Простейшие дифференциальные уравнения Задача 3(о размножении бактерий) Выполнила: Ученица 11ТЮ класса Крутикова Надежда

Экспериментально установлено, что при определенных условиях скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству.

Пусть m (t) -масса всех бактерий в момент t,тогда m (t) - скорость их размножения. По условию, По условию, m (t)=km (t), (1) m (t)=km (t), (1) Где k –заданная постоянная, зависящая от вида бактерий и внешних условий.

Уравнение (1) является дифференциальным уравнением, описывающим закон размножения бактерий.

Покажем, что функция m (t)=Ce kt, (2) m (t)=Ce kt, (2) Где С –постоянная,являются решениями уравнения (1). В самом деле, (Ce kt )=Cke kt =k(Ce kt ). (Ce kt )=Cke kt =k(Ce kt ). Можно сказать, что формула (2) содержит все решения уравнения (1).

Пусть известна масса m 0 бактерий в момент t 0,т.е. m (t 0 )=m 0. (3) m (t 0 )=m 0. (3) Тогда из равенстве (2) и (3) получаем m 0 =Ce kt 0, откуда C=m 0 e -kt 0 и m (t)=m 0 e k(t-t 0 ) m (t)=m 0 e k(t-t 0 ) дает искомое уравнение (1) при начальном условии (3)