Основы логики Логика - наука о формах и способах мышления.

Высказывание (суждение) - это повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается. Высказывания бывают истинными или ложными. Высказывания бывают простые и сложные. Примеры простых высказываний: 1 Ни один человек не весит более 1000 кг. - истина. 2 Всякий человек имеет брата - ложь Сложные высказывания образуются из простых высказываний, объединенных союзами И, ИЛИ, частицей НЕ. Примеры сложных высказываний: 1 Любой человек весит менее 1000 кг. ИЛИ имеет брата. 2 Процессор является устройством обработки информации И принтер является устройством печати Истинность сложных высказываний вычисляется с помощью алгебры высказываний.

Умозаключение – форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений, называемых посылками, мы по определенным правилам вывода получаем суждение-заключение (вывод умозаключения). Еще в древности было известно рассуждение, ставшее классическим примером верного логического умозаключения: Все люди смертны. Сократ – человек Сократ смертен.

Заметим, что посылками умозаключения по правилам логики могут быть только истинные суждения. Всякое умозаключение, так же как и суждение, имеет свою форму. Эта форма может быть логически правильной или логически неправильной. Так, в примере с Сократом форма умозаключения логически верная: Все S есть Р. Некоторые А есть S. Некоторые А есть Р.

Примеры верных умозаключений: УмозаключениеФорма умозаключения Все граждане России имеют право на отдых. Я - гражданин России. Все S есть Р. А есть S. Я имею право на отдых. А есть Р. Если цветы поливают, то они не засохнут. Цветы засохли. Если S есть Р1, то S не есть Р2. S естьР2. Цветы не поливали.S не есть P1

Правильно ли рассуждает человек, когда он говорит: Умозаключение.Истинность Суждений Форма умозаключения Если что-то есть металл, то оно проводит электрический ток. Алюминий проводит ток Истина Если S есть Р1, то S есть Р2. А есть Р2. Алюминий - металл.ИстинаА есть Р1. Из истинных посылок получилось истинное заключение. Можно предположить, что, рассуждая по данной форме, мы получим из истинных посылок истинное заключение во всех случаях.

Проверим это: УмозаключениеИстинность суждений Форма умозаключения. Если что-то есть металл, то оно проводит электрический ток. Вода проводит ток. Истина Если S есть Р1, то S есть Р2. А есть Р2. Вода - металл.ЛожьА есть Р1.

Из истинных посылок получилось ложное заключение. Наше предположение о том, что, рассуждая по данной форме, мы всегда из истинных посылок получим истинное заключение, ошибочно. Следовательно, те, кто рассуждает по данной форме, либо ошибаются сами, либо вводят слушателей в заблуждение. Таким образом, услышав какую-нибудь фразу (рассуждение, умозаключение), вы можете, определив форму этого рассуждения и зная, правильна ли она логически, заранее сказать, будет ли истинным заключение. Рассмотрим, например, следующую фразу: Если у человека повышена температура, то он болен; этот человек болен; следовательно, у него должна быть повышенная температура. Это пример рассуждения, построенного по той же неверной схеме (форме): Если есть первое, то есть второе; второе есть; следовательно, есть первое. Такая схема от истинных исходных положений (посылок) может вес­ти не только к истинному, но и к ложному заключению.

Проверьте себя. Выполните тест.тест Щелкни здесь «мышкой».

Операция логического отрицания (инверсия). Образование инверсии: к сказуемому добавляется частица не или используется оборот речи неверно, что. Обозначение инверсии: НЕ A, A, NOT А. Таблица истинности Инверсия высказывания истинна, когда высказывание ложно, и ложна, когда высказывание истинно.

Операция логического умножения. Конъюнкция. Конъюнкция образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза И. Обозначение конъюнкции : А и В, А^В, А&В, А*В, A AND В Таблица истинности Конъюнкция двух высказываний истинна только тогда, когда оба высказывания истинны, и ложна, когда хотя бы одно высказывание ложно.

Операции логического сложения. Дизъюнкция. Дизъюнкция образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза ИЛИ. Обозначение дизъюнкции: А или В, А\/В, А|В, A OR В Таблица истинности Дизъюнкция двух высказываний ложна только тогда, когда оба высказывания ложны, и, истинна, когда хотя бы одно высказывание истинно.

Импликация (логическое следование). Импликация образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи если..., то.... Обозначение импликации: А -> В, А=>В Таблица истинности Импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное.

Эквивалентность (логическое равенство). Эквивалентность образуется соединением двух высказываний в одно при помощи оборота речи... тогда и только тогда, когда.... Обозначение эквивалентности: А = В, А В, А ~ В Таблица истинности Эквивалентность двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны или оба ложны.

Примеры сложных высказываний: В формальной логике принято, что всякое простое высказывание обязательно имеет одно из двух значений истина или ложь. Заметим, что это значение не всегда известно. Примерами таких высказываний являются недоказанные или неопровергнутые гипотезы: теорема Ферма, пред положение о существовании жизни на Марсе и т. п. Однако в случае простого высказывания всегда допустимо договориться о том, считать его истинным или ложным. Сложное высказываниеСоставляющие простые высказывания Форма сложного высказывания Е = Идет дождь, а у меня нет зонта А = Идет дождь. В = У меня есть зонт. Е = А & неВ Е = Когда живется весело, то и работа спорится А = Живется весело. В = Работа спорится Е = А =>В Е = Идет налево – песнь заводит, направо – сказку говорит. А = Идет налево. В = Идет направо. С = Песнь заводит. D = сказку говорит. Е = (A=>C) v (B => D)

Сложное высказывание также является истинным или ложным, но это значение вычисляется. Вычисление производится по форме сложного высказывания в соответствии с таблицами истинности входящих в него логических операций. Этапы вычисления значения сложного высказывания. 1. Выделить простые высказывания, отношения (связи) между ними и перевести их на язык формул (формализовать условие задачи, определить форму сложного высказывания). Пример 1. Е = Вчера было пасмурно, а сегодня ярко светит солнце. Составляющие простые высказывания: А = Вчера было пасмурно; В = Сегодня ярко светит солнце. Форма сложного высказывания: Е = А & В.

Пример 2. Е = Ваш приезд не является ни необходимым, ни желательным. Составляющие простые высказывания: А = Ваш приезд необходим; В = Ваш приезд желателен. Форма сложного высказывания: Е = А&В. Пример 3. Е = Поиски врага длились уже три часа, но результатов не было, притаившийся враг ничем себя не выдавал. Составляющие простые высказывания: А = Поиски врага длились три часа; В = Врага нашли (результат есть); С = Враг себя выдал. Форма сложного высказывания: Е = С=> А&В.

2. Вычислить значение логического выражения (формулы). Логические операции вычисляются в определенном порядке, согласно их приоритету: 1) инверсия; 2) конъюнкция; 3) дизъюнкция; 4) импликация и эквивалентность. Операции одного приоритета выполняются слева направо. Для изменения порядка действий используются скобки. 3. Определить количество строк и столбцов в таблице истинности. Так как каждое из простых высказываний может принимать всего два значения (0 или 1), то количество разных комбинаций значений п высказываний 2 п. Количество строк в таблице равно 2 п плюс 2 строки на заголовок. Количество столбцов в таблице равно сумме количества простых высказываний (и) и количества разных логических операций, входящих в сложное высказывание.

Пример 1. В классе оказалось разбито стекло. Учитель объясняет директору: Это сделал Коля или Саша. Но Саша этого не делал, так как в это время сдавал мне зачет. Следовательно, это сделал Коля. Прав ли учитель? 1. Формализуем данное сложное высказывание. Для этого сначала выделим составляющие простые высказывания и определим их количество (п). К = Это сделал Коля. С = Это сделал Саша. п = 2. Определим форму высказывания: E = (K v C) & C => К.

2. Определим количество строк и столбцов в таблице истинности. количество строк = 6; количество столбцов = Начертим таблицу и заполним ее в соответствии с определениями логических операций последовательно по столбцам. Сначала заполняем 1-й и 2-й столбцы, затем вычисляем значения 3-го столбца по значениям 2-го, потом значения 4-го по значениям 1-го и 2-го и т. д.:

KCНЕ С НЕ (2) K v C (1) v (2) (K v C) & НЕ С (4) & (3) (K v C) & НЕ С => K (5)=>(1) Вывод: мы получили в последнем столбце все единицы. Это означает, что значение сложного высказывания истинно при любых значениях простых высказываний К и С. Следовательно, учитель рассуждал логически правильно.

Если высказывание истинно при всех значениях входящих в него переменных, то такое высказывание называется тождественно истинным или тавтологией. Если высказывание ложно при всех значениях входящих в него переменных, то такое высказывание называется тождественно ложным. Если значения сложных высказываний совпадают на всех возможных наборах значений входящих в них переменных, то такие высказывания называют равносильными, тождественными, эквивалентными ( ).

Проверьте себя. Выполните тест.тест Щелкни здесь «мышкой».