Выполнила : Архипова Татьяна Ученица И -9-2 класса Научный руководитель : Краснова Людмила Геннадьевна Учитель математики МОУ « Лицей 2» г. Чебоксары

Цель работы Что такое пентаграмма История пентаграммы Построение пентаграммы Виды пентаграммы Секрет пентаграммы Пентаграмма глазами математиков и интересные свойства Вывод

Узнать что такое пентаграмма Какая бывает пентаграмма Узнать как строится пентаграмма Что скрывает в себе пентаграмма Что такое золотое сечение

Первые известные изображения пентаграммы датируются примерно 3500 г. до н. э., это нарисованные на глине пятиконечные звёзды, найденные в развалинах древнего города Урука. Изображения пентаграмм встречаются и на египетских статуях. Как сообщает в своей « Новой Энциклопедии Франк - масонства » Артур Уэйт, египтяне называли пентаграмму « звездой псоглавого Анубиса ». Уже в древности пентаграмма трактовалась двояко. С одной стороны, пентаграмма была широко известна как оберегающий от всякого зла знак ; вера в её оберегающие свойства была столь глубока, что в Древнем Вавилоне её изображали на дверях магазинов и складов, чтобы уберечь товары от порчи и кражи. Но с другой стороны, для посвящённых пентаграмма являлась могущественным знаком власти над земным миром. Так в том же Вавилоне, например, этот знак часто встречается на царских печатях, и, по мнению современных учёных, она олицетворяла собой « власть правителя, распространявшуюся на все четыре стороны света ». У евреев пентаграмма ассоциировалось с их священным Пятикнижием, полученным Моисеем от Бога. Древние греки называли пентаграмму Пентальфа, что означает « пять букв альфа », поскольку символ может быть разложен на альфу пять раз. Для ранних христиан пентаграмма была напоминанием о пяти ранах Христа : от тернового венка на лбу, от гвоздей в руках и ногах.

Отрывок из « Фауста »: М е ф и с т о ф е л ь Трудновато выйти мне теперь. Тут кое – что мешает мне немного : Волшебный знак у вашего порога. Ф а у с т Так пентаграмма этому виной ? Но как же бес пробрался ты за мной ? Каким путём впросак попался ? М е ф и с т о ф е л ь Изволили её вы плохо начертить. И промежуток в уголку остался, Там, у дверей, - и я свободно мог вскочить. Пентаграмму изображали для того, чтобы спастись от проникновения в дом злых духов.

Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер ( ). Пусть O – центр окружности, A – точка на окружности и Е – середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

У - син Пяти элементам присущи два основных циклических взаимодействия: взаимопорождение и взаимопреодоление. Взаимопорождение состоит в следующем: Дерево порождает Огонь, Огонь порождает Землю, Земля порождает Металл, Металл порождает Воду, Вода порождает Дерево.Взаимопреодоление состоит в следующем: Дерево побеждает Землю, Земля побеждает Воду, Вода побеждает Огонь, Огонь побеждает Металл, Металл побеждает Дерево.

Пентаграмма в оккультизме

В эпоху Возрождения была принята ещё одна символика пентаграммы. Если вписать в нее человеческую фигуру, связав её с пятью элементами ( Огнем, Водой, Воздухом, Землей и Духом ), то получится изображение микрокосма знака оккультной « духовной работы » на « материальном плане ». Впервые об этом написал в 1531 году знаменитый маг Корнелий Агриппа во второй книге своей « Оккультной Философии ». Астролог Тихо Браге пошёл дальше, в своем труде «Calendarium Naturale Magicum Perpetuum» в 1582 году он опбликовал изображение пентаграммы, на лучах которой были изображены буквы каббалистического божественного имени спасителя IHShVH ( יהשוה ), где ש трактуется как символ Божественного присутствия, одухотворяющего четыре материальных элемента, символизируемых именем יהוה.

Перевёрнутая пентаграмма

« Мы приступаем к объяснению и посвящению Святой и Таинственной Пентаграммы. Так что, пусть все безразличные и суеверные закроют книгу ; они не увидят ничего, кроме тьмы, или же будут возмущены. Пентаграмма, которая в гностических школах называется Пылающей Звездой, является знаком интеллектуального всемогущества и самодержавия. Это Звезда Магов ; это знак Слова, создавшего плоть, и, согласно направлению ее лучей, этот абсолютный магический символ представляет упорядоченность, либо беспорядок, Священного Ягненка Ормузда и Святого Иоанна, либо проклятого Козла Мендеса. Это освящение или профанация ; это Люцифер или Венера, звезда утренняя или вечерняя. Это Мария или Лилит, победа или смерть, день или ночь. Пентаграмма с двумя восходящими концами представляет Сатану в виде козла на шабаше ; когда восходит один конец это знак Спасителя.» Элифас Леви, « Учение и ритуал Высшей магии »

Таким образом, с подачи Элифаса Леви, перевёрнутая пентаграмма стала символом Сатаны, и эта версия прочтения перевёрнутой пентаграммы очень скоро закрепилась за символом. Так главный символ сатанизма знак Бафомета ( англ. Sigil of Baphomet ; пятиконечная звезда с тремя вершинами, указывающими вниз, и со вписанной в неё головой козла ). Церковь Сатаны, первая и самая крупная официально зарегистрированная сатанинская организация ( основана в 1966 году ), использует знак Бафомета в качестве своего символа ( по данным организации, знак Бафомета является зарегистрированной торговой маркой Церкви Сатаны с 1983 года.). В тоже время, есть мнение, что связь перевёрнутой пентаграммы с Сатаной это ловушка, которую оставил Элифас Леви в своей работе. В пользу этой версии, кроме прочего, говорит и тот факт, что в начале истории христианства перевёрнутая пентаграмма трактовалась как символ Преображения Христа. Именно перевернутая пентаграмма стоит на печати римского императора Константина, сделавшего христианство государственной религией и причисленного за это Церковью к лику святых. Разгадку такого толкования следует искать в трудах древних каббалистов. Согласно им, перевернутая пентаграмма это « Зеир Анпин », микропрозоп или « Малый Лик » Господа, который образуют на каббалистическом Древе Жизни шесть нижних Сфирот : Хесед - Гебура - Тиферет - Нетцах - Ход - Иесод. В то же время « Зеир Анпином » именуется Тиферет, Божественный Сын, через соединение с которым наш мир мог спастись. Алистер Кроули трактовал перевернутую пентаграмму, как лучи Солнца, падающие на землю, или дух, одухотворяющий материю.

Пентакл и золотое сечение

Пифагор утверждал, что пентаграмма, или, как он её называл, гигиея ( ύγιεια ) ( в честь греческой богини здоровья Гигиеи ) представляет собой математическое совершенство, так как скрывает в себе золотое сечение ( φ = (1+5)/2 = 1,618…). Если разделить длину любого цветного сегмента пентакла на длину самого длинного из оставшихся меньших сегментов, то будет получено золотое сечение ( φ ).

Пропорции, т.е. равенства отношений изучались пифагорейцами. Евдокс развил учение о пропорциях–одно из величайших достижений греческой математики. Термин «золотое сечение» ввёл Леонардо да Винчи.золотое Евдокс (408 – ок.355 г.г.до н.э.) Пифагор ( г.г.до н.э.) Леонардо да Винчи ( г.г.)

Определение золотого сечения: целое относится к его большей части так же, как большая часть относится к меньшей части. Отрезок АВ так относится к его большей части AD, как эта большая часть AD относится к его меньшей части DB. Иначе говоря, точка D делит отрезок AB в «золотой пропорции».золотой

Церковь Покрова Богородицы на Нерли 1165 год «Простая» красота пропорций золотого сечения.

Пропорции Покровского Собора на Красной площади в Москве определяются восемью членами ряда золотого сечения: Многие члены ряда золотого сечения повторяются в затейливых элементах храма многократно:золотого

Сандро Ботичелли «Рождение Венеры» (около 1485 г). Пропорции Венеры выполнены в золотом сечении.

«Человеку, сведущему в геометрии и работающему с нею, становятся доступны… все те высшие наслаждения, которые называются наслаждениями математического порядка… Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Стоит поразмыслить о прошлом, вспомнить то, что было ранее, и мы будем ошеломлены, видя, что окружающий нас мир – это мир геометрии, чистой, истинной, безупречной в наших глазах. Всё вокруг – геометрия ». Ле Корбюзье Пропорции идеальной фигуры человека, по Корбюзье, должны подчиняться золотому сечению.золотому Модулор Ле Корбюзье

Пентаграмма пропорциональна и, значит, красива. Не случайно и сегодня пятиконечная звезда реет на флагах едва ли не половины стран мира. Буркина Фасо Венесуэла Гвинея - Бисау Гена Вьетнам Гондурас Гренада Джибути ДоминикаЗимбабвеИрак Йемен

Камерун Китай Коморские острова Корейская народная Демокр-ая р - ка Куба Либерия Мавритания Микронезия Мозамбик Новая Зеландия Пакистан Папуа – Новая Гвинея Столь необычайно пропорциональное строение пентаграммы, красота её внутреннего математического содержания являются основой её внешней красоты.

Раифский мужской монастырь – единственный в Татарии сохранившийся монастырский комплекс, построенный в XVII веке. Комплекс имеет форму пятиугольника. Пентагон в США. Комплекс имеет форму правильного пятиугольника, сотканного из золотых пропорций. золотых

Все углы в пентаграмме кратны 36о. Треугольник ABC равен треугольнику ADQ. Треугольник ABQ равнобедренный. На этом свойстве основано построение Символа Девяти Преломлений. Но самое главное свойство пентаграммы в том, что она является геометрическим выражением отношения золотого сечения, т.е. числа F = sin 72o / sin 36o = 1, Эту особенность символа пентаграммы впервые обнаружил Леонардо да Винчи. Но еще задолго до него отмечалось, что пропорции пентаграммы исключительно приятны для человеческого глаза. Отношение расстояний между противоположными и соседними концами пентаграммы: AC / AB = sin ABC / sin BCA = sin 108o / sin 36o = sin 72o / sin 36o = F Точка пересечения диагоналей также делит их в отношении золотого сечения: AQ / CQ = AB /(AC - AB) = AB/(F AB - AB) = 1 / (F - 1) = F (по свойству золотого сечения). Отношение площадей треугольников ABC и ACD: (0,5 (F AB)2 sin 36о)/(0,5 AB2 sin 108o) = ((sin 72o / sin 36o)2 sin 36o)/(sin 72o) = F Неудивительно, что Пифагор считал пентаграмму самой совершенной из геометрических фигур.

Пентаграмма - это правильный пятиугольник, на каждой стороне которого построены равнобедренные треугольники, равные по высоте. Виды : У - син, Пентаграмма из « Оккультной философии », Перевернутая. Пентаграмма скрывает в себе золотое сечение Пентаграмма не так популярна в наше время.