Функции и отображения Отображения. N-местные функции. Понятие образов и прообразов элементов. Свойства функций: инъекция, сюръекция и биекция. Обратные функции. Композиция функций

Определение Пусть даны два множества Х и У и каждому элементу х Х поставлен в соответствие единственный элемент у У, который обозначен через f(х). В этом случае говорят, что на множестве Х задана функция f и пишут: f : Х У.

Пример Пусть Х = а; b; с; d, У = ; ; ; и функция f:Х У определена так: f(a) =, f(b) =, f(c) = f(d) =. b а с d Х Y

Определение Пусть А и В – произвольные множества. Функцией f, определенной на множестве А и принимающей значения в множестве В, называют бинарное отношение f (отображение) между элементами множеств А и В, которое каждому элементу множества А ставит в соответствие единственный для этого элемента элемент множества В.

Отображение Пусть даны два множества Х и У. Всякое множество f = (х; у) упорядоченных пар (х; у), х Х, у У, такое, что для любых пар (х ; у ) f и (х ; у ) f из условия у у следует, что х х, называется функцией, или, что то же самое, отображением из Х в У.

Функция Функция - это упорядоченная тройка (или кортеж) объектов (f, X, Y), где множество X называется областью определения D(f); множество Y называется областью значений R(f) (E(f)); множество упорядоченных пар f X×Y или, что то же самое, график функции.

Отображение Если f = (х; у) есть функция, то пишут f:Х f У и говорят, что f отображает множество Х f во множество У. В случае Х = Х f пишется просто f: Х У.

Обозначение Если f: Х У – функция и (х; у) f, то пишут у=f(х), а также f: х у, и говорят, что функция f ставит в соответствие элементу х элемент у или, что тоже самое, элемент у соответствует элементу х. В этом случае говорят также, что элемент у является значением функции f в точке х или образом элемента х при отображении f. Например, запись f(х) = х 2 удобнее и проще использовать при аналитических преобразованиях, чем запись f:х х 2.

Образ и прообраз Элемент y=f(x), который сопоставлен элементу x, называется образом элемента (точки) x (при отображении f), а элемент x=f -1 (y) называется прообразом элемента y.

Функция f:Х У – это специальный вид бинарных отношений из Х в У, который удовлетворяет условию: для каждого х Х существует единственный у У такой, что (х; у) f. Один и тот же образ могут иметь несколько элементов области определения, и что не все элементы множества У обязаны быть образами некоторых элементов Х, т.е. множество значений функции У f может совпадать с множеством У, а может быть его собственным подмножеством.

Образ множества А Если рассмотреть некоторое подмножество А области определения функции f, то можно рассмотреть совокупность образов всех элементов множества А, а именно подмножество области значений (функции f) вида f(A)={f(x)| x A}, которое, называется образом множества A (при отображении f). Это множество иногда обозначается как f[A] или A f.

А АfАf

Взятие образа Положим, A и B подмножества области определения. Взятие образа (или, что то же самое, применение оператора f) обладает следующими свойствами: f(Ø)=Ø; AØ f(A)Ø; A B f(A) f(B). Далее f(А)\f(В) f(А\В) образ объединения равен объединению образов: f(A B)=f(A) f(B); образ пересечения является подмножеством пересечения образов f(AB) f(A)f(B).

A B f(A) f(B) f(A) B A f(B)

f(A B)=f(A) f(B) f(AB) f(A)f(B) f(A) B A f(B)

Полный прообраз Некоторое подмножество B области значений функции f, можно рассмотреть совокупность тех элементов области определения, чьи образы попадают во множество B, а именно множество вида f –1 (B)={x| f(x) B}, которое называется (полным) прообразом множества B (при отображении f). Полный образ B при отображении f – это часть множества B, обозначаемая f(B), для каждого элемента из которой найдется прообраз.

f -1 (B) B

Взятие прообраза Если у У\У f, то f -1 (у) = если A B, то f -1 (A) f -1 (B); f -1 (S \ Т) = f -1 (S) \ f -1 (Т), прообраз объединения равен объединению прообразов: f –1 (A B)=f –1 (A) f –1 (B); прообраз пересечения равен пересечению прообразов f –1 (AB)=f –1 (A)f –1 (B).

f –1 (A B)=f –1 (A) f –1 (B) f –1 (AB)=f –1 (A)f –1 (B) A f -1 (B) f -1 (A) B

Сужение функции Если А Х, то f:Х У, то х А f(х). Эта функция называется сужением функции f на множестве А и иногда обозначается f А. f А : А У х А f А : х f(х). Если А Х, то f А, чем функция f, и, следовательно, является другой, чем f, функцией.

Равенство отображений Отображения f:AB и g:AB называются равными, если x A f(x)=g(x). Преобразование f:XX, которое сопоставляет каждой точке x множества X её саму или, что тоже самое, f(x) = x для каждого x X, называется тождественным. id X или, проще, id ( от англ. identity - идентичный. 1 X Такое отображение является унарной операцией, заданной на множестве X. Поэтому, нередко, тождественное преобразование называют единичным.

Виды отображений инъективные («вложение»); сюръективные («наложение»); биективные («и то, и другое») инъективное&сюръективное.

Отображения На множество «сюръекция» Соответствие. при котором каждому элементу множества А указан единственный элемент множества В, а каждому элементу множества В можно указать хотя бы один элемент множества А, называется отображением множества А на множество В Во множество «инъекция» Соответствие. при котором каждому элементу множества А указан единственный элемент множества В, а каждому элементу В соответствует не более одного прообраза из А, называется отображением множества А во множество В

Сюръекция f:Х У. Иначе х Х у У, и у У f У поставлен в соответствие хотя бы одному элементу х Х. Если У=Х, то отображение f отображает множество Х в себя. Если У=У f, то f отображает множество Х на множество У f:Х У сюръекция, у У х Х, что f(х)=у.

Сюръективное отображение f: X Y сюръективно, если f(A) = B Функция f сюръективна, если образ множества X при отображении совпадает с множеством Y: f[X] = Y. Такое отображение называется ещё отображением на. Если условие сюръективности нарушается, то такое отображение называют отображением в.

Инъекция f:Х У разным х Х соответствуют разные у У, т.е. при х х f(х ) f(х ) f:Х У инъективно тогда и только тогда, когда прообраз каждого элемента у, принадлежащего множеству значений функции f, т.е. y У f, состоит в точности из одного элемента.

Сюръективное отображение f: X Y, если x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ), т.е. различные элементы имеют различные образы. Функция f - инъекция, если разным элементам множества X сопоставлены разные элементы множества Y. f инъективна, если f(x 1 ) = f(x 2 ), x 1 = x 2.

Биекция Если f:Х У является одновременно инъекцией и сюръекцией, то оно называется биективным отображением или биекцией. A(x)=y, A -1 (y)=x.

Пример 1 Функция f:R R, f(х) = х 2 не является ни инъекцией, ни сюръекцией, так как разным элементам, например, х = 2 и х = -2 соответствует одинаковый образ 4, и любое отрицательное действительное число не является образом ни для одного из элементов области определения.

Пример 2 Функция f: a; b; c; d,,,,, заданная следующим образом: f(а) =, f(b) =, f(c)=, f(d) = является инъективной и не является сюръективной а b c d

Пример 3 функция g: a; b; c; d; e ; ; ;, определенная так g(a) =, g(b) =, g(c) =, g(d) =, g(e) = является сюръективной и не является инъективной. a b c d e ХgY

Метод доказательства с помощью контрапозиции Доказывается, что для всех х и х Х из f(х )= f(х ), что х = х. Конечно, чтобы показать, что функция не является инъективной, нам достаточно найти контрпример, то есть найти два разных элемента х 1 и х 2 Х, у которых образы равны: f(х 1 ) = f(х 2 ).

Пример 4 Любая линейная функция f:R R, f(x) = ax+b, (где а,b – фиксированные действительные числа, а 0) является и инъективной и сюръективной, т.е. биекцией. Для всех действительных чисел х и х из равенства f(х )= f(х ), что х = х. Итак, пусть f(х )= f(х ) ах + b = ах + b ах = ах х = х, поэтому f – инъекция.

Пример 4 Предположим, что у – любое действительное число. Мы должны найти х R такое, что f(х) = у. Пусть тогда х R и поэтому f - сюръекция.

Примеры Рассмотрим f: Х У, где Х и У – подмножества R. Предположим, что f не инъективна. Тогда существуют два элемента х и х в Х такие, что х х, но f(х )= f(х ) = b, то есть горизонтальная прямая у = b должна дважды пересечь график функции в точках, которые отвечают х = х и х = х.

y x b х х X y = f(x)

Примеры Если f – инъективна, то горизонтальная прямая у = b, проведенная через любую точку b У на оси Оу, никогда не будет иметь с графиком функции более, чем одной общей точки. Если же f – сюръективна, то У f = У, и любая горизонтальная прямая, проходящая через точку множества У, обязательно будет иметь общую с графиком точку.

Теорема Пусть f:Х У – функция, где Х и У – подмножества R. Тогда: f – инъективна, если и только если каждая горизонтальная прямая, проходящая через точку b на оси Оу, будет иметь самое большее, одну общую точку с графиком f(х); f – сюръективна, если и только если каждая горизонтальная прямая, проходящая через точку b У оси Оу, будет иметь, по крайней мере, одну общую точку с графиком f(х).

Примеры x y 0 X Y а)

Примеры x y Y X 0

x y Y X 0 в)

Обратное отображение f: X Y - биекция. Тогда отображение f –1, при котором каждому элементу множества Y ставится в соответствие его прообраз из множества X, называется обратным отображением для f и записывается f –1 : YX или Отображение, у которого определено обратное, называется обратимым.

Обратимое отображение Если отображение обратимо, прообраз каждой точки области значений одноточечный, поэтому образ пересечения равен пересечению образов: f(ab)=f(a)f(b).

Композиция функций Пусть f:Х У и g:У Z – функции. Функция F:X Z, определенная для каждого х Х формулой F(x)=g(f(x)) называется композицией (суперпозицией) функций f и g, или сложной функцией, и обозначается f g

Композиция x f(x) g(f(x))= (g f )(x) Х f Y Z g

Пример Пусть Х= a; b; c; d; e, У= ; ; ;, Z= 1; 2; 3; 4; 5; 6. Пусть f:Х У и g:У Z – функции, определенные соответственно так: f(a) =, f(b) =, f(c) = f(d) = f(e) = ; g( ) = 3, g( ) = g( ) = 5, g( ) = 1. Тогда композиция функций : g f: Х Z будет: а 5, b 3, с 5, d 5, e 5.

Пример 5 a b c d e X f Y g Z

Неверно!