Разработка прикладного программного обеспечения для сплайн- моделирования динамики показателей медико- лабораторных исследований «Медграфика»

Статус проекта – инновационная идея Вид результирующей продукции проекта – прикладное программное обеспечение Автор проекта: доцент кафедры «Математические методы анализа экономики» ЧГУ Ильясов Руслан Хизраилевич

Базовые функции: 1. Сплайн-аппроксимационное моделирование и визуализация динамики показателей медико- лабораторных исследований 2. Визуализация скорости роста (первых производных) динамики 3. Фазовый сплайн-анализ динамики некоторых процессов жизнедеятельности, имеющих циклических характер (например, сердцебиение)

Потенциальные потребители: врачи (лечебные, лечебно- диагностические учреждения), осуществляющие лечение болезней, требующих длительного наблюдения динамики показателей медико- лабораторных исследований и последующей корректировки медикаментозного лечения

Описание проекта Тяжесть и специфика некоторых заболеваний (например, тромбоз глубоких вен) требует частого повторения лабораторных исследований с последующей корректировкой медикаментозного лечения. При этом, довольно трудно соблюдать график обследований, чтобы они повторялись через равные промежутки времени.

Тогда мы получаем ряды динамики с неравномерным расположением узлов решётчатой функции. Таблица 1 Динамика ПТИ (%) на фоне корректирующей антикоагулянтной терапии Дата t Доза варф арина, мг ПТИ, %

Математическими методами разработано множество способов моделирования динамических процессов в физике, экономике, биологии и т.д. Однако, почти все они требуют равномерного расположения узлов решётчатой функции, в нашем случае – выполнения лабораторных исследований крови точно через одинаковые промежутки времени.

В противном случае поведение математической модели становится неточным, а принятие решения на основе её анализа некорректным. Рассмотрим это на примере метода наименьших квадратов (МНК). Рисунок 1 – Динамика ПТИ. МНК

Выбор класса приближающих функций определяется характером поведения точечного графика функции. Это могут быть линейная зависимость, любые элементарные функции и т.д. В нашем случае в качестве математической модели динамики ПТИ мы взяли полином пятой степени:

Поведение этой модели мы видим на рисунке 1 – отклонения между фактическими и теоретическими значениями процесса в некоторых узловых точках превышают 10%. Неудовлетворительным остаётся и интерполяционное поведение модели в промежутках между узловыми точками. Очевидно, такие погрешности не позволяют врачу выполнить эффективную корректировку лечения.

Известно, что сумма квадратов невязок модели и процесса в узловых точках уменьшается с ростом степени слаживающего полинома. В частности, она становится равной нулю при сглаживании исследуемой динамики полиномом степени n, где n – число узловых точек в ряде динамики исследуемого процесса. Это условие выполняется при использовании полиномиальной аппроксимации.

Рисунок 2 – Динамика ПТИ. Полиномиальная аппроксимация

При полиномиальной аппроксимации мы получаем математическую модель динамики ПТИ - полином 8-ой степени: В данном случае сумма квадратов отклонений эмпирических и модельных значений в узловых точках становится равной нулю, однако существенно ухудшается интерполяционное поведение модели.

Особенно заметно это в правом конце модельной кривой – между 8-ой и 9-ой узловыми точками. Поведение модели именно в правом конце исследуемой динамики имеет наибольший вес для принятия решения, а соответственно становятся недопустимыми столь существенные отклонения в указанной области.

Аппроксимация кубическими сплайнами даёт наилучшие результаты при моделиро- вании такой динамики. Рисунок 3 – Динамика ПТИ. Аппроксимация кубическим сплайном

Исследования сложных динамических процессов, в частности в экономике, продемонстрировали хорошие аппрок- симационные свойства кусочных функ- ций – сплайнов. Математические сплай- ны представляют собой множество взаи- мосвязанных «кусков» степенных много- членов, представляющих процес в промежутках между узловыми точками. Сплайны состоят из отрезков полинома малого порядка, которые сходятся, «сшиваются» в заданных узлах процес- са (узлах его «решётчатой» функции).

Дифференцируемость сплайнов позволяет анализировать и скорость изменения исследуемой динамики. Фазовый сплайн-анализ может стать эффективным инструментом в исследовании циклических процессов в организме человека, таких как сердцебиение, дыхание, обмен веществ и др. Недостаточность математических знаний врачей, а также специфика организации работы врачей требует разработки программного продукта с максимально дружественным интерфейсом.

Перспективы реализации проекта: для реализации проекта необходимо создание научно-исследовательской группы для участия в конкурсе на соискание грантов или премии в заданной проблемной области. В состав группы необходимо включить молодых учёных и специалистов: математиков с опытом математического моделирования динамических процессов; программистов, имеющих опыт создания «оболочек» для ПП с максимально дружелюбным интерфейсом; практикующих врачей, работа которых связана с анализом динамики показателей лабораторных исследований;