выиграл пять партий, а второй - три). Как справедливо разделить приз? Хотя, вообще говоря, данная проблема не является парадоксом, безуспешные попытки некоторых видных ученых ее решить, а также неверные ответы создали легенду о парадоксе. Так, согласно одному решению следовало разделить приз в отношении 5:3, т.е. пропорционально выигранным партиям, согласно другому - в отношении 2:1 (здесь рассуждения велись, по всей видимости, следующим образом: поскольку первый игрок выиграл на две партии больше, что составляет третью часть от необходимых для победы шести партий, то он должен получить одну треть от приза, а оставшуюся часть нужно разделить пополам). А между тем делить надо в отношении 7:1. На следующую страницу На предыдущую страницу К содержанию СПРАВКА К началу темы ВЫХОД Пропустить тему

И Паскаль, и Ферма рассматривали парадокс раздела ставки как задачу о вероятностях, установив, что справедливым является раздел, пропорциональный шансам первого игрока выиграть приз. Предположим, первому игроку осталось выиграть только одну партию, а второму для победы необходимо выиграть еще три партии, при чем игроки продолжают игру и играют все три партии, даже если некоторые из них окажутся лишними для определения победителя. Для такого продолжения все 23=8 возможных исходов будут равновероятными. Так как второй игрок получает приз только при одном исходе (если он выиграл все три партии), а в остальных случаях побеждает первый игрок, справедливым является отношение 7:1. Также теорией вероятностей занимались голландский ученый X. Гюйгенс и швейцарский Д. Бернулли. Классическое определение вероятности случайного события было сформулировано в знаменитом труде "Наука предположений" известного швейцарского математика Д. Бернулли. Окончательно это определение оформилось позднее - в работах П. Лапласа. Геометрическое определение вероятности стали применять в XVIII веке. Существенный вклад в развитие теории вероятностей внесла русская математическая школа в XIX веке (П. Л. Чебышев, А. А. Марков, А. М. Ляпунов.) На следующую страницу На предыдущую страницу К содержанию СПРАВКА К началу темы ВЫХОД

На следующую страницу На предыдущую страницу К содержанию Следующий К началу темы ВЫХОД СПРАВКА Христиан Гюйгенс диаметру (вычисление числа пи). Затем последовал ряд других математических трактатов. Его сочинение "О расчетах при игре в кости", опубликованное в 1657 году, является одним из первых исследований в области теории вероятностей. Работы выдающегося голландского ученого, создателя волновой теории света Христиана Гюйгенса ( ) относятся к механике, физике, математике, астрономии. В 1651 году Гюйгенс опубликовал работу об определении длины дуг окружности, эллипса и гиперболы. Через три года появился его труд "Об определении величины окружности", который способствовал развитию теории определения отношения длины окружности к диаметру (вычисление числа пи). Работы выдающегося голландского ученого, создателя волновой теории света Христиана Гюйгенса ( ) относятся к механике, физике, математике, астрономии. В 1651 году Гюйгенс опубликовал работу об определении длины дуг окружности, эллипса и гиперболы. Через три года появился его труд "Об определении величины окружности", который способствовал развитию теории определения отношения длины окружности к

На следующую страницу На предыдущую страницу К содержанию Следующий К началу темы ВЫХОД СПРАВКА Затем последовал ряд других математических трактатов. Его сочинение "О расчетах при игре в кости", опубликованное в 1657 году, является одним из первых исследований в области теории вероятностей. Много работал он и над усовершенствованием объективов астрономических труб. В 1655 году Гюйгенс с помощью сделанного им объектива открыл спутник планеты Сатурн - Титан и определил период его обращения вокруг этой планеты. Данное открытие описано ученым в сочинении "Наблюдение Луны Сатурна". Астрономические наблюдения потребовали точного и удобного способа измерения времени, чего не могли дать существовавшие тогда конструкции часов. Первые шаги в усовершенствовании измерения времени сделал великий итальянский физик и астроном Галилео Галилей ( ). А изобретение маятниковых часов принадлежит Гюйгенсу. Его заслуга состоит в том, что он создал так называемый спуск, который, находясь под действием силы завода, при каждом колебании маятника приходит ему на помощь на очень короткое время, и потому движение маятника может продолжаться, пока действует сила завода часов. Свое изобретение Гюйгенс описал в небольшой работе "Маятниковые часы", вышедшей в 1658 году. Значение данного изобретения в истории техники трудно переоценить (часы являются первым созданным для практических целей автоматом). Исследования в области точной механики Гюйгенс сочетал с наблюдениями Сатурна и пришел к важному открытию. Еще в 1612 году Галилей, используя телескоп с 32-кратным увеличением, заметил, что Сатурн имеет вид диска с двумя плотно прилегающими к нему спутниками. В последующие годы многие астрономы безуспешно искали объяснения "загадки" Сатурна.

На следующую страницу На предыдущую страницу К содержанию Следующий К началу темы ВЫХОД СПРАВКА Гюйгенс наблюдал Сатурн в телескоп со 100-кратным увеличением и, сопоставив полученные данные с данными предшественников, установил, что планета окружена тонким кольцом, которое нигде к ней не прилегает. Все наблюдения вместе с анализом условий видимости кольца для земного наблюдателя описаны ученым в 1659 году в сочинении "Система Сатурна". В предисловии к работе Гюйгенс отмечал, что его открытие говорит в пользу "той изумительной системы, которую называют именем Николая Коперника" ( ), подчеркивая этим свое признание гелиоцентрической системы мира. В этой же работе Гюйгенс дал первое описание туманности в созвездии Ориона и сообщил о полосах на поверхностях Юпитера и Марса. Благодаря трудам по математике, механике и астрономии Гюйгенс получил широкую известность в научных кругах. Он являлся первым иностранным членом английской академии (так называемого Лондонского королевского общества). В 1665 году при основании Парижской академии Гюйгенс был приглашен в Париж в качестве ее председателя, где прожил безвыездно 16 лет (с 1665-го по 1681 год). Здесь в 1673 году вышло второе, расширенное издание "Маятниковых часов". Новые разделы книги Гюйгенс посвятил исследованию ряда интересных проблем математики и физики, связанных с движением маятника.

На следующую страницу На предыдущую страницу К содержанию Следующий К началу темы ВЫХОД СПРАВКА Паскаль Блез Паскаль Блез ( Клермон-Ферран , Париж) французский религиозный философ, писатель, математик и физик. Его именем названа единица давления (паскаль) и популярный язык программирования. Блез Паскаль изобрел обыкновенную тачку и механическое вычислительное устройство - суммирующую машину, которая позволяла складывать шестизначные числа в десятичной системе счисления. Принцип связанных колес, примененный в этой машине, использовался в большинстве вычислительных устройств на протяжении следующих трех столетий. Паскаль пытался обобщить выводы Торричелли. Он использовал трубки различных форм, заполнял их различными жидкостями и устраивал публичные демонстрации. Однако чрезмерное усердие привело к серьезному недугу. В 1647 Паскаль вернулся в Париж, встречался с Рене Декартом и опубликовал "Новые опыты, касающиеся пустоты". В конце 1647 он просит своего зятя, Флорена Перье, провести барометрические испытания у подножия и на вершине горы Пюи-де- Дом, возвышавшейся над Клермон-Ферраном. Эти знаменитые эксперименты, проведенные лишь в сентябре 1648, открыли путь систематическим исследованиям в области гидродинамики и гидростатики, которые разрушили старые представления о том, что природа "боится" пустоты. В ходе этих экспериментов

На следующую страницу На предыдущую страницу К содержанию Следующий К началу темы ВЫХОД СПРАВКА Паскалю удалось сделать ряд изобретений (в частности, шприца и гидравлического пресса) и внести усовершенствования в конструкцию барометра. Гидравлический пресс действовал на основе физического закона, впервые сформулированного Паскалем и носящего его имя: при действии поверхностных сил давление во всех точках внутри жидкости одинаково. Самая глубокая научная работа Паскаля, "Трактат о пустоте", не была опубликована; после его смерти были обнаружены только ее фрагменты. Будучи блестящей защитой прогресса науки, призывая к автономности науки по отношению к философии и утверждая ценность строгого экспериментального метода, эта работа также содержит мысль, что «человек предназначен для бесконечности». Блезу Паскалю принадлежит идея создания первого вида регулярного городского транспорта - омнибуса, а философские мысли Блеза Паскаля, изложенные в книге "Мысли" оказывали влияние на многих выдающихся людей и, в частности, на великих русских писателей - И. С. Тургенева, Ф. М. Достоевского, Л. Н. Tолстого. Блез Паскаль и Пьер Ферма стали основателями теории вероятностей. Наиболее популярной математической работой Паскаля является "Трактат об арифметическом треугольнике", образованном биноминальными коэффициентами (треугольник Паскаля). А вот знаменитая кривая 4-го порядка "улитка Паскаля" названа так в честь отца Блеза Паскаля - Этьена, который совмещал государственную службу (он был сборщиком налогов) с занятиями математикой. Труды, содержащие изложенный в геометрической форме интегральный метод решения ряда задач на вычисление площадей фигур, объёмов и площадей поверхностей, а также др. задач, связанных с циклоидой явились существенным шагом в развитии анализа бесконечно малых.

На следующую страницу На предыдущую страницу К содержанию Следующий К началу темы ВЫХОД СПРАВКА Ферма Пьер Ферма Пьер ( , Бомон-де-Ломань, , Кастр), французский математик. Французский математик, создатель теории чисел и один из основателей математического анализа. Будучи по профессии юристом, состоял на государственной службе: с 1631 по 1648 был уполномоченным по приему прошений, а с 1648 и до конца жизни – советником парламента Тулузы. Был известен как знаток классической литературы, лингвист и поэт. Математика всегда была для Ферма лишь увлечением, и тем не менее он заложил основы многих ее областей: аналитической геометрии, исчисления бесконечно малых, теории вероятностей. Ферма не оставил ни одной законченной работы, и большинство его набросков не было опубликовано при жизни. Ферма переписывался с Р. Декартом по вопросам аналитической геометрии и был первым, кто воспользовался ее методами применительно к трехмерному пространству. С именем Ферма связаны две знаменитые теоремы из области теории чисел: малая теорема Ферма и "великая" теорема Ферма, о которой на полях трудов Диофанта он написал: "Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но эти поля слишком малы для него"

На следующую страницу На предыдущую страницу К содержанию Следующий К началу темы ВЫХОД СПРАВКА Пафнутий Львович Чебышев Во главе русской математики середины и второй половины XIX века стоял Пафнутий Львович Чебышев ( ). Чебышев был воспитанником Московского университета, который он окончил в 1841 году. В этом учебном заведении Чебышев защитил и магистерскую диссертацию "Опыт элементарного анализа теории вероятностей", и данная область стала одним из основных предметов его научных занятий. Таким образом, в Москве начинал формироваться новый центр математических исследований. Позже, в 1860-е годы, на базе кружка математиков и механиков, собиравшихся у учителя Чебышева по университету профессора Н. Д. Брашмана, образовалось Московское математическое общество. Чебышев поддерживал начинания подобного рода, однако участия в их организации не принимал, поскольку в 1847 году переехал в Петербург, где работал до своей кончины. Тридцать пять лет он читал лекции в Петербургском университете, являясь уже с 1853 года членом Академии наук. Преподавательская деятельность Чебышева была весьма плодотворной, причем он продолжал опекать своих учеников и по окончании ими университетского курса..

На следующую страницу На предыдущую страницу К содержанию Следующий К началу темы ВЫХОД СПРАВКА "Одною из незабвенных заслуг Чебышева как учителя русских математиков было то, что он своими работами и указаниями в ученых беседах наводил своих учеников на темы для самостоятельных исследований и обращал их внимание на такие вопросы, занятия которыми всегда приводили к более или менее ценным результатам", - отмечали его воспитанникиСлаву видного математика создали Чебышеву уже первые его работы по теории чисел - докторская диссертация "Теория сравнений" (1849 г.), представляющая собой оригинальный курс теории чисел, и приложение к ней. В интегральном исчислении Чебышев первый доказал теорему об интегрируемости так называемых дифференциальных биномов только в тех трех случаях, которые были, по существу, известны еще Ньютону. В теории вероятностей к заслугам Чебышева относятся, в частности, обобщение закона больших чисел, введение метода моментов, центральная предельная теорема для сумм независимых случайных величин. Он не раз читал курс теории вероятностей в Петербургском университете, причем заинтересовал ею самых выдающихся своих учеников А. А. Маркова ( ) и А. М. Ляпунова ( ), которые тоже внесли существенный вклад в эту науку. В значительной мере благодаря трудам школы Чебышева, теория вероятностей, развиваясь в связи с запросами естествознания и прикладных наук, смогла достичь положения ведущей математической дисциплины.

На следующую страницу На предыдущую страницу К содержанию Следующий К началу темы ВЫХОД СПРАВКА Даниил Бернулли Даниил Бернулли - швейцарский математик и механик. В он работал в Петербургской АН сначала на кафедре физиологии, а затем механики. Впоследствии он состоял почётным членом Петербургской АН, опубликовал (с ) в её изданиях 47 работ. Профессор в Базеле по физиологии (1733) и по механике (1750). В математике Даниилу Бернулли принадлежат: метод численного решения алгебраических уравнений с помощью возвратных рядов, работы по обыкновенным дифференциальным уравнениям, по теории вероятностей с приложением к статистике народонаселения и, отчасти, к астрономии, по теории рядов. В работах, завершенных написанным в Петербурге трудом "Гидродинамика" (1738), вывел основное уравнение стационарного движения идеальной жидкости, носящее его имя. Даниил Бернулли разрабатывал кинетические представления о газах.

На следующую страницу На предыдущую страницу К содержанию К началу темы ВЫХОД СПРАВКА А. Н. Колмогоров Многие друзья и коллеги говорили, что в Колмогорове все чрезвычайно. Чрезвычайна многомерность охвата знаний. Чрезвычайны воплощавшиеся в действия представления о научной этике. Чрезвычайно стремление к самосовершенствованию, к созиданию себя как личности, гармонически развитой как духовно, так и телесно. Последние годы физической неподвижности и телесной немощи были поэтому для него особенно мучительны. Телесная культура была такой же неотъемлемой частью внутреннего мира Колмогорова, как поэзия и музыка, как архитектура, живопись и другие виды пластических искусств. Мало сказать, что он имел обширные и глубокие знания в каждой из этих художественных сфер. В стихах и музыкальных произведениях, зданиях, картинах и скульптурах он видел необходимые условия нормального человеческого бытия, своего рода синхронизаторы или, может быть, лучше сказать, гармонизаторы эмоционального статуса человека. Колмогоров отчетливо ощущал наличие основы "культура" в примелькавшемся словообразовании "физкультура" и с несомненностью считал физическую культуру (именно физическую культуру, а не спорт) необходимым компонентом человеческой культуры вообще. Состязательным спортом Колмогоров, по его собственным словам, не занимался никогда, физическим же упражнениям он уделял, пожалуй, не меньше внимания, чем математическим занятиям.

На следующую страницу На предыдущую страницу К содержанию Следующий К началу темы ВЫХОД СПРАВКА За несколько дней до своего шестидесятилетия, 14 апреля, Андрей Николаевич вместе со своими учениками совершил пятичасовое лыжное путешествие по снегу, воде и земле, после чего выкупался в снегу. А за месяц до своего семидесятилетия, в марте 1973 года, Андрей Николаевич купался в горном озере Севан, разложив одежду на заснеженных камнях. Широта научных интересов и занятий Колмогорова имеет мало прецедентов в XX веке, если вообще имеет таковые. Их спектр простирается от метеорологии (к примеру, Колмогоров был почетным членом Американского метеорологического общества) до теории стиха (список опубликованных стиховедческих работ Колмогорова насчитывает 11 наименований, и их высоко ценили такие видные филологи, как В. М. Жирмунский и Р. О. Якобсон; сам же Колмогоров выступал официальным оппонентом по стиховедческой докторской диссертации М. Л. Гаспарова, ныне академика). К какой бы области знания ни прикоснулся Колмогоров, она, эта область, получала новый импульс развития и уже больше не могла изучаться без учета колмогоровского вклада в нее В своих ранних, еще студенческих работах Колмогоров проявил себя как историк. Его увлекла история Новгорода. Работая в семинаре, который вел в Московском университете видный историк С. В. Бахрушин, он занялся анализом землевладения в Новгородской земле в XV веке. Свои исторические исследования Колмогоров начал в возрасте семнадцати с половиной лет и закончил, когда ему было неполных девятнадцать. Полагали, что результаты этих исследований безвозвратно утеряны; однако после кончины Колмогорова среди его многочисленных бумаг были найдены и его рукописи по истории.

На следующую страницу На предыдущую страницу К содержанию Следующий К началу темы ВЫХОД СПРАВКА Выступая 15 декабря 1989 г. в Московском доме ученых на вечере памяти А. Н. Колмогорова, известный историк, ныне академик В. Л. Янин указал, что эти юношеские работы занимают в исторической науке место, до которого развитие этой науки еще не дошло. Сейчас эти колмогоровские рукописи опубликованы. Все же основной сферой деятельности А. Н. Колмогорова была, конечно, математика. Колмогоров - один из великих математиков XX века. "Всем нам, общавшимся с кругом ученых всего мира, было хорошо известно, что Колмогорова большинство считало крупнейшим математиком своего времени", - отмечает президент Московского математического общества академик С. П. Новиков. Теория множеств, где он заложил основы теории операций над множествами; теория функций, где студенческая работа девятнадцатилетнего автора, устанавливающая существование почти всюду расходящегося ряда Фурье, сразу сделала его известным всему математическому миру; математическая логика, где Колмогоров предложил свободное от идеологических установок интуиционизма понимание интуиционистской семантики; топология, где он разделяет с Дж. У. Александером авторство теории когомологий; теория информации, в которой ему принадлежит не только существенная роль в превращении этой теории (сформулированной ее создателем К. Э. Шенноном в виде скорее технической дисциплины) в строгую математическую науку,

На следующую страницу На предыдущую страницу К содержанию Следующий К началу темы ВЫХОД СПРАВКА но и построение оснований теории информации на принципиально ином, отличном от шенноновского фундаменте; теория динамических систем, где он является первым из трех основоположников теории КАМ (открывающие эту теорию работы Колмогорова составили его вклад в классическую механику); теория алгоритмов, где ему принадлежит определение общего понятия алгоритма и создание теории сложности конструктивных объектов; и, конечно, теория вероятностей, где он был признанным главой этой науки во всем мире, "живым воплощением математической теории вероятностей", как писала английская газета "Таймс" 26 октября 1987 г. в связи с его кончиной, - вот краткий перечень областей математики, в которых Колмогоров оставил глубокий след. Перечень этот не может претендовать на полноту: к примеру, мы даже не назвали математическую статистику. Не являются ни в какой степени исчерпывающими и наши упоминания о достижениях Колмогорова в перечисленных областях, Так, в математической логике он внес также выдающийся вклад в теорию доказательств; в теории функций - в решение тринадцатой проблемы Гильберта и в развитие теории приближений; в топологии - в учение об отображениях, повышающих размерность пространства.

М. Гарднер "Путешествие во времени". Издательство "Мир", Москва М. Глеман, Т. Варга "Вероятность в играх и развлечениях". Пер. с франц. Издательство "Просвещение", Москва Б. В. Гнеденко "Математика в современном мире". Издательство "Просвещение", Москва Б. А. Кордемский "Математика изучает случайности". Издательство "Просвещение", Москва Ф. Мостеллер "Пятьдесят занимательных вероятностный задач с решением". Издательство "Наука", Москва Д. Пойа "Математика и правдоподобные рассуждения". Издательство "Наука", Москва А. Реньи "Письма о вероятности". Пер. с венг. - М.: "Мир", Л. В. Тарасов "Мир, построенный на вероятности". Издательство "Просвещение", Москва Научно-популярный физико-математический журнал "Квант", 4'1975. Приложения "Большой энциклопедии Кирилла и Мефодия" Большая Советская Энциклопедия. (В 30 томах). 3-е изд. изд. М., "Советская энциклопедия" Энциклопедия для детей. Том 11. Математика. Издательство "Аванта +", Москва 1998 На следующую страницу На предыдущую страницу К содержанию СПРАВКА К началу темы ВЫХОД

Данная презентация предназначена для учеников старших классов, которые хотят освежить, углубить свои познания по теме теория вероятности самостоятельно в домашних условиях. Для полного ознакомления с курсом необходим не один час, не поленитесь выделить хотя бы час для работы с этой презентации. Запустив программу ученик может прочитав основную теорию и рассмотрев решения задач попробовать самостоятельно решить задачи из набора, а также узнать историю возникновения. Вся навигация по презентации осуществляется с помощью меню. Приятной работы! На следующую страницу На предыдущую страницу К содержанию СПРАВКА К началу темы ВЫХОД