Сложное высказывание Высказывания бывают простые и сложные. Простым называется высказывание, которое не содержит в себе других высказываний. Если несколько простых высказываний объединены в одно с помощью логических операций и скобок, то такое высказывание называется сложным. В формальной логике принято, что всякое простое высказывание обязательно имеет одно из двух значение – истина или ложь. Значение сложного высказывания вычисляется.

Сложное высказывание Составляющие простые высказывания Форма сложного высказывания Е = Идет дождь, а у меня нет зонта А= Идет дождь В=У меня есть зонт Е = A & B Е = Когда живется весело, то и работа спориться А = Живется весело В =Работа спорится E = A B Е = Идет налево – песнь заводит, направо – сказку говорит. А = Идет налево; В = Идет направо; С = Песнь заводит; D = Сказку говорит E=(A C)v(B D) Примеры сложных высказываний

Определение формы сложного высказывания Пример 1. Е = Ваш приезд не является ни необходимым, ни желательным. Составляющие простые высказывания: А = Ваш приезд необходим; В = Ваш приезд желателен. Форма сложного высказывания: Е = А& В

Определение формы сложного высказывания Пример 2. Е = Поиски врага длились уже три часа, но результатов не было, притаившийся враг ничем себя не выдавал. Составляющие простые высказывания: А = Поиски врага длились три часа; В = Врага нашли (результат есть); С = Враг себя выдал. Форма сложного высказывания: Е = С А & В

Определение формы сложного высказывания Пример 3. Е = Вчера было пасмурно, а сегодня ярко светит солнце. Составляющие простые высказывания: А = Вчера было пасмурно; В = Сегодня ярко светит солнце. Форма сложного высказывания: Е = А & В

Определение формы сложного высказывания Пример 4. Е = И добродетель стать пороком может, когда её неправильно приложат. (У. Шекспир) Составляющие простые высказывания: А = Добродетель неправильно приложат; В = Добродетель стать пороком может. Форма сложного высказывания: Е = А В.

Получение сложного высказывания на естественном языке. Е = (A & B) (C & D) Составляющие простые высказывания: А = Человек с детства давал нервам властвовать над собой; В = Человек в юности давал нервам властвовать над собой; С = Нервы привыкнут раздражаться; D = Нервы будут непослушны. Фраза на естественном языке: Е = Если человек с детства и юности своей не давал нервам властвовать над собой, то они не привыкнут раздражаться и будут ему послушны. (К.Д.Ушинский)

Получение сложного высказывания на естественном языке. Е = (В & С) А Составляющие простые высказывания: А = Некто является врачом; В = Больной поговорил с врачом; С = Больному стало легче. Фраза на естественном языке: Е =Если больному после разговора с врачом не становится легче, то это не врач. (В.М.Бехтерев)

Приоритет логических операций При вычислении значения логического выражения (формулы) логические операции вычисляются в определенном порядке, согласно их приоритета: 1.Инверсия 2.Конъюнкция 3.Дизъюнкция 4.Импликация и эквивалентность Операции одного приоритета выполняются слева направо. Для изменения порядка действий используются скобки.

Укажем порядок выполнения логических операций в следующих формулах : A v B C & D A A v (B C) & D A

Рассмотрим алгоритм построения таблицы истинности на примере следующего высказывания: Е = A v B C 1.Вычислить количество строк и столбцов таблицы истинности. Пусть сложное высказывание состоит из n простых. Тогда количество строк в таблице истинности равно 2 n плюс 2 строка заголовка. Количество столбцов в таблице равно сумме количества переменных (n) и количества разных логических операций, входящих в сложное высказывание. В высказывание Е входят 3 переменные и 4 логические операции. Получаем =10 строк и 3+4=7 столбцов.

2.Начертим таблицу и заполним заголовок. В первой строке заголовка запишем номера столбцов, во второй – промежуточные формулы в соответствии с приоритетом логических операций и в скоб- ках номера столбцов над значениями которых выполняются действия АВСВ (2) С (3) А v B (1) v (4) A v B C (6) (5)

3. Заполним первые три столбца. Делим первую колонку пополам, первую половину заполняем нулями, вторую – единицами, АВСВ (2) С (3) А v B (1) v (4) A v B C (6) (5)

3. Заполним первые три столбца. … половины второго столбца делим пополам и заполняем по тому же правилу АВСВ (2) С (3) А v B (1) v (4) A v B C (6) (5)

3. Заполним первые три столбца. … продолжаем заполнение по тому же правилу АВСВ (2) С (3) А v B (1) v (4) A v B C (6) (5)

4. Заполним остальные столбцы. четвертый столбец – инверсия второго АВСВ (2) С (3) А v B (1) v (4) A v B C (6) (5)

4. Заполним остальные столбцы. …пятый столбец – инверсия третьего АВСВ (2) С (3) А v B (1) v (4) A v B C (6) (5)

4. Заполним остальные столбцы. …шестой столбец – дизъюнкция первого и четвертого АВСВ (2) С (3) А v B (1) v (4) A v B C (6) (5)

4. Заполним остальные столбцы. шестой столбец – импликация шестого и пятого АВСВ (2) С (3) А v B (1) v (4) A v B C (6) (5)

Если в формулу входят 4 переменные, то соответствующая ей таблица истинности будет состоять из 2 4 = 16 строк со значениями, при 5 переменных в таблице имеем 2 5 = 32 строки со значениями. Для любого сложного высказывания можно построить таблицу истинности. Это следует из того, что количество входящих в него переменных конечно и каждая из них может принимать всего два значения.

Тождественно истинные высказывания Если высказывание истинно при всех значениях входящих в него переменных, то такое высказывание называется тождественно истинным или тавтологией ( обозначается константой 1). Например, высказывание Демократ – это человек, исповедующий демократические убеждения Всегда истинно, т.е. Является тавтологией. Прогноз на завтра Дождь будет или дождя не будет – всегда истинно, его математическая запись А v А=1 Проверить, является ли сложное высказывание тождественно истинным, можно по таблице истинности.

Тождественно ложные высказывания Если высказывание ложно при всех значениях входящих в него переменных, то такое высказывание называется тождественно ложным ( обозначается константой 0). Например, высказывание Сегодня среда, а это – второй день недели является тождественно ложным. Тождественно ложным является и следующее высказывание: Компьютер включен, и компьютер не включен (выключен). Его математическая запись А & А=0 Проверить, является ли сложное высказывание тождественно ложным, можно по таблице истинности.

Эквивалентные высказывания Если значения сложных высказываний совпадают на всех возможных наборах значений входящих в них переменных, то такие высказывание называют равносильными, или эквивалентными. Равносильность высказываний А и В записывается с помощью знака равенства: А=В. Высказывания А и В равносильны тогда и только тогда, когда их эквивалентность А В является тождественно истинным высказыванием. Чтобы доказать равносильность (эквивалентность) сложных высказываний, достаточно построить их таблицы истинности и сравнить полученные результаты построчно.

Рассмотрим два высказывания: Х=Не может быть, что Матроскин выиграл приз и отказался от него. Х = А & В Y=Или Матроскин не отказался от приза, или не выиграл его. Y=A v B Построим таблицы истинности, объединив две в одну: ABA (1) B (2) A & B (1)&(2) X=A&B (5) Y=AvB (3)v(4) X Y (6) (7) Так как значения сложных высказываний Х (5-й столбец) и Y (6-й столбец) совпадают, то высказывания равносильны (эквивалентны). 2. Так как эквивалентность Х и Y тождественно истинна, то высказывания равносильны (эквивалентны).