Векторы

Линейная комбинация векторов. Пусть даны векторы: Любой вектор вида называется линейной комбинацией данных векторов. Числа -коэффициенты линейной комбинации. Если вектор представлен как линейная комбинация каких-то векторов, то говорят, что он разложен по этим векторам.

Признак коллинеарности векторов. Два ненулевых вектораиколлинеарны тогда и только тогда, когда один из них есть произведение другого на некоторое число, т.е.

Пример. Коллинеарны ли векторы и? Ответ: векторы и коллинеарны и противоположно направленные. Решение. То есть

Базисом на плоскости назовём два неколлинеарных вектора, взятых в определенном порядке. Базисом в пространстве назовём три некомпланарных вектора, взятых в определённом порядке. Базис называется ортонормированным, если его векторы взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину. Обозначение: i, j, k

Разложение вектора по ортам координатных осей. z M 0 x y 1)Рассмотрим прямоугольную систему координат Оxyz; 2)Выделим единичные векторы (орты) i, j, k. 3)Выберем произвольный вектор с началом (0;0):

z N M2M2 M 0 x y M3M3 M1M1 - проведем через конец вектора плоскости, параллельные координатным плоскостям. - получим прямоугольный параллелепипед, где- диагональ. 4) Найдем проекции вектора на координатные оси:

z N M2M2 M 0 x y M3M3 M1M1 Тогда

Формула является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей. координаты вектора Т.е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси.

Модуль вектора. теорема о диагонали прямоугольного параллелепипеда Тогда то есть

Направляющие косинусы вектора. z N γ α β M2M2 M 0 x y M3M3 M1M1 Пусть

По свойству проекции вектора на ось Имеем: направляющие косинусы

Сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице. Откуда: Координаты единичного вектора:

Пример. Дан вектор Найти его длину и единичный вектор направления вектора Ответ: Решение. тогда

Действия над векторами, заданными своими координатами (проекциями). Пусть или Сумма (разность): Умножение вектора на скаляр:

Равенство векторов: Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты.

Коллинеарность векторов:

Координаты точки: z M 0 x y - радиус-вектор точки М. Координаты точки- это координаты её радиус-вектора или То есть- координаты точки

Координаты вектора: z А 0 x y В Пусть Чтобы найти координаты вектора, необходимо из координат конца вычесть соответствующие координаты его начала.

1). ABCD- параллелограмм. A(1; -2; 3), B(3; 2; 1), C(6; 4; 4). Найти координаты точки D. Решение.Пусть D(x; y; z) D C A B Ответ. D(4; 0; 6)

2).При каких значениях векторы и коллинеарны? Решение. Ответ. Векторы, если и находим

3).Разложить вектор по векторам Решение. Пусть

По определению равенства векторов:

Ответ. Перейдём к системе: Итак

4). Дана силаНайти величину и направление силы Решение. Найдём величину (модуль) силы: Найдем направляющие косинусы: Ответ. Сила действует в направлении вектора, образующего с координатными осями углы

5). Векторсоставляет с осями ОХ и ОУ углы Найти его координаты, если Решение. Пусть

Найдем : Тогда Ответ.