Теоретический учебный материал по дисциплине «Математика и информатика» Кто боится будущих неудач, тот сам ограничивает поле своей деятельности. Неудачи - повод начать снова и более умно. Генри Форд

Теория вероятности (фрагмент) Автор: к.ф.-м.н, доц. каф. «Информатика» Евич Л.Н.

3 Основные цели изучения данного материала В результате изучения данной темы студент должен: получить представление о месте и роли теории вероятности; знать основные понятия и определения данного курса (случайная величина; вероятность события; основные теоремы теории вероятности); уметь решать задачи по курсу.

4 Введение Сидят три студента и решают задачу по теории вероятностей: сто раз кинули монетку и все разы выпала решка. Что выпадет в сто первый раз? Математик: - С вероятностью 50% выпадет решка. Физик: - Эксперимент показал, что должна выпасть решка. Психолог: - Выпадет орел. - Почему? - А то что - все время решка да решка. Орлу ведь тоже хочется...

5 Введение Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

6 Введение Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Случайное явление это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного в того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному.

7 Введение Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

8 Введение Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая законо­мерности в случайных явлениях.

9 Основные определения Испытание (опыт) - наблюдение какого-либо явления при соблюдении определенного комплекса условий, который должен каждый раз строго выполняться при повторении данного испытания.

10 Основные определения Испытание (опыт) - наблюдение какого-либо явления при соблюдении определенного комплекса условий, который должен каждый раз строго выполняться при повторении данного испытания. Событие это всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

11 Основные определения События НевозможныеДостоверныеСлучайные

12 События НевозможныеДостоверныеСлучайные Невозможные Основные определения

13 События НевозможныеДостоверныеСлучайные Достоверные Основные определения

14 События НевозможныеДостоверныеСлучайные Основные определения

15 События НевозможныеДостоверныеСлучайные Основные определения

16 Основные определения События НевозможныеДостоверныеСлучайные Приведите примеры невозможных; достоверных и случайных событий.

17 Основные определения Полную группу образуют события, если в результате опыта произойдет хотя бы одно из них Достоверным называется событие, которое непременно произойдет при данной совокупности условий. Равновозможными называются события, если есть основание считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое. Независимыми называются события, если появление одного события не изменяет вероятности появления другого. В противном случае события зависимые

18 Вероятность события Вероятность какого либо события – численное выражение возможности его наступления

19 Классическое определение вероятности n - количество возможных несовместных исходов испытания m - количество исходов испытания, благоприятствующих событию А Событие А, появляющееся при каждом из m исходов и не появляющееся при остальных n–m исходах Вероятность события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу всех равновозможных несовместных исходов опыта: n исходов m исходов

20 Статистическое определение вероятности Пусть K - количество проведенных испытаний; n – количество раз, появления события А, в результате проведения K испытаний, тогда n называется частотой события, а отношение называется частотностью (относительной частотой) события. Математически: неограниченное число повторений испытания записывается в виде предела (lim) при K, стремящемся к бесконечности: K испытаний n

21 Закон больших чисел или Теорема Бернули Пусть K - количество проведенных испытаний; n – количество раз, появления события А, в результате проведения K испытаний, если K достаточно велико, то с вероятностью сколь угодно близкой к единице, отличие от Р(А) меньше любого наперед заданного положительного числа или, в символьной записи,

22 Действия над событиями Сумма (объединение) событийСумма (объединение) Произведением (пересечением) событийПроизведением (пересечением) Достоверное событиеДостоверное Невозможное событиеНевозможное Несовместные событияНесовместные

23 Действия над событиями Сумма (объединение) событий представляет собой сложное событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А и В. Объединение событий обозначается как B A, или A + В.

24 Действия над событиями Произведением (пересечением) событий А и В называется их совместное. Обозначается произведение событий как B A, или АВ.

25 Действия над событиями Достоверным событием называется событие, которое обязательно происходит в результате данного испытания. Оно обозначается обычно как Е.

26 Действия над событиями Невозможное событие – событие, которое не может произойти в результате данного испытания. Принятое обозначение –.

27 Действия над событиями Несовместными называются события, которые в результате данного испытания не могут произойти вместе. Примеры несовместных событий: попадание и промах при выстреле, выпадение двух и трех очков при бросании игральной кости. Рисунок наглядно показывает, что для несовместных событий АВ=.

28 Заключение Вы ознакомились с основным теоретическим материалом по теме «Теория вероятности». Для того чтобы научиться использовать представленный математический аппарат на практике (при решении задач) необходимо выполнить все практические и лабораторные занятия. Каждая практическая работа имеет все необходимые разъяснения и разобранные задачи с пояснениями. Надеюсь, что изученный материал не только будет вам полезен для сдачи экзамена, но и пригодится в жизни.

Составитель: Евич Л.Н. Художник оформитель: Евич Л.Н. Фотограф: Евич А.М. Текст читает: Евич Л.Н. Программист: Евич А.М. В работе использованы материалы: Колмагоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. М.: Маталыцкий М.А., Романюк Т.В. Сборник задач по теории вероятностей. Гродно Соловьев А.А. Лекции по теории вероятностей и математической статистике. М.: Музыка из кинофильма «Убить Билла 1»

Составитель: Евич Л.Н. Художник оформитель: Евич Л.Н. Фотограф: Евич А.М. Текст читает: Евич Л.Н. Программист: Евич А.М. В работе использованы материалы: Колмагоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. М.: Маталыцкий М.А., Романюк Т.В. Сборник задач по теории вероятностей. Гродно Соловьев А.А. Лекции по теории вероятностей и математической статистике. М.: