Урок 3 Геометрическая вероятность.

Геометрическая модель. Многие практические задачи приводят к вопросам теории вероятности, которые не укладываются в разобранную выше схему конечного числа попарно несовместных исходов испытаний. Пусть, например, стержень наудачу разламывается на три части. Какова вероятность того, что из получившихся отрезков можно будет построить треугольник? В этой задаче мы имеем бесконечное множество исходов, так как разлом может попасть на любую точку стержня. Здесь мы будем пользоваться иным определением вероятности, которое назовем геометрическим.

Рассмотрим следующую модель. Пусть на отрезок АВ бросают наудачу точку. Назовем вероятностью попадания этой точки на часть этого отрезка отношение длины этой части к длине всего отрезка ( если часть состоит из нескольких кусков, то надо сложить длины этих кусков). Вместо отрезка АВ можно взять некоторую геометрическую фигуру, имеющую конечную площадь и считать вероятностью попасть в часть X этой фигуры отношение площадей указанной части и всей фигуры. CDA B

Итак, геометрическая вероятность – это вероятность попадания точки в некоторую область. (отрезок, часть плоскости, шар, и т.д.) Пусть Ω – область на плоскости, D Ω. μ(Ω), μ(D) – площади этих областей. В Ω наудачу бросается случайная точка ω. Вероятность попадания в любую подобласть области Ω зависит только от её площади. Тогда P{ω D} = μ(D) / μ(Ω).

Замечание. Геометрическая модель имеет ограниченную область применения ввиду требования равновозможности отдельных точек. Пример 1. Вернемся к задаче о разламывании стержня. Пусть на отрезок длины 1 бросают наудачу две точки. Они разбивают отрезок на три отрезка. Какова вероятность, что из полученных трех отрезков можно сложить треугольник? Заданный отрезок рассматриваем как отрезок [0,1] числовой прямой. Тогда наудачу брошенные точки имеют координаты – числа x и y, принадлежащие отрезку [0,1]. xy0 1

Но любую пару чисел можно рассматривать как координаты точки на плоскости. Поскольку 0x1, 0y1, то эти точки (x,y) наудачу брошены в квадрат со стороной 1. Посмотрим теперь какую фигуру образуют точки, координаты которых удовлетворяют условию примера. Для того, чтобы из этих трех отрезков можно было построить треугольник, необходимо и достаточно, чтобы длины этих отрезков удовлетворяли неравенству треугольника.

X Y 1 10,5 При xy получаем: x

Y 1 10,5 X При x > y получаем: y < (x-y) +(1-x); x-y < y +(1-x); 1-x < y +(x-y), что после преобразований дает систему неравенств: которой на плоскости XOY соответствует треугольник NMK площадь которого S=1/8. N M K

Площадь квадрата равна 1. Следовательно, вероятность построить треугольник равна P=(1/8+1/8)/1=1/4. Пример 2. (задача Бюффона). На плоскости проведено семейство параллельных прямых. Расстояние между соседними прямыми равно m. На эту плоскость наудачу бросается отрезок длины m. Какова вероятность, что отрезок пересекается хоть с одной прямой из этого семейства? Решение.

Обозначим через y расстояние от верхнего конца отрезка до ближайшей снизу прямой. Проведем луч с началом в верхней (левой) точке отрезка, параллельный прямым семейства и идущий направо. Обозначим через x угол между этим лучом и отрезком. Мы получили пару чисел, удовлетворяющих неравенствам: 0x

Для того, чтобы отрезок пересекался хотя бы с одной из прямых семейства, необходимо и достаточно выполнение неравенства y |AB| = m sinx, которым на рисунке 2 определена заштрихованная фигура. Найдем ее площадь: Так как площадь прямоугольника, в который наудачу брошена точка, S=πm, то искомая в примере вероятность p=S 1 /S=2m/πm=2/π.

Пример 3. (задача о встрече). Два школьника условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течении ¼ часа, после чего уходит. Какова вероятность, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода? Решение. X Y 1/4 0 x 1, 0 y 1, |y-x| 1/4. Тогда y x +1/4, y x - 1/4. S кв. =1, S ф =1-2(3/4·3/4·1/2)= 1-9/16 = =7/16. Следовательно, p=S ф /S кв. =7/ /4