Даны две окружности с центрами в точках О и О радиусов R и R. Прямая ОО называется линией центров. d – расстояние между точками О и О.

Сколько общих точек могут иметь две окружности? Какими соотношениями при этом связаны d, R и R?

Две окружности не могут иметь более двух общих точек. Почему?

Если допустить, что А, В и С – три общие точки двух окружностей, то эти точки не лежат на одной прямой (почему?). Тогда обе окружности являются описанными около АВС. Но около треугольника можно описать только одну окружность. Следовательно две окружности не могут иметь более двух общих точек.

Рассмотрим три возможных случая.

Тогда существует АО О, такой, что ОА=R, OA=R, OO=d, а значит, А – общая точка данных окружностей. Точка, симметричная точке А относительно прямой ОО, также является общей точкой этих окружностей, так как ОВ=ОА=R, OB=OA=R. Таким образом, данные окружности имеют две общие точки.

Если две окружности имеют две общие точки, то выполняются неравенства R -R

Таким образом, две окружности имеют две общие точки тогда и только тогда, когда расстояние между центрами окружностей больше разности радиусов и меньше суммы радиусов этих окружностей.

O O A На отрезке ОО существует и притом единственная точка А, такая, что ОА=R и AO=R, поэтому А – общая точка данных окружностей. Отметим, что все точки любой из двух окружностей, отличные от точки А, лежат вне круга, ограниченного другой окружностью.

Действительно, если, например, М- точка окружности с центром в точке О радиуса R, отличная от точки А, то ОМ+ОМ> d или R+OM>R+R, ОМ>R. Точка М лежит вне окружности с центром в точке О радиуса R. Таким образом окружности имеют одну общую точку, и говорят, что окружности лежат одна вне другой.

По аналогии с предыдущим заключаем, что и в этом случае окружности имеют только одну общую точку, а все точки окружности с центром в точке О, отличные от их общей точки, лежат внутри круга, ограниченного первой окружностью.

Внешнее касание. Внутреннее касание. d=R +R d=R-R О О О О

Две окружности касаются друг друга тогда и только тогда, когда расстояние между центрами этих окружностей равно сумме их радиусов (внешнее касание) или разности радиусов (внутреннее касание). Точка касания лежит на линии центров!

d>R +R d

Окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими. О